中考数学一轮复习 第7讲 一元二次方程及其应用教案-人教版初中九年级全册数学教案.doc

第7讲一元二次方程及其应用
一、复习目标
1.了解一元二次方程的定义及一般形式．
2．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解带有数字系数的一元二次方程．
3．会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根和两个实根是否相等．
4．了解一元二次方程的根与系数的关系（不要求应用这个关系解决其他问题）．
5．能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
1．熟练配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解带有数字系数的一元二次方程．
2．会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根和两个实根是否相等．
四、教学过程
（一）、知识梳理
一元二次方程的概念及一般形式
1.－元二次方程的定义：只含有_______个未知数，并且未知数的最高次数是_______的_______式方程叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式是________（a_______0），其中ax2叫做_______项，a是_______，bx叫做_______，b是_______，c叫做_______项．
一元二次方程的四种解法
1．一元二次方程的解法：
(1)直接开平方法：形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程的根为________．
(2)配方法的步骤：移项 ，二次项的系数化为1（该步有时可省略），配方，直接开平方．
(3)求根公式法：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac_______0时，x＝________．
(4)因式分解法：如果一元二次方程可化为a(x－x1)(x－x2)＝0的形式，那么方程的解为________．
一元二次方程的根的判别式
1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式△＝________．
(1)当△>0时， 方程有两个_______的实数根．
(2)当△＝0时，方程有两个_______的实数根．
(3)当△<0时， 方程没有实数根．
2．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1＋x2＝________，x1•x2＝________．
一元二次方程的应用

应用类型
等量关系
增长率问题
(1)增长率＝增量÷基础量(2)设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1＋m)n＝b，当m为平均下降率时，则a(1－m)n＝b
利率问题
(1)本息和＝本金＋利息(2)利息＝本金×利率×期数
销售利润问题
(1)毛利润＝售出价－进货价(2)纯利润＝售出价－进货价－其他费用(3)利润率＝利润÷进货价
（二）题型、方法归纳
考点1一元二次方程的概念及一般形式
技巧归纳：运用1．一元二次方程的概念；2．一元二次方程的一般式；3．一元二次方程的解的概念，解决此问题。
考点2一元二次方程的解法
技巧归纳：可以利用一元二次方程的四种解法中的任意一种解决此题。利用因式分解法解方程时，当等号两边有相同的含未知数的因式(如例2)时，不能随便先约去这个因式，因为如果约去则是默认这个因式不为零，那么如果此因式可以为零，则方程会失一个根，出现漏根错误．所以应通过移项，提取公因式的方法求解．
考点3一元二次方程的根的判别式
技巧归纳：(1)判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别式Δ＝b2－4ac的值，看它是否大于0.因此，在计算前应先将方程化为一般式．(2)注意二次项系数不为零这个隐含条件
考点4一元二次方程的应用
技巧归纳：1．用一元二次方程解决变化率问题：a(1±m)n＝b；
2．用一元二次方程解决商品销售问题．
（三））典例精讲
例1 已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
[解析] 把x＝－a代入x2＋bx＋a＝0，得(－a)2＋b×(－a)＋a＝0，∴a2－ab＋a＝0，
所以a－b＋1＝0，∴a－b＝－1，故选择A
例2 解方程：x2－4x＋2＝0.
[解析] 通过对方程的观察发现此题直接应用公式法 x＝ 解比较方便．
解：∵Δ＝42－4×1×2＝ 8，∴x＝.
x1＝2＋ ，x2＝2－.
点析：利用因式分解法解方程时，当等号两边有相同的含未知数的因式(如例2)时，不能随便先约去这个因式，因为如果约去则是默认这个因式不为零，那么如果此因式可以为零，则方程会失一个根，出现漏根错误．所以应通过移项，提取公因式的方法求解．
例3 已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0.
(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；
(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．
解：(1)∵b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(2m－1)
＝m2－4m＋8 ＝(m－2)2＋4>0，
∴方程恒有两个不相等的实数根．
点析：(1)判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别式Δ＝b2－4ac的值，看它是否大于0.因此，在计算前应先将方程化为一般式．(2)注意二次项系数不为零这个隐含条件
拓展题：
例4 为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费做如下规定：一间宿舍一个月用电量若不超过a千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a千瓦时，则除了交20元外，超过部分每千瓦时要 交元．某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份用电45千瓦时，交电费20元．
(1)求a的值；
(2)若该宿舍5月份交电费为45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？、
解：（1）根据3月份用电80千瓦时，交电费35元，得，
，
即。                
解得a=30或a=50。              
由4月份用电45千瓦时，交电费20元，得，a≥45。 ∴a=50。
（2）设月用电量为x千瓦时，交电费y元。
则     
∵5月份交电费45元，
∴5月份用电量超过50千瓦时。
∴45=20＋0.5（x－50），
解得x=100。              
答：若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为100千瓦时。
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握一元二次方程的概念及一般形式、 一元二次方程的四种解法 、一元二次方程的根的判别式及一元二次方程的应用。
（五）随堂检测
1.k取什么值时，方程x2－kx＋4＝0有两个相等的实数根？求这时方程的根．
2.已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(　　)
A．a＞2 B．a＜2
C．a＜2且a≠1 D．a＜－2
3、已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
(2)若＝x1x2－1，求k的值．
五、板书设计
概念 解法 判别式
六、作业布置
一元二次方程及其应用课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。