正弦函数的图像与性质.ppt

,普通高中课程标准,Liangxiangzhongxue,良乡中学数,学组 任宝泉,良乡中学数学组 制作,：任宝泉,普通高中课程标准数学,4(,必修,),第一章 基本初等函数（,II,）,2025年1月2日,书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟,少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲,成功,=,艰苦的劳动,+,正确的方法,+,少谈空话,天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！,天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！,1.3三角函数的图像与性质,1.3.1,正弦函数的图像与性质,（约,5,课时）,勤劳的孩子展望未来,但懒惰的孩子享受现在,!,什 么 也 不 问 的 人 什 么 也 学 不 到,!,第一课时,1.,正弦函数的图像,一、复习引入,通过前面的学习，我们完成了研究三角函数的准备工作，实质上我们分几个阶段进行的。,角的概念的扩充,0,360,扩充到任意角,角度制与弧度制,任意一个实数,x,对应一个角,三角函数的定义,六个三角函数法则的理解,诱导公式,任意角三角函数转化到锐角计算,二、提出问题,今天我们就开始研究三角函数。研究它的图像、性质。,概念,1,：,正弦函数的定义,三、概念形成,研究三角函数，通常我们用弧度制来表示角，记为,x,（实数，,x rad,）表示自变量，用,y,表示函数值。于是：,正弦函数表示为：,由三角函数的定义，函数,y=sinx,的定义域是实数集,R,-,-,-1,1,-,-,-1,-,-,作法,:,(1),等分,(2),作正弦线,(3),平移得点,(4),连线,概念,2,：,正弦函数的图像,三、概念形成,为什么研究此范围？,概念,2,：,正弦函数的图像,三、概念形成,1.,描点法,(1).,列表,(2).,描点,(3).,连线,-,-,-,-,-,-,描点,概念,2,：,正弦函数的图像,三、概念形成,(2).,描点,注意五个关键点,!,概念,2,：,正弦函数的图像,正弦函数,y=sinx,，,xR,的图像叫做正弦曲线。,-,-,-,-,1,-1,正弦曲线,三、概念形成,简图作法,与,x,轴交点,图象最高点,图象最低点,图象中关键点,(,五点作图法,),(1),列表,(,列出对图象形状起关键作用的,五点坐标,),(2),描点,(,定出五个关键点,),(3),连线,(,用光滑的曲线顺次连结五个点,),概念,3,：,五点法作正弦函数图像,三、概念形成,四、应用举例,例,1,：用“五点法”作函数,y=1+sinx,，在,x,0,，,2,上的简图,：,解,:,列表,描点作图,-,-,-,五、课堂练习,课本第,39,页，练习,A,，,1,，,2,六、归纳小结,1.,正弦函数,y=sinx,的几何画法,:,等分,作正弦线,平移,连线,2.,正弦函数,y=sinx,的五点法作图,:,七、布置作业,课本第,39,页，练习,B,，,1,，,2,良乡中学数学组,下课,第二、三课时,2.,正弦函数的性质,概念,4,：,正弦函数的性质,三、概念形成,（,2,）值域：,（,1,）定义域为,R,：,y,-1,，,1,，即,|sinx|1,（,3,）最值：,当 时，,当 时，,概念,4,：,正弦函数的性质,三、概念形成,（,4,）奇偶性：,由,sin,（,-x,）,=-sinx,，知,y=sinx,为奇函数。正弦曲线关于原点对称。,思考：,y=sinx,，,x,R,是中心对称图形，其对称中心是什么？,对称中心坐标为,上都从,-1,增大到,1,，是增函数。,概念,4,：,正弦函数的性质,三、概念形成,（,5,）单调性：,y=sinx,在每一个闭区间,上都从,1,减小到,-1,，是减函数。,由诱导公式,sin(x+2k)=sinx,kZ,可知，当自变量,x,每增加或减少,2,的整数倍时，正弦函数的值重复出现。这种性质称为,三角函数的周期性。,概念,4,：,正弦函数的性质,三、概念形成,（,6,）周期性：,对于一般的函数我们可以这样定义：,概念,4,：,正弦函数的性质,三、概念形成,（,6,）周期性：,对于函数,f(x),，如果存在一个,非零常数,T,，使得定义域内的每一个,x,值都满足：,f,（,x+T,）,=f,（,x,）,那么函数,f(x),就叫做,周期函数,，非零常数,T,叫做这个,函数的周期,。,根据周期函数的定义，正弦函数,y=sinx,是一个周期函数，,2k(kZ,，且,k0),都是它的周期。即周期函数的周期不只一个，若,T,为函数的周期，,kT,（,k0,）也是函数的周期。,概念,4,：,正弦函数的性质,三、概念形成,（,6,）周期性：,对于一个函数,f(x),，如果在周期中存在一个,最小正数,，那么这个最小正数就叫做它的,最小正周期,。,在正弦函数的所有周期,T=2k(kZ,，且,k0),中，最小正数是,2,，因此正弦函数,y=sinx,有最小正周期,2,，不加说明时，,求周期均指最小正周期,。,例,3,：求使下列函数取得最大值和最小值的,x,的取值，并求其相应的最大值和最小值。