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3．4 实际问题与一元一次方程
第1课时 实际问题与一元一次方程(一)
1．会解决有关配套问题．
2．会解决与工作效率有关的工程问题．
3．会从实际问题中抽象出数学模型，并体会其中蕴藏的等量关系．
从题中找“配套问题”和“工程问题”的等量关系．
在与工作效率有关的工程问题中建立等量关系，并根据题意列出方程．
(设计者： )
一、创设情境 明确目标
解下列方程：
(1)＝；
(2)－1＝；
(3)＝2－.
二、自主学习 指向目标
自学教材100至101页，完成下列问题：
1．某车间生产螺钉和螺母，若1个螺钉需要配2个螺母，则m个螺钉与n个螺母之间的等量关系为__2m＝n__．
2．工作总量，工作效率，工作时间三者之间的关系为__工作总量＝工作效率×工作时间__．
3．一件工作，甲单独完成需要m天，则一天完成总量的____；乙单独完成需要y天，则乙一天完成总量的____；甲、乙合做，一天完成总量的__＋__，需要____天完成．
三、合作探究 达成目标
配套问题
活动一：阅读教材第100页，例1
分析：本题属于哪一类型的应用题？相等关系是什么？应怎样设未知数？
解答过程见教材第100页例1的解答过程．
【展示点评】如果设x名工人生产螺母，可以列方程：2000x＝2×1200(22－x)．
【小组讨论】列方程解配套类问题时，常用的相等关系是什么？
【反思小结】解决配套问题时，一般用“配套的物品之间具有一定的数量关系”作为列方程的依据．
【针对训练】见“学生用书”．
工程问题
活动二：阅读教材第100页例2，思考：
这里可以把总工作量看作单位1，人均效率(一个人做1 h完成的工作量)为________，由x人先做4 h，完成的工作量为________，再增加2人和前一部分人一起做8 h，完成任务的工作量为________________，这项工作分两段完成任务，两段完成任务的工作量之和为______________________．
【展示点评】这类问题中常常把总工作量看作1，并利用“工作量＝人均效率×人数×时间”的关系考虑问题．
【小组讨论】解决工程类问题常用的公式及相等关系是什么？
【反思小结】本题中计算工作量的基本公式：工作量＝人均效率×人数×时间，解决工程问题一般用“各部分工作量的和＝工作总量”这一等量关系．
【针对训练】见“学生用书”．
四、总结梳理 内化目标
1．在解决配套问题时的相等关系．
2．在解决工程问题时的相等关系．
3．用一元一次方程解决实际问题的基本过程．
五、达标检测 反思目标
1．一项工作，甲单独完成要12 h，乙单独完成要24 h，则甲工作1 h可完成这项工作的，乙工作1 h可完成这项工作的，甲乙合作__8__ h可完成这项工作．
2．理整一批图书，由一个人做要60 h完成．现在计划由一部分人先做3 h，再增加两人和他们一起做6 h，完成这项工作的一半．假设这些人的工作效率相同，具体应安排多少人工作？
解：设安排x个人先工作，列方程得：
＋＝ 解得：x＝2
答：应先安排2人工作3 h，再增加2人工作6 h.
3．要用20张白卡纸做包装盒，每张白卡纸可以做盒身两个，或者做盒底盖3个．如果一个盒身和两个底盖可以做成一个包装盒，那么能否把这白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套？请设计一种分法．
解：设用x张白卡纸做盒身，列方程得：
3(20－x)＝4x 解得：x＝8
答：可用8张做盒身，11张做盒盖底，还有一张裁出一个盒身和一个盒底．
六、布置作业 巩固目标
课后作业 见“学生用书”．
第2课时 实际问题与一元一次方程(二)
1．会分析盈亏中的数量关系，并能正确列出方程．
2．熟悉销售问题中主要的数量关系，探索销售中的利润问题、打折问题等．
利用盈亏问题中的等量关系，列方程．
分析数量关系，找出可以作为列方程依据的相等关系．
(设计者： )
一、创设情境 明确目标
一件衣服，按进价加价50%销售，后因季节原因，又降价50%销售，此时卖一件衣服商家是亏还是赢，还是不亏不赢？
你能猜想出商家在这次销售中的盈亏吗？为什么？
二、自主学习 指向目标
自学教材102页的探究1，完成下列问题：
1．利润
(1)利润＝售价－__进价__＝__利润率__×进价；
(2)利润率＝×100%；
(3)打x折的售价＝标价×.
