高三数学综合三.doc

2015届高三调研测试试卷(三)
数　　学
参考公式：
样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝(xi－)2，其中＝.
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合U＝{－1，0，1，2}，A＝{－1，1}，则∁UA＝__________．
2. 复数(1－2i)2(i是虚数单位)的共轭复数是________．
3. 已知某人连续投掷飞镖5次，环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为________．
4. 袋中装有2个红球，2个白球，这四个小球除颜色外其余均相同．现从中任意摸出2个小球，则摸出的两球颜色不同的概率为________．
5. 在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＝9，则其前9项和S9的值为________．
6. 若变量x、y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最大值为__________．
7. 右图是一算法的伪代码，执行此算法，最后输出的n的值为__________．
　n←6
　s←0
While　s＜15
　s←s＋n
　n←n－1
End　While
Print　n
(第7题)
8. 将函数y＝sin的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，得到的图象对应的函数为f(x)．若f(x)为奇函数，则φ的最小值为____________．
9. 下列四个命题：① 过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；② 过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；③ 如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；④ 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．其中所有真命题的序号是__________．

(第11题)

10. 在△ABC中，若9cos2A－4cos2B＝5，则的值为__________．
11. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2，＝，＝.若·＝－，则·＝______________．
12. 已知F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则的取值范围是____________．
13. 若实数x、y满足log2＝lny－＋ln，则ycos4x的值为____________．
14. 已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx(k＞0)有且仅有四个根，其最大根为t，则函数g(t)＝t2－6t＋7的值域为________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点．求证：
(1) 直线A1B1∥平面ABD；
(2) 平面ABD⊥平面BB1C1C.

(本小题满分14分)
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.
(1) 若cos＝sinA，求A的值；
(2) 若cosA＝，4b＝c，求sinB的值．
17. (本小题满分14分)
近年来，某企业每年消耗电费24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网．安装这种供电设备的费用(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：m2)成正比，比例系数为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：m2)之间的函数关系是C(x)＝(x≥0，k为常数)．记F(单位：万元)为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与15年所消耗的电费之和．
(1) 试解释C(0)的实际意义，并写出F关于x的函数关系式；
(2) 当x为何值时，F取得最小值？最小值是多少？
18. (本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点M(3，)，离心率e＝.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 过点M作两条直线与椭圆C分别交于相异两点A、B，F2是椭圆的右焦点．
① 若直线MA过坐标原点O，求△MAF2外接圆的方程；
② 若∠AMB的平分线与y轴平行，探究直线AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由．

19. (本小题满分16分)
已知f(x)是定义在集合M上的函数．若区间DM，且对任意x0∈D，均有f(x0)∈D，则称函数f(x)在区间D上封闭．
(1) 判断f(x)＝x－1在区间[－2，1]上是否封闭，并说明理由；
(2) 若函数g(x)＝在区间[3，10]上封闭，求实数a的取值范围；
(3) 若函数h(x)＝x3－3x在区间[a，b](a、b∈Z，且a≠b)上封闭，求a、b的值．
20. (本小题满分16分)
若数列{an}是首项为6－12t，公差为6的等差数列；数列{bn}的前n项和为Sn＝3n－t，其中t为实常数．
(1) 求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2) 若数列{bn}是等比数列，证明：对于任意的n(n∈N*)，均存在正整数cn，使得bn＋1＝acn，并求数列{cn}的前n项和Tn；
(3) 设数列{dn}满足dn＝an·bn.若{dn}中不存在这样的项dk，使得“dk＜dk－1”与“dk＜dk＋1”同时成立(k≥2，k∈N*)，求实数t的取值范围.