,（,1,）（,2,）,（,3,）,例,2,：设,sinx=t-3,，,x5R,求,t,的取值范围。,四、应用举例,四、应用举例,例,4,：求下列函数的周期：,(1)(2),利用此法推导函数 的周期公式,例,5,：不通过求值，指出下列各式大于零还是小于零：,（,1,）（,2,）,四、应用举例,课堂练习：第,43,页，练习,A,，,1,，,2,，,3,，,4,，,5,五、归纳小结,1.,正弦函数的性质,（,1,）定义域,（,2,）值域,（,3,）最值,（,4,）奇偶性,（,5,）单调性,（,6,）周期性,2.,函数 的周期公式,六、布置作业,课本第,43,页，练习,B,，,3,，,4,，,5,弹性作业：,优化设计，第,22,页，同步测控，,我夯基，我达标,良乡中学数学组,下课,第四、五课时,3.,正弦函数,一、提出问题,阅读教材第一章扉页问题并思考,二、概念形成,P,概念,1,：,角速度,连接运动质点和圆心的半径在单位时间内转过的弧度叫做“,角速度,”。角速度的,单位是弧度,/,秒（,rad/s),，读作弧度每秒。它是描述物体转动或一质点绕另一质点转动的快慢和转动方向的,物理量,。,P,点的纵坐标,y,与时间,t,的函数关系为：,二、概念形成,P,概念,2,：,正弦型函数,形如 （其中 都是常数）的函数在物理学、工程学等科学领域中经常用到，这种类型的函数通常叫做,正弦型函数,。,P,点旋转一周所需要的时间 叫做点,P,转动的周期。,二、概念形成,P,概念,3,：,正弦型函数相关概念,在一秒内，点,P,旋转的周数,叫做转动的,频率,。,叫做转动的,初相,。,三、应用举例,概念,4,：,正弦型函数 的图像及性质,例,1.,在同一坐标系下作函数 及 的简图。,x,0,sin,x,0,1,0,-1,0,2sin,x,0,2,0,-2,0,sin,x,0,0,0,解：先作,0,2,上的简图，然后再向左右延展。,.,概念,4,：,正弦型函数 的图像及性质,y,x,o,2,-2,y,=2sin,x,y,=sin,x,y,=sin,x,.,.,.,.,例,1.,在同一坐标系下作函数 及 的简图。,三、应用举例,y=Asinx,的图像的特征,小结,:,一般地函数,y=Asinx,xR(,其中,A0,且,A1),的图像,可看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长,(A1,时,),或缩短,(,当,0A1,时,),到原来的,A,倍,(,横坐标不变,),而得到。其值域是,:,A,A,。,A,称为振幅,。,由,y=sinx,到,y=Asinx,的变换称为,振幅变换,。,概念,4,：,正弦型函数 的图像及性质,三、应用举例,例,2.,在同一坐标系中作函数 及 的简图。,概念,4,：,正弦型函数 的图像及性质,三、应用举例,例,2.,在同一坐标系中作函数 及 的简图。,概念,4,：,正弦型函数 的图像及性质,三、应用举例,x,o,y,1,-1,例,2.,在同一坐标系中作函数 及 的简图。,概念,4,：,正弦型函数 的图像及性质,三、应用举例,的图像的特征,小结：一般地，函数 （其中 ）的图像，可以看作把正弦曲线上所有的点向左（当 时,),或向右,(,当 时,),平行移动,个单位长度而得到。,叫,相位,，叫,初相,。,由 到 的变换叫,相位变换,。,概念,4,：,正弦型函数 的图像及性质,三、应用举例,概念,4,：,正弦型函数 的图像及性质,例,3.,在同一坐标系中作函数 及 的图像,解,:,两个函数周期分别为 和,先作一个周期内的图像 列表如下,:,三、应用举例,概念,4,：,正弦型函数 的图像及性质,x,y,o,1,-1,y,=sin2,x,y,=sin,x,三、应用举例,的图像的特征,小结：一般地函数 （其中 且,),的图像,可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短,(,当 时,),或伸长,(,当 时,),到原来的 倍,(,纵坐标不变,),而得到,.,称为,周期,到 的变换称为,周期变换,。,概念,4,：,正弦型函数 的图像及性质,三、应用举例,概念,4,：,正弦型函数 的图像及性质,例,4.,作函数 的简图。,三、应用举例,x,o,y,3,-3,概念,4,：,正弦型函数 的图像及性质,例,4.,作函数 的简图。,三、应用举例,概念,4,：,正弦型函数 的图像及性质,例,4.,作函数 的简图。,横坐标不变,纵坐标变为原来的,3,倍,横坐标变为原来的,1/2,纵坐标不变,图像向左平移,三、应用举例,概念,4,：,正弦型函数 的图像及性质,例,5.,如图，是一个按照正弦规律变化的交流电的图像，根据图像求出它的周期、频率和电流的最大值，并写出图像的解析式（课本第,48,页例题,10,）。,三、应用举例,四、课堂练习,课本第,49,页，练习,A,，,1,，,2,，,3,，,4,，,五、归纳小结,2.,正弦型函数,1.,角速度,3.,了解正弦型函数 有关名称及相关概念：,周期、频率、相位、初相,4.,掌握正弦型函数 ，及 的图像与 图像的关系。,5.,正弦型函数的应用,六、布置作业,课本第,50,页，练习,B,，,1,（书上），,2,，,3,，,4,，,5,弹性作业：,优化设计，第,22,页，同步测控，,我夯基，我达标,良乡中学数学组,下课,