2．某商品原来每件零售价为a元，现在每件降价10%，降价后每件售价是__0.9a__元．
3．某品牌彩电降价20%后，每台售价仅a元，则该品牌彩电每台原价应为__a__元．
4．某商品按定价的八折出售，售价为14.8元，则原售价是__18.5__元．
三、合作探究 达成目标
销售中的盈亏问题
活动一：例1 某商店在某一时间内以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%.卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，还是不盈不亏？
【展示点评】本题的相等关系是：衣服的售价－衣服的成本价＝利润．本题中的各个量是：成本价x元，售价60元，利润25%x元和－25%x元．
【小组讨论】“进价、售价、利润”之间的关系是什么？“进价、利润率、利润”之间的关系是什么？怎样利用上述数量关系列出方程？
【反思小结】判断盈亏问题时，应先求出商品的总进价，再与总售价比较，判断是盈利或亏损．特殊的当两件商品售价相同，一件盈利一件亏损，且盈利率与亏损率相等时，则亏损的比盈利的多，所以总体上是亏损的．
【针对训练】见“学生用书”．
有关打折销售问题
活动二：例2 某商店对一种商品调价，按原价的八折出售，打折后的利润率是20%，已知该商品的原价是63元，求该商品的进价．
【展示点评】打折问题的求解关键是理解“打几折”．如本题“八折”意即或80%.
【小组讨论】“原价(标价)、售价、折数”之间存在怎样的数量关系？本题的等量关系是什么？怎样设未知数？
【反思小结】本题用的等量关系是：标价×(即售价)－进价＝进价×利润率(利润)一般情况下，销售问题中的等量关系是：售价－进价＝利润．
【针对训练】见“学生用书”．
四、总结梳理 内化目标
1．四个常用公式：
售价＝标价× 利润＝售价－进价；
利润率＝ 售价＝进价×(1＋利润率)
2．一个常用的等量关系：售价－进价＝利润
五、达标检测 反思目标
1．一件商品标价为a元，打九折后售价为__0.9a__元，如果再打一次九折，那么现在的售价为__0.81a__元．
2．一批校服按八折出售，每件为x元，则这批校服每件的原价为( B )
A．80%x元 B.元
C．20%x元 D.元
3．某种品牌的电脑进价为5000元，按物价局定价的9折销售时获利760元，则此电脑的定价为多少元？
解：设此电脑的定价为x元，则
0．9x－5000＝760 解得：x＝6400
答：此电脑的定价为6400元．
4．我们的身边有一些股民，某股民将甲、乙两种股票卖出，甲种股票卖出1500元，盈利20%，乙种股票卖出1500元，但亏损20%，该股民在这次交易中是盈利还是亏损，盈利或亏损多少元？
解：设甲种股票买进x元，乙种股票买进y元，则
1500－x＝20%x 1500－y＝－20%y
解得：x＝1250 y＝1875
因此：(1500＋1500)－(1250＋1875)＝－125
所以本次交易是亏损的．
六、布置作业 巩固目标
课后作业 见“学生用书”．
第3课时 实际问题与一元一次方程(三)
1．能解决球赛积分问题．
2．通过球赛积分问题的探索，明确用方程解决问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合实际意义．
通过探索球赛积分表中的数量关系的过程，进一步体会方程是解决实际问题的数学模型．
掌握从图表中获取信息的方法，把实际问题转化为数学问题．
(设计者： )
一、创设情境 明确目标
我们都喜欢打篮球，你们知道篮球比赛胜一场积多少分，负一场积多少分吗？我们今天就来讨论与球赛积分有关的问题．
二、自主学习 指向目标
自学教材第103页的探究2，完成下列问题：
1．比赛总场数＝胜场数__＋__平场数__＋__负场数；比赛总积分＝胜场积分＋__平场积分__＋__负场积分__．
2．足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队进行了14场比赛，其中负了5场，共得19分，那么这个队胜了( C )
A．3场 B．4场 C．5场 D．6场
3．一次数学竞赛共15个选择题，选对一题得4分，选错一题倒扣2分，小明同学做完了全部题目，得42分，设他做对了x道题，则可列方程为__4x－2(15－x)＝42__．
三、合作探究 达成目标
利用一元一次方程解决球赛积分问题
活动一：阅读教材第103页“探究2”，相互交流思考下面的问题：
(1)用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系；
(2)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
【展示点评】观察积分榜，从最下面一行数据可以看出：负一场积1分．设胜一场积x分，从表中其他任意一行可以列方程，由第一行得10x＋4＝24，求出x＝2.
(1)如果一个队胜m场，则负(14－m)场，胜场积分为2m，负场积分为(14－m)．
总积分为：2m＋(14－m)＝m＋14
(2)假设2m＝14－m，则m＝.
