上海市罗泾中学九年级数学上册 25.1 锐角三角比的意义（第1课时）教案 沪教版五四制.doc

25.1 锐角三角比的意义（第1课时）
教学目标：
1、掌握锐角的正切和余切的概念及相互关系。
2、初步应用锐角的正切和余切概念求出锐角的正切和余切的值。
3、学生在探究锐角正切和余切的概念中，经历 “实验—观察—猜想—论证”的自我体验过程，从而感受数学发现、创造的历程。
4、通过积极参与数学学习和解决问题的活动，发展主体意识、评价意识，初步养成积极探究的态度、独立思考的习惯和团队合作精神。
教学重点和难点：
教学重点：锐角的正切和余切的意义。
教学难点：锐角的正切和余切表示法的理解和正确运用。

教学过程：
一、复习提问
1． 脑筋急转弯：世界上有什么东西永远也放大不了也缩小不了呢？

2． 这道题蕴含了我们前一阶段所学的什么数学知识？
师：在放缩变换中，除了角是不变的量以外，还有没有其他不变的量呢？
C
A
B

3． 已知，（如图）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，∠B= °，为什么？
4． 已知，（如图）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，AB= ，为什么？
师：我们可以看到在直角三角形中，角与角之间、边与边之间都存在着相互的联系，那么直角三角形的边与角之间是否也存在着某种关系呢？
5． 已知，（如图）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=，∠A=
6． 已知，（如图）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=，∠A= °
师：通过以上两小题的解答，你能得出什么结论吗？

7． 已知，（如图）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，∠A= °？
师：虽然这个问题我们暂时解决不了，但是，只要我们把直角三角形中的锐角与边之间的关系学好了，这个问题就可以迎刃而解了。
设计意图：本环节是为了了解学生的认知基础，带领学生做好学习新课的知识准备。通过层层深入的问题设计，激发学生学习新知的兴趣，也让学生清晰地明确为什么要学习“锐角三角比”，知道学习“锐角三角比”的意义，同时逐步引入新课。
二、锐角的正切和余切概念的引入及运用
1．引入
问题提出：教师、学生出示两把大小不同，但同含45°角的三角尺。
师：请大家拿出含有45°角的三角尺，45°角所对的直角边与其相邻的直角边的比值是多少？老师手上的这把三角尺45°角所对的直角边与其相邻的直角边的比值是多少？这个比值是否会随着三角形的放缩而产生变化？
类似地探究含30°角的直角三角尺的有关性质。
学生初步形成概念：直角三角形中，一个特殊锐角所对的直角边与所邻的直角边两条线段长度的比值与直角三角形的大小无关。
设计意图：利用教具模型，具有直观性，有力地启发学生。
师：是个好办法，这也是我们物理学中常用的办法。但是测量会产生误差，求比值时如果数据不友好计算量也会很大。有没有更具有说服力的办法？
学生讨论：（教师提示：平行线分线段成比例中的某条定理在这里是否能用上？）
由以上操作可得到： Rt△AB1C1、Rt△AB2C2、Rt△AB3C3，显然有B1C1‖ B2C2‖B3C3，于是可得：
师：通过大家的共同努力，我们的猜测得到了很好的证实，从而我们可以得出怎样的结论呢？（学生归纳，教师加以补充）
结论：在放大和缩小时，当锐角A的大小固定不变后，无论Rt△ABC的边长怎么变化，两条直角边的比值总是不变的。（也就是说直角三角形的两条直角边的比值随着直角三角形中锐角大小的确定而唯一确定。）
设计意图：学生经历“操作—猜测—论证—归纳”的自我体验过程，感受数学发现、创造的历程，激发学生探究精神和相互协作精神。

2.锐角的正切和余切概念的得出
师：正因为直角三角形中的锐角与两条直角边之间存在着这样一种关系，为了简洁而明了地表示出这种关系，聪明的古人运用了一些记号来表示直角三角形的锐角与边之间的关系，这就是我们今天要学习的“锐角三角比”（揭示课题）
我们把锐角A的对边（BC）与其邻边（AC）的比叫做锐角A的正切。记作：tanA。
即：
师：既然在直角三角形中，锐角的对边与其邻边的比值与锐角的大小有关，那么锐角的邻边与其对边的比值当然也与锐角的大小有关。因此，就产生了第二个“锐角三角比”。
我们把锐角A的邻边（AC）与对边（BC）的比叫做锐角A的余切。记作：cotA。
即：

① 同一锐角的正切与余切互为倒数，即：
② 两个互余锐角的正切互为倒数，两个互余锐角的余切也互为倒数。
即：若∠A+∠B=90°，则有tanA·tanB＝1，cotA·cotB＝1
③ 两个互余的锐角中，一锐角的正切等于它余角的余切。
即：若∠A+∠B=90°，则有tanA＝ctgB，tanB=cotA
设计意图：由题目的结果，让学生自己找出正切和余切的相互关系。而不是教师直接的灌输。同时，要让学生养成在解题时自己画草图的习惯。
例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=2，AC=2，求：BC和AB的值。
设计意图：例1和练习题都是由线段的长求出正切或余切。本题正好相反，利用正切值，求出直角边的长。使学生学会灵活使用掌握的知识，培养他们举一反三的能力。

巩固练习四：
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，，AB=10，BC=_______ ,AC=__ _____。
2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，找出与cotB相等的所有的线段的比。
（本题既要考虑到∠B可以在两个直角三角形中，又要考虑到与∠B相等的角的余切。目的是为了培养学生严密的思维能力，同时强调了“当直角三角形一个锐角的大小确定后，不论边长怎样变化，直角边的比值总是确定的”。

三、课堂小结
学生自主小结，在相互的交流中，感知本节课学习的体会和收获。可能在讨论中会存在一些困惑。此时，教师及时点拨，合作完成课堂小结。
1、 直角三角形两条直角边的比随着直角三角形中锐角大小的确定而唯一确定。
2、 正切和余切的概念。
3、 正切与余切的关系：
① 同一锐角的正切与余切互为倒数，即：
② 两个互余锐角的正切互为倒数，两个互余锐角的余切也互为倒数。
即：若∠A+∠B=90°，则有tanA·tanB＝1，cotA·cotB＝1
③ 两个互余的锐角中，一锐角的正切等于它余角的余切。
即：若∠A+∠B=90°，则有tanA＝cotB，tanB=cotA
设计意图：体现教学的民主性，同时培养学生归纳、概括问题的能力和团队合作精神，教师适当引导学生反思学习过程，增强信心，提高兴趣。

四、作业
1、必做题 练习册： 习题25.1（1）
2、兴趣题 运用今天所学的知识，测量学校国旗旗杆的高度。
设计意图：1、巩固新知，发现和弥补教与学中的不足之处。
2、让学生带着数学问题走出课堂，感受数学来自于实践又服务于实践的思想，体验数学真正的价值。