资源描述
课题：第七讲一元二次方程
考试目标要求：
1.了解一元二次方程的有关概念．
2.能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．
3. 会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况．了解根与系数的关系.
4. 会列一元二次方程解实际问题，并能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.
教学重点与难点：
重点：掌握一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，以及列一元二次方程解决实际生活中的问题.
难点：列一元二次方程解决实际问题和转化思想、方法的应用.
教法与学法指导：
教法：针对九年级学生复习时的知识结构和心理特征，本节课可选择引导探索归纳法，由浅入深，由特殊到一般的提出问题.引导学生自主探索，合作交流，归纳总结.这种教学理念反映时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性.基本教学流程是：知识建构—分类讨论—问题解决—课堂小结，课堂检测—布置作业五部分.
学法：在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式，让学生思考问题，回顾和获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体.
课前准备：多媒体课件、学案.
教学过程：
一、课前热身，知识再现：
活动内容：训练热身
1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A . B.
C. D.
2. （2014年云南省，第5题3分）一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（ ）
A．x1=1，x2=2 B． x1=1，x2=﹣2 C． x1=﹣1，x2=﹣2 D． x1=﹣1，x2=2
3. （2014•舟山，第11题4分）方程x2﹣3x=0的根为 ．
4. （2014•四川自贡，第5题4分）一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
5. （2014·云南昆明，第6题3分）某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
处理方式：课前利用3~5分钟时间进行练习，学生独立完成，然后公布答案，教师通过统计测试结果，针对学生出现的问题，适当调整本节课的复习侧重点．进行5道简单的题目测试，期中，第1题为“一元二次方程的概念的理解”，第2、3题为“一元二次方程的解法”，第4题为“一元二次方程根的判别式”，第5题为“一元二次方程的应用”．
设计意图：意在突出三方面作用：一、让学生对本节课所要回顾的内容有初步的感受，并引导学生根据自我认知情况构建知识体系；二、教师通过学生出现的问题，及时了解学情并调整复习的侧重点；三、引出下列复习目标．
二、揭示任务，明确目标：（课件展示）
1.了解一元二次方程的有关概念．
2.能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．
3.会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况．了解根与系数的关系.
4.会列一元二次方程解实际问题，并能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.
处理方式： 通过多媒体展示，让学生默读明标，明确本节课的复习目标.
设计意图：让学生了解、明确中考对本知识点的要求，使学生复习过程中明确复习的方向.
师：结合中考要求，你能结合课本和课前梳理的基础知识总结一下有关一元二次方程的相关知识吗？
三、 构建知识网络：
一元二次方程
概念
解法
应用
直接开
平方法
配方法
公式法
因式分解法
降次
一般形式
ax2+bx+c=0
(a ≠0)
匀变速运
动问题
传播问题
几何图形面积问题
增长率问题
1、根据具体问题中的数量关系，列出方程。
2、能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
关键是找准题目中的等量关系。
重 点
理解
掌握
难 点
会
根与系数的关系
当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac<0时，方程没有实数根.
处理方式：学生根据课前的复习，结合课本，利用小组讨论合作，教师指导小组交流，师生共同总结画出本节的知识树.（课件展示）
设计意图：以知识树的形式帮助学生总结实数的内容，可以让学生更好的了解实数的知识框架，更好的从整体把握实数内容，使知识更加科学、系统.
四、考点剖析，知识再现
活动内容1：（多媒体出示）
考点一：一元二次方程的概念
课前测试：例1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A . B.
C. D.
定义：只含有 未知数，并且 ，这样的整式方程就是一元二次方程.
一般形式：
处理方式：结合课前测试的试题，引出知识点，并进行细致讲解．其中：引导学生理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论.
设计意图：本活动意在以题目引出知识点，将课前测试的效果发挥出来，对“一元二次方程的概念”有更深层次的理解和认识.
跟踪训练：
（2012•兰州）下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ）
A．+=0 B．
C．=1 D．
活动内容2：（多媒体出示）
考点二：一元二次方程的解法
例2.（2014江苏无锡，20，8分）解方程：；
方法一：原方程化为：
配方，得
整理，得
∴,即，.
方法二：
，即，.
