变量之间的关系-(2).docx

1.通过本章学习会探索具体情境中两个变量之间的关系,进一步发展符号感和抽象思维.能发现实际情境中的变量及其相互关系,并确定其中的自变量和因变量.2.能从表格、关系式、图象中分析出某些变量之间的关系,并能用自己的语言进行表述,发展有条理地进行思考和表达的能力,并结合对变量之间关系的分析,尝试对变化趋势进行初步的预测.3.能从运动变化的角度解释生活中的数学现象,体验成就感,获得学习的快乐,发展对数学更高层次的认识.通过知识的整合复习,提升对生活中变量数学模型的认识,提升分析问题和解决问题的能力.培养学生观察生活、从生活中提取数学信息的意识.培养学生在探究问题过程中的合作精神.【重点】能从表格、图象中分析变量之间的关系,发展有条理地进行思考和表达的能力.【难点】运用表示变量之间关系的方法分析变量之间的关系,分析问题、解决问题,进行预测.专题一自变量和因变量【专题分析】在客观世界中存在着许多“成对”的变量,其中一个量随着另一个量的变化而变化,我们把主动变化的量叫做自变量,另一个量称为因变量.表示自变量与因变量之间关系的方法有三种:表格、关系式和图象.本章作为今后学习函数的基础和起点,在中考中多是间接关联考查.ABC的底边BC=8 cm,当BC边上的高AD从小到大变化时,ABC的面积也随之变化.(1)在这个变化过程中,自变量和因变量各是什么?(2)ABC的面积y(cm2)与高x(cm)的关系式是什么?(3)用表格表示当x由5 cm变到15 cm时(每次增加2 cm),y的相应值;(4)当x每增加2 cm时,y如何变化?解析(1)ABC的面积随高的变化而变化,因而高是自变量,ABC的面积是因变量.(2)根据三角形的面积公式就可以得到.(3)已知x的值就可以求出相应的y的值,进而得到图表.(4)根据图表就可以得到当x每增加2 cm时,y的变化情况.解:(1)在这个变化过程中,BC边上的高AD是自变量,ABC的面积是因变量.(2)y=12BCx=128x=4x,即y与x之间的关系式是y=4x.(3)列表格如下:x/cm579111315y/cm2202836445260(4)由(3)可看出,当x每增加2 cm时,y增加8 cm2.解题策略利用三角形的面积公式S=12ah,可找出问题的突破口,体会高与面积之间的变化关系,几种表示变量关系的方法要学会灵活应用.【针对训练1】一个长方体的底面是一个边长为10 cm的正方形,它的高变化时,长方体的体积也随之变化.(1)在这个变化过程中,自变量是,因变量是;(2)若长方体的高为h(cm),则长方体的体积V(cm3)与h的关系式为;(3)当高由1 cm变化到8 cm时,长方体的体积由cm3变化到cm3.答案(1)长方体的高长方体的体积(2)V=100h(3)100800专题二用表格表示的变量间关系【专题分析】依据表格提取数学信息是中考中经常出现的一种命题方式.在现实生活中经常用表格整理实验得出的数据,我们能从表格中获得变量之间关系的信息,必要时可以从自变量和因变量两个方面分别观察数据,寻找出自变量和因变量存在的关系,并根据表格中的资料尝试对变化趋势进行初步的预测,这是解决这类问题的关键.一名同学在用弹簧做实验,在弹簧上挂上不同质量的物体后,弹簧的长度就会发生变化,实验数据如下表:所挂物体的质量/kg012345弹簧的长度/cm1212.51313.51414.5(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)弹簧不挂物体时的长度是多少?如果用x表示弹性限度内物体的质量,用y表示弹簧的长度,那么随着x的变化,y的变化趋势如何?(3)如果此弹簧最大挂重量为15 kg,你能预测当挂重为10 kg时,弹簧的长度是多少吗?解:(1)所挂物体的质量是自变量,弹簧的长度是因变量.(2)弹簧不挂物体时长度是12 cm,随着x的增大y的值逐渐增大.(3)弹簧所挂质量每增加1 kg,弹簧的长度增加0.5 cm,所以当挂重为10 kg时,弹簧长度为17 cm.【针对训练2】果子成熟从树上落到地面,它落下的高度与经过的时间有如下的关系:时间t/秒0.50.60.70.80.91高度h/米50.2550.3650.4950.6450.8151(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)请你列出果子落下的高度h(米)与时间t(秒)之间的关系式;(3)如果果子经过2秒落到地上,那么请估计果子开始落下时离地面的高度是多少米.