2013届高三调研测试试卷(二)
数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. 选修41：几何证明选讲(本小题满分10分)
如图，圆O的直径AB＝8，C为圆周上一点，BC＝4.过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．

B. 选修42：矩阵与变换(本小题满分10分)
已知矩阵M＝的一个特征值为3，求M的另一个特征值及其对应的一个特征向量．

C. 选修44：坐标系与参数方程(本小题满分10分)
在极坐标系中，A为曲线ρ2＋2ρcosθ－3＝0上的动点，B为直线ρcosθ＋ρsinθ－7＝0上的动点，求AB的最小值．
D. 选修45：不等式选讲(本小题满分10分)
设a1，a2，…，an都是正数，且a1·a2·…·an＝1，求证：(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)≥2n.

【必做题】 第22题、第23题，每题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P1＝，乙的命中率为P2.在射击比武活动中，每人射击两发子弹，则完成一次检测．在一次检测中，若两人命中次数相同且都不少于一发，则称该射击小组为“和谐组”．
(1) 若P2＝，求该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率；
(2) 若计划在2013年每月进行1次检测，记这12次检测中该小组获得“和谐组”的次数为X，如果EX≥5，求P2的取值范围．

23.已知f(x)＝(2＋)n，其中n∈N*.
(1) 若展开式中含x3项的系数为14，求n的值；
(2) 当x＝3时，求证：f(x)必可表示成＋(s∈N*)的形式．

2013届高三调研测试试卷(二)(盐城、南京)
数学参考答案及评分标准

1. {0，2}　2. －3＋4i　3. 　4. 　5. 27　6. 26　7. 3　8. 　9. ①③④　10.
11. －　12. [0，2＋2]　13. －1　14.
15. 证明：(1) 因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以A1B1∥AB.(3分)
而A1B1平面ABD，AB平面ABD，所以直线A1B1∥平面ABD.(6分)
(2) 因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC.
因为AB平面ABC，所以AB⊥BB1.(8分)
又AB⊥BC，BB1平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，且BB1∩BC＝B，
所以AB⊥平面BB1C1C.(11分)
又AB平面ABD，所以平面ABD⊥平面BB1C1C.(14分)
16. 解：(1) 因为cos＝sinA，即cosAcos－sinAsin＝sinA，
所以cosA＝sinA.(4分)
显然cosA≠0，否则，由cosA＝0，得sinA＝0，与sin2A＋cos2A＝1矛盾，所以tanA＝.
因为0＜A＜π，所以A＝.(7分)
(2) 因为cosA＝，4b＝c，根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝15b2，
所以a＝b.(10分)
因为cosA＝，所以sinA＝＝.
由正弦定理，得＝，所以sinB＝.(14分)
17. 解：(1) C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时，即未安装太阳能供电设备时该企业每年消耗的电费．(2分)
由C(0)＝＝24，得k＝2 400.(4分)
因此F＝15×＋0.5x＝＋0.5x，x≥0.(7分)
(2) 由(1)知，F＝＋0.5x＝＋0.5(x＋5)－2.5
≥2－2.5
＝57.5.(10分)
当且仅当＝0.5(x＋5)＞0，即x＝55时取等号．
所以当x为55时，F取得最小值为57.5万元．(14分)
(说明：第(2)题用导数求最值的，相应给分)
18. 解：(1) 由e＝，得＝＝，即a2＝9b2，
故椭圆的方程为＋＝1.(3分)
又椭圆过点M(3，)，所以＋＝1，解得b2＝4.
所以椭圆C的方程为＋＝1.(5分)
(2) ① 记△MAF2的外接圆的圆心为T.
因为直线OM的斜率kOM＝，所以线段MA的中垂线方程为y＝－3x.
又由M(3，)，F2(4，0)，得线段MF2的中点为N.
而直线MF2的斜率kMF2＝－1，所以线段MF2的中垂线方程为y＝x－3.
由解得T.(8分)
从而圆T的半径为＝，
故△MAF2的外接圆的方程为＋＝.(10分)