想一想：m是什么量？它可以是分数吗？由此得到什么结论？
因为比赛场次不能为分数，所以胜场总积分不可能等于负场总积分．
【小组讨论】解决球赛积分问题，常用的等量关系有哪些？
【反思小结】(1)比赛总场数＝胜场数＋平场数＋负场数．(2)比赛总得分＝胜场得分＋平场得分＋负场得分(或减去负场扣分)．
【针对训练】见“学生用书”．
【反思小结】用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义．
四、总结梳理 内化目标
1．两个等量关系：比赛总场数＝胜场＋平场＋负场；胜场得分＋平场得分＋负场得分＝总积分(或各分量之和＝总量)．
2．解决有关图表信息问题．
3．解方程检验的意义．
五、达标检测 反思目标
1．郑逸是学校的篮球明星，在一场篮球比赛中，他一人得了23分，如果他投进的2分球比3分球多4个，那么他一共投进了__7__个2分球．
2．暑假里，《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛，比赛规定，胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，勇士队参加了12场比赛，共得22分，已知这个队只输了2场，那么此队胜几场？平几场？
解：设此队胜x场，平(12－x－2)场，则
3x＋(12－x－2)＝22 解得：x＝6
答：此队胜6场，平4场．
3．下表是某赛季全国男篮甲A联赛常规赛部分队最终积分榜：
序号
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
1
辽宁盼盼
22
12
10
34
2
八一双鹿
22
18
4
40
3
浙江万马
22
7
15
29
4
沈阳雄师
22
0
22
22
5
北京首钢
22
14
8
36
6
山东润洁
22
10
12
32
(1)请按积分排名，用序号表示__2－5－1－6－3－4__；
(2)由上表中可以看出，负一场积__1__分，由此可以计算出胜一场积__2__分；
(3)如果一个队胜m场，则负__(22－m)__场，胜场积__2m__分，负场积__(22－m)__分，总积分为__(22＋m)__分；
(4)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的3倍吗？
解：设某队胜场总积分等于负场总积分的3倍，则2m＝3(22－m) 解得：m＝
因为m为正整数，所以不合题意，则某队胜场总积分不能等于负场总积分的3倍．
六、布置作业 巩固目标
课后作业 见“学生用书”．
第4课时 实际问题与一元一次方程(四)
初步理解分段讨论问题，体会分类思想和方程思想．
探究电话计费问题转化成数学方程的思想方法．
在电话计费中，能理解并准确的划分时间t的取值范围．
(设计者： )
一、创设情境 明确目标
有四位同学到营业厅办理电话计费业务，营业员向他们出示了如下表两种移动电话计费方式：
月使用
费/元
主叫限定
时间/min
主叫超时费
/(元/min)
被叫
方式一
58
150
0.25
免费
方式二
88
350
0.19
免费
如果他们四人的平均每月通话时间为80 min、200 min、280 min和360 min.他们如何选择计费方式才更合适？你是如何思考的？请你通过计算帮他们选择合适的计费方式．
二、自主学习 指向目标
自学教材第104至105页，完成下列问题：
阅读教材第105页，根据理解的意思，用自己的话回答下面的问题．
1．方式一中“月使用费58元”的意思是：主叫时间不超过150_min时承担的固定收费58元．
2．方式一中“主叫限定时间150 min”是指：__主叫时间小于或等于150_min__．
3．方式一中“主叫超时费，每分钟0.25元”是指__主叫时间大于限定时间时，每分钟0.25元．
三、合作探究 达成目标
用一元一次方程解决“电话计费”问题
活动：阅读教材第104页探究3：
思考：你了解表格中这些数字的含义吗？选择更省钱的计费方式与哪个量有直接关系？应该如何将t的取值进行分类？
【展示点评】(1)设一个月内用移动电话主叫为t min(t为正整数)，列表说明：
当在不同的时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计算：
主叫时间t/min
方式一计费/元
方式二计费/元
t<150
t＝150
150<t<350
t＝350
t>350
(2)观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法．
①当t≤150时，按方式一的计费少．
②当t从150增加到350时，按方式一的计费由__58__元增加到__108__元，而按方式二的计费一直是__88__元．因此，当150<t<350时，可能会出现两种计费相等的情况，列方程：__58＋0.25(t－150)＝88__；解得__t＝270__，因此，如果主叫时间恰是__270__min，两种计费都是88元；如果主叫时间大于150min且小于270min，按__方式一计费少__；如果主叫时间大于270min且小于350min，按__方式二计费少__．
③当t＝350时，__方式二计费少__．
④当t>350时，可以看出，按方式一的计费为108元加上超过350min部分的超时费：__0.25(t－350)__；按方式二的计费为88元加上超过350min部分的超时费：__0.19(t－350)__；按方式二计费__少__．
综上所述，当__t<270__时，选择方式一省钱；
当__t＝270__时，选择两种方式一样．
当__t>270__时，选择方式二省钱．
【反思小结】回顾以上探究过程，我们发现解决此问题要先找出关键性的主叫时间，并由此进行分类，列出不同区间的计费方法，从而确定最省钱的方式．
【针对训练】见“学生用书”．
四、总结梳理 内化目标
在探究过程中用到了哪些方法？你有哪些收获？
五、达标检测 反思目标
根据下面的两种移动电话计费方式表，考虑下列问题.
全球通
神州行
月租(元)
25
0
本地通话费(元/分)
0.2
0.4
(1)设一个月内通话时间约为x分钟，这两种用户每月需缴的费用是多少元？(用含x的式子表示)
(2)一个月内通话多少分钟，两种移动通讯方式费用相同？
(3)若李老师一个月通话约80分钟，请你给他提个建议，应选择哪种移动通讯方式合算一些？请说明理由．
解：(1)全球通：(25＋0.2x)元，神州行：0.4x元 (2)125分钟 (3)神州行
六、布置作业 巩固目标
课后作业 见“学生用书”．
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