解:(1)两个变量是时间和高度,其中时间是自变量,高度是因变量.(2)h=5t2.(3)果子开始落下时离地面的高度是20米.专题三用关系式表示的变量间关系【专题分析】用关系式表示的变量间关系经常是根据题目中的已知条件和两个变量之间的关系,利用公式、变化规律或者数量关系得到等式,在关系式中自变量和因变量的值是一一对应的,经常需要用到代数式求值解决问题.中考命题中经常考查反映变量关系的关系式,除了通过观察直接写出外,有的需要根据一定的条件计算后求得.一辆汽车以每小时50千米的速度行驶了t小时,行驶的路程为s千米.(1)上述哪些量在变化?自变量是什么?因变量是什么?(2)写出s与t之间的关系式;(3)求该汽车行驶3.5小时的路程;(4)一段公路全长350千米,这辆汽车行驶完全程需要多少小时?解:(1)时间t和路程s在变化,其中时间t是自变量,路程s是因变量.(2)s=50t.(3)当t=3.5时,s=503.5=175(千米).(4)当s=350时,t=35050=7(小时).【针对训练3】东风商场文具部的某种毛笔每支售价为25元,书法练习本每本售价为5元.该商场为了促销制定了两种优惠方法,甲:买一支毛笔就赠送一本书法练习本;乙:按购买金额打九折付款.某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支,书法练习本x(x10)本.(1)写出每种优惠办法实际付款金额y甲(元)、y乙(元)与x(本)之间的关系式;(2)购买同样多的书法练习本时,按哪种优惠方法付款更省钱?解:(1)y甲=2510+5(x- 10)=5x+200.y乙=(2510+5x)0.9=4.5x+225.(2)当y甲=y乙时,即5x+200=4.5x+225,解得x=50.当x50时,乙种更优惠;当x=50时,甲、乙相同;当x50时,甲种更优惠.专题四用图象表示的变量间关系【专题分析】用图象表示的变量间关系比较直观,能很好地看出变化趋势,注意在图象中探索变量之间的关系的方法,明确横轴和纵轴各表示什么,单位也要注意.对于一个图中有多个图象的情况,还要注意图象右上角的标注.本专题是历年中考的常考点,多数是以解答题的方式出现.小红与小兰从学校出发到距学校5千米的书店买书,下图反映了她们两人离开学校的距离与时间的关系.根据图象尝试解决提出的问题.(1)小红与小兰谁先出发?谁先到达?(2)描述小兰离学校的距离与时间的变化关系;(3)小兰前20分钟的速度和最后10分钟的速度分别是多少?(4)小红与小兰从学校到书店的平均速度各是多少?解析这是一个s- t图象,s表示离开学校的距离,t表示时间,由图象可以得出,小红和小兰不是同时出发,小红晚出发10分钟,中间没有停歇,50分钟后到达目的地;小兰先出发10分钟,20分钟后停歇30分钟,和小红同时到达目的地.解:(1)小兰先出发,同时到达.(2)前20分钟,随时间推移,离学校距离增大;2050分钟,离学校距离不变;5060分钟,随时间推移,离学校距离增大.(3)前20分钟:22060=6(千米/时);后10分钟:(5- 2)60- 5060=18(千米/时).(4)小红平均速度:55060=6(千米/时);小兰平均速度:51=5(千米/时).【针对训练4】某人驾车从A地上高速公路前往B地,中途在服务区休息了一段时间.出发时油箱中存油40升,到B地后发现油箱中还剩油4升,则表示出发后到B地油箱中所剩油y(升)与时间t(小时)之间关系的大致图象是()解析从A地上高速公路到中途在服务区,油箱中所剩油逐渐减少,在服务区休息的这段时间,油箱中所剩油不变,从服务区到B地油箱中所剩油逐渐减少到4升,结合图象的意义,只有C符合要求.故选C.专题五数形结合思想【专题分析】数形结合思想是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系,既分析其数量关系,又揭示其几何意义,把数量关系和几何图形巧妙地结合起来,使问题得以解决的一种数学思想.如图所示,点P是等边三角形ABC的边上的一个做匀速运动的动点,其由点A开始沿AB边运动到B,再沿BC边运动到C为止,设运动时间为t,ACP的面积为S,则表示S与t的关系的大致图象是()解析从动点的运动情况可知ACP的面积逐渐增大,达到最大值后又逐渐变小,顾可排除B,ABC为等边三角形,点P做匀速运动,可得S与t之间的关系的大致图象是C.故选C.解题策略解决此类问题,注意将过程分成几个阶段,依次分析各个阶段的变化情况,进而综合分析整体的变化情况.