(3) 设直线MA的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由题意知，直线MA与MB的斜率互为相反数，故直线MB的斜率为－k.
直线MA的方程为y－＝k(x－3)，即y＝kx＋－3k.
由方程消去y，整理得
(9k2＋1)x2＋18k(1－3k)x＋162k2－108k－18＝0.(*)
由题意知，方程(*)有两解3，x1，
所以x1＝－3＝－3.
同理可得x2＝－3.(13分)
因此x2－x1＝，x2＋x1＝－6.
又y2－y1＝－kx2＋＋3k－(kx1＋－3k)
＝－k(x2＋x1)＋6k
＝－＋12k＝，
所以直线AB的斜率kAB＝＝＝，为定值．(16分)
19. 解：(1) 因为函数f(x)＝x－1在区间[－2，1]上单调递增，
所以当x∈[－2，1]时，f(x)的取值范围为[－3，0]．(2分)
而[－3，0][－2，1]，所以f(x)在区间[－2，1]上不是封闭的．(4分)
(2) 因为g(x)＝＝3＋.
① 当a＝3时，函数g(x)＝3，显然{3}[3，10]，故a＝3满足题意．
② 当a＞3时，在区间[3，10]上，函数g(x)单调递减，此时g(x)的取值范围为.
由[3，10]，得解得3≤a≤31，故3＜a≤31.(7分)
③ 当a＜3时，在区间[3，10]上，有g(x)＝3＋＜3，不合题意．
综上所述，实数a的取值范围是区间[3，31]．(9分)
(3) 因为h(x)＝x3－3x，所以h′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．
因为当x＜－1或x＞1时，h′(x)＞0；当x＝－1或1时，h′(x)＝0；当－1＜x＜1时，h′(x)＜0，所以h(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，在区间[－1，1]上单调递减，在区间[1，＋∞)上单调递增．
从而h(x)在x＝－1处取得极大值2，在x＝1处取得极小值－2.(11分)
方法一：
① 当a＜b≤－1时，因为h(x)在区间[a，b]上单调递增，
所以即解得
此时无解．
② 当a≤－1＜b≤1时，因为h(－1)＝2＞b，与“h(x)在区间[a，b]上封闭”矛盾，即此时无解．
③ 当a≤－1且b＞1时，因为h(－1)＝2，h(1)＝－2，故
由解得从而
④ 当－1≤a＜b≤1时，h(x)在区间[a，b]上单调递减，所以(*)
又a、b∈Z，所以或或
分别代入(*)检验，均不合要求，即此时无解．
⑤ 当－1≤a≤1且b≥1时，因为h(1)＝－2＜a，与“h(x)在区间[a，b]上封闭”矛盾，即此时无解．
⑥ 当1≤a＜b时，因为h(x)在区间[a，b]上递增，
所以即此时无解．
综上所述，a＝－2，b＝2.(16分)
方法二：
由题意知，即解得
因为a＜b，所以－2≤a≤0，0≤b≤2.
又a、b∈Z，故a只可能取－2，－1，0，b只可能取0，1，2.
① 当a＝－2时，因为b＞0，故由h(－1)＝2，得b≥2.因此b＝2.
经检验，a＝－2，b＝2满足题意．
② 当a＝－1时，由于h(－1)＝2，故b＝2，此时h(1)＝－2，不满足题意．
③ 当a＝0时，显然不满足题意．
综上所述，a＝－2，b＝2.(16分)
20. 解：(1) 因为{an}是等差数列，所以an＝(6－12t)＋6(n－1)＝6n－12t(n∈N*)．(2分)
因为数列{bn}的前n项和为Sn＝3n－t，所以当n≥2时，bn＝(3n－t)－(3n－1－t)＝2×3n－1.
又b1＝S1＝3－t，故bn＝(4分)
(2) 因为{bn}是等比数列，所以3－t＝2×31－1，解得t＝1.
从而an＝6n－12，bn＝2×3n－1(n∈N*)．
对任意的n∈N*，由于bn＋1＝2×3n＝6×3n－1＝6(3n－1＋2)－12，
令cn＝3n－1＋2∈N*，则acn＝6(3n－1＋2)－12＝bn＋1，所以命题成立．(7分)
从而数列{cn}的前n项和Tn＝2n＋＝×3n＋2n－.(9分)
(3) 由题意得dn＝
当n≥2时，dn＋1－dn＝4(n＋1－2t)·3n＋1－4(n－2t)·3n＝8·3n.
① 若2t－＜2，即t＜时，dn＋1＞dn.
由题意得d1≤d2，即6(3－t)(1－2t)≤36(2－2t)，解得≤t≤.
因为＜，所以t∈.(12分)
② 若2≤2t－＜3，即≤t＜时，dn＋1＞dn(n∈N，n≥3)．
由题意得d2＝d3，即4(2t－2)×32＝4(2t－3)×33，解得t＝.
③ 若m≤2t－＜m＋1(m∈N，m≥3)，即＋≤t＜＋(m∈N，m≥3)时，
dn＋1≤dn(n∈N，2≤n≤m)；dn＋1≥dn(n∈N，n≥m＋1)．
由题意得dm＝dm＋1，即4(2t－m)×3m＝4(2t－m－1)×3m＋1，解得t＝.
综上所述，t的取值范围是.(16分)

