资源描述
21．1 二次函数
1．掌握二次函数的概念，能识别一个函数是不是二次函数；(重点)
2．能根据实际情况建立二次函数模型．(难点)
一、情境导入
已知长方形窗户的周长为6米，窗户面积为y(平方米)，窗户宽为x(米)，你能写出y与x之间的函数关系式吗？它是什么函数呢？
二、合作探究
探究点一：二次函数的概念
【类型一】 二次函数的识别
下列函数哪些是二次函数？
(1)y＝2－x2; (2)y＝；
(3)y＝2x(1＋4x); (4)y＝x2－(1＋x)2.
解析：(1)是二次函数；(2)是分式而不是整式不符合二次函数的定义，故y＝不是二次函数；(3)把y＝2x(1＋4x)化简为y＝8x2＋2x，显然是二次函数；(4)y＝x2－(1＋x)2化简后变为y＝－2x－1，它不是二次函数而是一个一次函数．
解：二次函数有(1)和(3)．
方法总结：判定一个函数是否是二次函数常有三个标准：①所表示的函数关系式为整式；②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式最高次数为2，且函数关系式中二次项系数不等于0.
【类型二】 根据二次函数的定义求待定字母的值
如果函数y＝(k＋2)xk2－2是y关于x的二次函数，则k的值为多少？
解析：紧扣二次函数定义求解．注意易错点为忽视k＋2≠0.
解：根据题意知∴k＝2.
方法总结：紧扣定义中的两个特征：①a≠0；②自变量最高次数为2的二次三项式ax2＋bx＋c.
【类型三】 与二次函数系数有关的计算
已知一个二次函数，当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝；当x＝－1时，y＝.求这个二次函数中各项系数的和．
解析：
解：设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．把x＝0，y＝0；x＝2，y＝；x＝－1，y＝分别代入函数表达式，得解得所以这个二次函数的表达式为y＝x2.所以a＋b＋c＝＋0＋0＝，即这个二次函数中各项系数的和为.
方法总结：涉及有关二次函数表达式的问题，所设的表达式一般是二次函数表达式的一般形式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．解决这类问题要根据x，y的对应值，列出关于字母a，b，c的方程(组)，然后解方程(组)，即可求得a，b，c的值．
探究点二：建立二次函数模型
某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元．
(1)请写出y与x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围；
(2)当每件商品降价15元时，每星期售出商品的利润为多少元？
解析：根据题意可以知道：实际每件商品的利润为(60－x－40)，每星期售出商品的数量为(300＋20x)，则每星期售出商品的利润为y＝(60－x－40)(300＋20x)元，化简，注意要求出自变量x的取值范围．
解：(1)由题意，得：
y＝(60－x－40)(300＋20x)
＝(20－x)(300＋20x)
＝－20x2＋100x＋6000，
自变量x的取值范围为0≤x≤20；
(2)把x＝15代入y＝－20x2＋100x＋6000得y＝3000(元)，即当每件商品降价15元时，每星期售出商品的利润为3000元．
方法总结：销售利润＝单件商品利润×销售数量；单件商品利润＝售价－进价．
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法．
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