【针对训练5】向高为10 cm的容器中注水,注满为止,若注水量V(cm3)与水深h(cm)之间的关系的图象大致如右图所示,则这个容器是下列四个图中的()解析根据图象,可知注水量V(cm3)与水深h(cm)之间的关系是注水量V随着h的增大,增加的速度逐渐减慢,从容器中可以看出B符合.故选B.【针对训练6】如图所示,底面积为30 cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”,现向容器中匀速注水,注满为止,在注水过程中,水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图所示.试根据图中提供的信息,解答下列问题:(1)圆柱形容器的高为cm,匀速注水的水流速度为cm3/s;(2)若“几何体”的下方圆柱的底面积为15 cm2,则图中a的值为;(3)在(2)的条件下,“几何体”上方圆柱的高为cm,底面积为cm2.解析(1)根据图象得到圆柱形容器的高为14 cm,两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11 cm,水从刚漫过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了42- 24=18(s),这段高度为14- 11=3(cm),设匀速注水的水流速度为x cm3/s,则18x=303,解得x=5,即匀速注水的水流速度为5 cm3/s.(2)“几何体”下方圆柱的高为a cm,则a(30- 15)=185,解得a=6.(3)由a=6可得“几何体”上方圆柱的高为11- 6=5(cm),设“几何体”上方圆柱的底面积为S cm2,根据题意得5(30- S)=5(24- 18),解得S=24,即“几何体”上方圆柱的底面积为24 cm2.答案(1)145(2)6(3)524本章质量评估(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度y(cm)与所挂的物体的质量x(kg)间有下面的关系:x012345y1010.51111.51212.5下列说法不正确的是()A.x与y都是变量,且x是自变量,y是因变量B.弹簧不挂重物时的长度为0 cmC.物体质量每增加1 kg,弹簧长度y增加0.5 cmD.所挂物体质量为7 kg时,弹簧长度为13.5 cm2.某市大部分地区今年5月中下旬的天气情况是:前5天小雨,后5天暴雨.那么能反映该市主要河流水位变化情况的图象大致是()3.打开某洗衣机开关,在洗涤衣服时(洗衣机内无水),洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程,其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间满足某种关系,其关系图象大致为()4.小王利用计算机设计了一个程序,输入和输出的数据如下表:输入12345输出1225310417526那么,当输入数据8时,输出的数据是()A.861B.863C.865D.8675.你一定知道乌鸦喝水的故事吧!一个紧口瓶中盛有一些水,乌鸦想喝,但是嘴够不着瓶中的水,于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中,瓶中水面的高度随石子的增多而上升,乌鸦喝到了水.但是还没解渴,瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度,乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中,水面又上升,乌鸦终于喝足了水,哇哇地飞走了.如果设衔入瓶中石子的体积为x,瓶中水面的高度为y,下面能大致表示上面故事情节的图象是()6.小颖从家出发,直走了20分钟,到一个离家1000米的图书室,看了40分钟的书后,用15分钟返回到家,下图中表示小颖离家时间与距离之间的关系的是()7.为了增强抗旱能力,保证今年夏粮丰收,某村新修建了一个蓄水池,这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管(两个进水管的进水速度相同)一个进水管和一个出水管的进出水速度如图(1)所示,某天0点到6点(至少打开一个水管),该蓄水池的蓄水量如图(2)所示,并给出以下三个论断:0点到1点不进水,只出水;1点到4点不进水,不出水;4点到6点只进水,不出水.