高三数学离散型随机变量期望及方差.doc

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离散型随机变量的期望和方差

【本讲教学信息】
一. 教学内容：
离散型随机变量的期望和方差

二. 教学目标：
1. 了解离散型随机变量的期望和方差的概念与意义，了解标准差。
2. 掌握期望与方差的计算公式：
德育目标：、
教育学生节约粮食，让他们懂得”粒粒皆辛苦”

三. 重点、难点：
重点：期望与方差的计算。
难点：二项分布的期望与方差及应用。

【典型例题】
例1 如果在一次试验中，某事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，这件事A发生偶数次的概率为________．
分析：发生事件A的次数，所以，其中的k取偶数0，2，4，…时，为二项式 展开式的奇数项的和，由此入手，可获结论．
解：由题，因为且取不同值时事件互斥，所以，．（因为，所以）
说明：如何获得二项展开式中的偶数次的和？这需要抓住与展开式的特点：联系与区分，从而达到去除p奇次，留下p偶次的目的．
根据分布列求随机变量组合的分布列

例2 已知随机变量的分布列为

－2
－1
0
1
2
3
P

分别求出随机变量的分布列．
解： 由于对于不同的有不同的取值，即，所以的分布列为

－1

0

1

P

对于的不同取值－2，2及－1，1，分别取相同的值4与1，即取4这个值的概率应是取－2与2值的概率与合并的结果，取1这个值的概率就是取－1与1值的概率与合并的结果，故的分布列为

0
1
4
9
P

说明：在得到的或的分布列中，或的取值行中无重复数，概率得中各项必须非负，且各项之和一定等于1．
例3 某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数的分布列．
分析：确定取哪些值以及各值所代表的随机事件概率，分布列即获得．
解：本题要求我们给出耗用子弹数的概率分布列．我们知道只有5发子弹，所以的取值只有1，2，3，4，5．当时，即；当时，要求第一次没射中，第二次射中，故；同理，时，要求前两次没有射中，第三次射中，；类似地，；第5次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以，所以耗用子弹数的分布列为：

0
1
2
3

0.9
0.09
0.009
0.0001
说明：搞清的含义，防止这步出错．时，可分两种情况：一是前4发都没射中，恰第5发射中，概率为0.14×0.9；二是这5发都没射中，概率为0.15，所以，．当然，还有一种算法：即．

例 4 一批零件中有9个合格品与3个不合格品．安装机器时，从这批零件中任取一个．如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列．
分析：取出不合格品数的可能值是0，1，2，3，从而确定确定随机变量的可能值．
解：以表示在取得合格品以前取出的不合格品数，则是一个随机变量，由题设可能取的数值是0，1，2，3．
当＝0时，即第一次就取到合格品，其概率为

当＝1时，即第一次取得不合格品，不放回，而第二次就取得合格品，其概率为

当＝2时，即第一、二次取得不合格品，不放回，第三次取得合格品，其概率为

当＝3时，即第一、二、三次均取得不合格品，而第四次取得合格品，其概率为

所以的分布列为

0
1
2
3
P
0.750
0.204
0.041
0.005
说明：一般分布列的求法分三步：（1）首先确定随机变量的取值哟哪些；（2）求出每种取值下的随机事件的概率；（3）列表对应，即为分布列
【模拟试题】
一. 选择题：
1. 某牧场的10头牛因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知疯牛病发病的概率为0.02。若发病的牛数为x，则Dx等于（ ）
A. 0.2 B. 0.196
C. 0.8 D. 0.812
2. 某处有供水龙头5个，调查表明每个水龙头被打开的可能性为，随机变量x表示同时被打开的水龙头的个数，则为（ ）
A. 0.0081 B. 0.0729
C. 0.0525 D. 0.0092
3. 袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数为x，则Ex等于（ ）
A. 4 B. 5
C. 4.5 D. 4.75

二. 填空题：
4. 已知盒中有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需用一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为___________。
5. 设一次试验成功的概率为P，现进行16次独立重复试验，当P＝________时，成功次数的标准差最大，其最大值为__________。

三. 解答题：
6. 现要从甲、乙两个技工中选派一人参加技术比赛，已知他们在同样的条件下每天的产量相等，而出次品的个数的分布列如下：
（甲）
次品数x1
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
（乙）
次品数x2
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2
根据以上条件，选派谁去合适？
7. 进行某种试验，设试验成功的概率为，失败的概率为，以x表示试验首次成功所需试验的次数，试写出x的分布列，并计算x取偶数的概率。