研究性学习设计导数的概念.doc

研究性学习设计（导数的概念）
作者姓名
刘文明
任职单位
临邑一中
学科
数学
年级
高中三年级
单元标题
导数的概念
研究性学习名称
瞬时速度与导数。
小组成员
5人
所需时间
2课时（内容较多，两节连排）
【学习目标】（或概述）
利用质点运动的平均速度公式，固定区间的某一端点，缩小区间长度，用无限逼近的思想求质点在端点处的瞬时速度，进一步归纳出函数的瞬时变化率概念，也就是导数的概念。

【情境】
2011上海游泳世锦赛中，中国选手陈若琳在女子十米跳台比赛中技压群芳夺得冠军。设在10米跳台上，陈若琳跳离跳台时垂直向上的速度为6.5m/s。陈若琳此时刻距离水面的高度为 h(t)=-4.9t2+6.5t+10，求运动员在区间[2，2+]上的平均速度，并思考如何求出运动员在t =2时的瞬时速度。

【任务与预期成果】

任务：（1） 跳水运动中运动员高度随时间变化的函数为，求运动员
在区间[2，2+]上的平均速度，当从正负两个方向不断趋近于0时，观察平均速度的
变化情况，由此抽象出在t=2时的瞬时速度的表达式。
（2） 类比瞬时速度表达式给出一般函数在某一点的瞬时变化率的定义，
进而给出函数在某一点的导数的定义，并能按照定义求一些简单函数的导数。

预期成果：当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度
都趋近于一个确定的值．得到结论：平均速度的极限就是瞬时速度，并给出在t=2时的瞬时速度表达式：，类比瞬时速度表达式给出一般函数在
某一点的瞬时变化率的定义：，
进一步升华到导数的定义：

【过程】（过程要体现研究性学习的主要环节）

1、分组： 学生每五人一组，分为若干组内异质，组间同质的小组，确定组长。

2、 分配任务，收集信息：
(1) 跳水运动中运动员高度随时间变化的函数为，求运动员
在区间[2，2+]上的平均速度的表达式，并计算当分别取 —0.1, —0.01, —0.01,—0.001,—0.0001......时, 平均速度对应的一系列值, 然后计算 分别取 0.1, 0.01, 0.01,0.001,0.0001......时, 平均速度对应的一系列值., 可由组长再把本组细分为两组，一组计算>0的的值,一组计算<0的的值.

(2) 根据(1)中的计算结果,组员共同完成下表:

△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ] 时间内
△t>0时, 在[2, 2 +△t ] 时间内
当△t = – 0.1时, =
当△t = 0.1时, =
当△t = – 0.01时, =
当△t = 0.01时, =
当△t = – 0.001时, =
当△t = 0.001时, =
当△t = – 0.0001时, =
当△t = 0.0001时, =

……

……

表格及表格中的数据要由学习小组通过计算得出。

3、各组成员在组长安排下从以下三个方面分析整理数据信息：
（1）观测分析上表中的数据规律。
（2）从物理的观点如何解读上述规律。
（3）思考在时的瞬时速度，如何用一个数学式子表示这一瞬时速度。

4、、不同组之间分享各之研究成果，最后形成较为一致的分析结论：
（1） 当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，
平均速度都趋近于一个确定的值．
（2） 从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于2时的瞬时速度，
因此，质点在时的瞬时速度是
（3） 用一个式子表示在时的瞬时速度：

5．升华研究成果，给出导数定义：
（1）由瞬时速度类比归纳出任一函数在某一点处的瞬时变化率的定义：
（2）给出新定义：瞬时变化率就是导数，记作：，
完成研究的升华。
（3）小组探究、总结归纳出求函数y＝f(x)在点x0处的导数．一般步骤是什么？
预期结论：
第一步： 求平均变化 率
第二步： 求平均变化率的极限：
第三步： 得结论，即：
6、迁移应用：
（1）、能根据导数定义求函数y=c，y=x2，,y=1/x。 在点x0处的导数f'(x0)
（2）、把导数中的x0替换成x，给出导函数的概念。并请小组讨论与的关系。

【评价设计】

可评价的学习要素：

1、小组合作水平：
A、参与度：小组成员参与度是否高，气氛是否浓烈，分工是否明确。
B、集体观念、配合情况：
小组成员是否有一种不甘落后，为小组而战，恐本组落后的精神状态。
小组成员间配合是否默契，相互包容，紧张高效。

2、表达水平与探究水平：
A、小组各成员的理解认识能否集中为小组的研究成果，并能推举一位组员把本组的研究成果
清楚，明白，条理的表达出来。
B、小组探究成果与预期成果的距离。
C、从瞬时速度到瞬时变化率再到导数的类比推理、抽象概括能力。

3、对概念知识的迁移： A、能否按照步骤求一些简单函数在某一点处的导数。
B、能否理解与的关系。

【资源列表】
教科书、计算器 ，明确的研究性学习方案。纸笔。多媒体教室。能反映研究性过程的课件。
有关牛顿，莱布尼茨的有关资料。