则一定正确的论断是()A.B.C.D.8.如图所示的是水滴入一个玻璃容器的示意图(滴水速度保持不变),下列图象能正确反映容器中水的高度(h)与时间(t)之间的关系的是()9.甲、乙两同学从A地出发,骑自行车在同一条公路上行驶到距A地60千米的B地,他们距出发地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间的关系如图所示,根据图中提供的信息,符合图象描述的说法是()A.乙在行驶过程中休息了一会儿B.甲在行驶过程中没有追上乙C.甲比乙先出发1小时D.甲行驶的速度比乙行驶的速度快10.甲、乙两同学从A地出发,骑自行车在同一条路上行驶到B地,他们离出发地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间的关系的图象如图所示,根据图中提供的信息,有下列说法:他们都行驶了18千米;甲在途中停留了0.5小时;乙比甲晚出发了0.5小时;相遇后,甲的速度小于乙的速度;甲、乙两人同时到达目的地.其中,符合图象描述的说法有()A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题(每小题4分,共32分)11.某书定价25元,如果一次购买20本以上,超过20本的部分打八折(原价的80%),试写出付款金额y(单位:元)与购书数量x(单位:本)之间的关系式:.12.在一定条件下,若物体运动的路程s(m)与时间t(s)之间的关系式为s=5t2+2t,则当t=4时,该物体所经过的路程为.13.如图所示的是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y(元)与销售量x(件)之间的关系图象.下列说法:买2件时甲、乙两家售价一样;买1件时买乙家的合算;买3件时买甲家的合算;买乙家的1件售价约为3元.其中正确的说法是.14.某市家庭电话月租费为25元,市内通话费平均每次为0.2元.若莹莹家上个月共打出市内电话a次,那么上个月莹莹家应付话费y与a之间的关系为;若莹莹家上个月共打出市内电话100次,那么莹莹家应付话费元.15.下表是某报纸公布的我国“九五”期间国内生产总值(GDP)的统计表,那么这几年间我国国内生产总值平均每年比上一年增长万亿元.年份19961997199819992000GDP/万亿元6.67.37.98.28.916.假定甲、乙两人在一次赛跑中,路程与时间的关系如图所示,那么可以知道:(1)甲、乙两人中先到达终点的是;(2)乙在这次赛跑中的速度为m/s.17.拖拉机工作时,油箱中的余油量Q(升)与工作时间t(时)的关系式为Q=40- 6t.当t=4时,Q=,从关系式可知道这台拖拉机最多可工作小时.18.某种树木的分枝生长规律如下表所示,则预计到第6年时,树木的分枝数为.年份分枝数第1年1第2年1第3年2第4年3第5年5三、解答题(共58分)19.(8分)下表是佳佳往妹妹家打长途电话的几次收费记载:通话时间/分1234567电话费/元0.61.21.82.43.03.64.2(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)你能帮佳佳预测一下,如果她打电话用时是10分钟,那么需付多少电话费?20.(12分)小明某天上午9时骑自行车离开家,15时回到家,他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况(如下图所示).(1)图象表示了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)10时和13时,他分别离家多远?(3)他到达离家最远的地方是什么时间?离家多远?(4)11时到12时他行驶了多少千米?(5)他可能在哪段时间内休息,并吃午餐?(6)他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少?21.(9分)商店在出售某商品时,在进价的基础上增加一定的利润,其质量x与售价y之间的关系如下表所示:质量x/千克1234售价y/元8+0.416+0.824+1.232+1.6(1)请根据表中提供的信息,写出y与x的关系式;(2)求x=2.5时,y的值;(3)当x取何值时,y=126?22.(9分)小明在暑期社会实践活动中,以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场上去销售,在销售了40千克西瓜之后,余下的每千克降价0.4元,全部售完.