解一元二次方程的方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法
处理方式：找2—3位同学在黑板上进行展示，然后全班交流讨论处理这类问题时的注意事项．如学生处理方法单一，则利用媒体出示另外一种处理方法，引导学生处理问题时应机动灵活．同时在处理该问题时，应注意引导学生选择合适的方法来解一元二次方程．
设计意图：通过本例题的设置，锻炼学生解一元二次方程的能力，同时，一题多解让学生体会到解一元二次方程时的灵活性．
跟踪训练：
1. （2014湖北荆州，3，3分）将代数式化成的形式（ ）
A、 B、 C、 D、
2.（2014•南充，6，3分）方程的解是（ ）
A、2 B、3 C、﹣1，2 D、﹣1，3
3.（2014清远，18，5分）解方程：．
处理方式：考点二主要复习的是一元二次方程的四种解法1,2题可由学生进行讲解.3题学生黑板自主展示，教师进行巡视指导，进行点拨鼓励，最后由其他学生批改共同完成.
注意事项：在教学中，教师在学生完成的基础上进行规范步骤.
设计意图：由题目来巩固一元二次方程的四种解法.让学生进一步明确解一元二次方程的四种解法，达到灵活运用的目的.
活动内容3：（多媒体出示）
考点三：根的判别式
例3.（2014深圳）下列方程没有实数根的是（ ）
A. B. C. D.
运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：
﹥0方程有 ；
=0方程 ；
﹤0方程 ；
处理方式：由1位同学进行讲解，然后全班交流讨论如何利用根的判别式来判断一元二次方程根的情况．
设计意图：让学生进一步理解根的判别式的作用，加强对根的判别式的运用．
活动内容4：（多媒体出示）
考点四：根与系数的关系
例4.（2014•黔东南州）若一元二次方程的两根分别为、，则= .
相关知识:根与系数的关系： ， .
变式训练：已知关于x的方程.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根．
(2)当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．
处理方式：学生分析写出第1题的证明过程.第2题学生相互讨论得出结果，重点是怎样运用根与系数的关系来解决此题.
设计意图：本题考查了根的判别式和根与系数的关系，要记牢公式，灵活运用．
活动内容5：（多媒体出示）
考点五：应用解答题
例5. （2014•毕节地区，第25题12分）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．
（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；
（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．
处理方式：本题是二次函数和一元二次方程的综合应用.小组合作交流，选出小组代表黑板板书过程.
解：（1）∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天生产量减少5件．
∴第x档次，提高的档次是x﹣1档．
∴y=[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]，
即y=﹣10x2+180x+400（其中x是正整数，且1≤x≤10）；
（2）由题意可得：﹣10x2+180x+400=1120
整理得：x2﹣18x+72=0
解得：x1=6，x2=12（舍去）．
答：该产品的质量档次为第6档．
设计意图：本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=-时取得．
五、探讨收获 课时小结
师：通过本节课的复习，你都掌握了哪些数学知识，运用了哪些数学思想方法？你还有什么疑难问题吗？
处理方式：学生先独立思考，小组交流然后由学生口答，老师重点梳理一元二次方程的解法，规范做题步骤;对于一元二次方程的实际应用让学生总结方法思路.
设计意图：鼓励学生对一元二次方程内容特别是做题的方法和思路进行总结，使知识更加系统、完善，形成体系.
六、分层评价 当堂达标
A组：
1.（2014•泰州，3，3分）一元二次方程的根是（ ）
A、 B、 C、 D、
2.（2014甘肃兰州，10，4分）用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
3.（ 2014•广西贺州，第16题3分）已知关于x的方程x2+（1﹣m）x+=0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是 ．
4.（2014•新疆，第19题10分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
设计意图：Ａ组题目为必做题，要求学生在５～８分钟内完成.规定时间和内容，一方面可以了解学生对本节课所复习内容的掌握情况，同时也可以培养学生快速准确解答问题的能力.
B组：（选做题）
1.（2014•襄阳，第16题3分）若正数a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根，则a的值是 ．
2.（2014•株洲，第21题，6分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
设计意图：Ｂ组问题为学有余力的同学设计，努力使每个学生在课堂上都有所发展，也充分利用课堂时间提高了优秀生解决问题的能力，这一问题也可以放到课下作为其他学生的课后作业.
七、布置作业：
A组
市编资料第31页必做1-10
B组
市编资料第32页11, 第33页12
板书设计
一元二次方程
知识结构 一 概念 三 根的判别式 五实际应用
例题 例题 例题
二解法 四根与系数的关系 练习
例题 例题
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