《3.2.1直线的点斜式方程》教学案3.doc

《3.2.1直线的点斜式方程》教学案3
一、教学目标
1、知识与技能
(1)理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；
(2)能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程.
(3)体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
2、过程与方法
在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别.
3、情感情态与价值观
通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题.
二、教学重点、难点：
(1)重点：直线的点斜式方程和斜截式方程.
(2)难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用.
教学过程设计：
【创设情景】
师：上一节我们分析了在直角坐标系内确定一条直线的几何要素.那么，我们能否用给定的条件(点P0的坐标和斜率，或P1，P2的坐标)，将直线上的所有点的坐标()满足的关系表示出来呢？这节课，我们一起学习直线的点斜式方程.
【探求新知】
师：若直线经过点，且斜率为，求直线的方程.
生：(给学生以适当的引导)设点P()是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为，
由斜率公式得：
，可化为：
……………… ①
〖探究〗：思考下面的问题：(不必严格地证明，只要求验证)
(1)、过点，斜率为的直线上的点，其坐标都满足方程①吗？
(2)、坐标满足方程①的点都在过点，斜率为的直线上吗？
生：经过探究和验证，上述的两条都成立.所以方程①就是过点，斜率为的直线的方程.
因此得到：
(一)、直线的点斜式方程：

其中()为直线上一点坐标，为直线的斜率.
方程①是由直线上一定点及其斜率确定，叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.
师：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？(让学生思考，互相讨论)
生1：不能，因为不是所有的直线都有斜率.
生2：对，因为直线的点斜式方程要用到直线的斜率，有斜率的直线才能写成点斜式方程，如果直线没有斜率，其方程就不能用点斜式表示.
师：very good！
那么，轴所在直线的方程是什么？轴所在直线的方程又是什么？
生：因为轴所在直线的斜率为=0，且过点(0，0)，
所以轴所在直线的方程是=0.(即：轴所在直线上的每一点的纵坐标都等于0.)
而轴所在直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但轴所在直线上的每一点的横坐标都等于0.
所以轴所在直线的方程为：=0.
师：那些与轴或轴平行的直线方程又如何表示呢？
生：(猜想)与轴平行的直线的方程为：；
与轴平行的直线的方程为：.
师：当直线的倾斜角为0°时，，即=0，直线与轴平行或重合，直线方程为：，或.
当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，直线与轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为：，或.
经过分析，同学们的猜想是正确的.

师：已知直线的斜率为k，与y轴的交点是P(0，b)，求直线的方程.
生：因为直线的斜率为，与y轴的交点是P(0，b)，代入直线方程的点斜式，
x
y
o
b

得直线的方程为：
即：

(二)、直线斜截式方程：
………… ②
我们把直线与轴交点(0，)的纵坐标叫做直线在轴上的截距(即纵截距).方程②是由直线的斜率和它在轴上的截距确定的，所以叫做直线斜截式方程，简称为斜截式.
师：截距是距离吗？
生：不是，b为直线l在y轴上截距，截距不是距离，截距是直线与坐标轴交点的相应坐标，是一个实数，可正可负可为零；距离是线段的长度，是非负实数.
师：观察方程，它的形式具有什么特点？
生：左端的系数恒为1，右端的系数和常数均有几何意义：是直线的斜率，是直线在轴上的截距.
师：当直线倾斜角为90°时，它的方程能不能用斜截式来表示？
生：不能，因为直线没有斜率.
师：方程与我们学过的一次函数的表达式之间有什么关系呢？
生：当时，直线斜截式方程就是一次函数的表示形式.
【例题分析】
〖例1〗直线经过点P0(-2，3)，且倾斜角α=45°，求直线的点斜式方程，并画出直线.
师：分析并根据已知条件，先求得直线方程的斜率.代入直线的点斜式方程即可求得.
生：(思考后自主完成解题过程)
y
x
o
α
•
解：直线经过点P0(-2，3)，斜率是：.
代入点斜式方程得.
这就是所求的直线方程，如右图中所示.(画图时，
只需要再找到满足方程的另一个点即可.)
〖例2〗已知直线
试讨论：(1)的条件是什么？(2)的条件是什么？
师：让学生回忆前面用斜率判断两条直线平行、垂直的结论.
生：(思考后互相交流意见、想法.)总结得到：
对于直线

【课堂精练】
课本P95练习1，2，3，4.
说明：通过加强练习来熟悉直线方程的点斜式与斜截式.
【课堂小结】
师生：通过本节内容的学习，要求大家掌握直线方程的点斜式，了解直线方程的斜截式，并了解求解直线方程的一般思路. 求直线方程需要两个独立的条件(斜率及一点)，根据不同的几何条件选用不同形式的方程.
【课后作业】
P100 习题3.2 1.(1)、(2)、(3)、(5)、(6)