2013届高三调研测试试卷(二)(盐城、南京)
数学附加题参考答案及评分标准
21. A. 选修41：几何证明选讲

解：连结OC，BE.
因为AB是圆O的直径，所以BE⊥AE.
因为AB＝8，BC＝4，所以OB＝OC＝BC＝4，即△OBC为正三角形．
所以∠BOC＝60°.(4分)
又直线l切⊙O与于点C，所以OC⊥l.
因为AD⊥l，所以AD∥OC.
所以∠BAD＝∠BOC＝60°.(8分)
在Rt△BAE中，因为∠EBA＝90°－∠BAE＝30°，
所以AE＝AB＝4.(10分)
B. 选修42：矩阵与变换
解：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)(λ－x)－4.(2分)
因为λ1＝3是方程f(λ)＝0的一个根，
所以(3－1)(3－x)－4＝0，解得x＝1.(4分)
由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ＝－1或3，所以λ2＝－1.(6分)
设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝，
则从而y＝－x.(8分)
取x＝1，得y＝－1，
所以矩阵M的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝.(10分)
C. 选修44：坐标系与参数方程
解：圆的极坐标方程化为直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4，
所以圆心的直角坐标为(－1，0)，半径为2.(4分)
又直线方程可化为x＋y－7＝0.(6分)
所以圆心到直线的距离d＝＝4，
所以AB的最小值为4－2.(10分)
D. 选修45：不等式选讲
证明：因为a1是正数，所以1＋a1≥2＞0.(5分)
同理1＋ak≥2＞0(k＝2，3，4，…，n)．
因此(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)≥2，当且仅当a1＝a2＝…＝an＝1时等号成立．
因为a1·a2·…·an＝1，所以(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)≥2n.(10分)
22. 解：(1) 记该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为P，
则P＝＋＝.
故该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为.(4分)
(2) 该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为
P＝[C·P2·(1－P2)]＋P＝P2－P.
因为该小组在这12次检测中获得“和谐组”的次数X～B(12，P)，所以EX＝12P.(7分)
由EX≥5，得12≥5，解得≤P2≤.
因为P2≤1，所以P2的取值范围为.(10分)
23. (1) 解：因为Tr＋1＝C·2n－rx.
令＝3，得r＝6，故x3的系数为C·2n－6＝14，解得n＝7.(4分)
(2) 证明：由二项式定理可知
(2＋)n＝C2n＋C2n－1()＋C2n－2()2＋…＋C2n－r()r＋…＋C()n
＝[C2n＋C2n－2()2＋…]＋(C2n－1＋C·2n－3·3＋…)．(6分)
令x＝C2n＋C2n－2()2＋…，y＝C2n－1＋C·2n－3·3＋…，显然x∈N*，y∈N*.
则(2＋)n＝x＋y，(2－)n＝x－y，
所以(2＋)n·(2－)n＝x2－3y2＝1.
令s＝x2，则必有s－1＝x2－1＝3y2.
从而(2＋)n必可表示成＋的形式，其中s∈N*.(10分)