销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如图所示.请你根据图象提供的信息完成以下问题:(1)求降价前销售金额y(元)与售出西瓜x(千克)之间的关系式;(2)小明从批发市场共购进多少千克西瓜?(3)小明这次卖西瓜赚了多少钱?23.(8分)某空军加油飞机接到命令,立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油,在加油过程中,设运输飞机的油箱余油量为Q1吨,加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨,加油时间为t分钟,Q1,Q2与t之间的关系如图所示,结合图象回答下列问题:(1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟?(2)运输飞机加完油后,以原速继续飞行,需10小时到达目的地,油料是否够用?说明理由.24.(12分)如图所示的是甲、乙两人争夺冠军的比赛情况,其中t表示赛跑时所用的时间,s表示赛跑的距离.根据图象回答下列问题:(1)图象反映了哪两个变量之间的关系?(2)他们进行的是多远的比赛?(3)谁是冠军?(4)乙在这次比赛中的速度是多少?【答案与解析】1.B(解析:y随x的增加而增加,x是自变量,y是因变量,故A选项正确;弹簧不挂重物时的长度为10 cm,故B选项错误;物体质量每增加1 kg,弹簧长度y增加0.5 cm,故C选项正确;由C知y=10+0.5x,则当x=7时,y=13.5,即所挂物体质量为7 kg时,弹簧长度为13.5 cm,故D选项正确.故选B.)2.B(解析:根据题意可知前5天小雨,河流水位较慢上升;后5天暴雨,河流水位较快上升.故选B.)3.B(解析:因为进水时水量增加,图象的走势向上,清洗时水量大致不变,图象与x轴平行,排水时水量减少,图象的走势向下,因为题目中明确说明了- 开始时洗衣机内无水.故选B.)4.C(解析:输出的数据中,分子就是输入的数,分母是输入数的平方加1.故选C.)5.B(解析:开始时的水位不是0,因而A错误;乌鸦衔来一些小石子放入瓶中,瓶中水面的高度随石子的增多而上升,因而D错误;乌鸦衔来一些小石子放入瓶中,水面上升,到达一定的高度,乌鸦开始喝水,因而水面下降,下降到的高度一定要高于原来未放石子前的高度,故C错误.故选B.)6.A(解析:小颖离家时间与距离之间的关系有三个阶段:直走了20分钟,到一个离家1000米的图书室,距离增大;看了40分钟的书,距离不变;用15分钟返回到家,距离减小,最后为0.故选A.)7.C(解析:0点到1点既进水,也出水;1点到4点同时打开两个进水管和一个出水管;4点到6点只进水,不出水.正确的只有.故选C.)8.C(解析:由于容器的形状是下宽上窄,所以水的高度上升得先慢后快.表现出的图形为先缓后陡.故选C.)9.D(解析:根据题意和图象可知:图象是持续上升的,乙在行驶过程中没有休息;甲在行驶过程中追上乙,并超过了乙;甲比乙晚出发1小时;甲行驶速度比乙行驶的速度快.故选D.)10.C(解析:根据题意和图象可知:他们都行驶了18千米.甲在途中停留了0.5小时.乙比甲晚出发了0.5小时.相遇后甲的速度20)(解析:根据题意得y=25x(0x20),2520+0.825(x- 20)(x20),整理得y=25x(0x20),20x+100(x20).)12.88 m(解析:把t的值代入关系式即可.)13.(解析:分析题意和图象可知:买2件时甲、乙两家售价一样,故此项正确;买1件时买乙家的合算,故此项正确;买3件时买甲家的合算,故此项正确;买乙家的1件售价约为1元,故此项错误.故填.)14.y=25+0.2a45(解析:因为应付话费=月租费+通话费,所以y=25+0.2a;将a=100代入上式,可得话费为25+0.2100=45(元).)15.0.575(解析:因为2000年的国内生产总值为8.9万亿元,1996年国内生产总值为6.6万亿元,所以平均每年比上一年增长(8.9- 6.6)4=0.575(万亿元).)16.(1)甲(2)8(解析:(1)观察图象易得到甲、乙都跑了100米.甲用时较少,先到终点;(2)乙跑100 m用了12.5 s,根据速度公式可计算出乙的速度=10012.5=8(m/s).)17.16203(解析:当t=4时,Q=40- 24=16;令Q=0,则40- 6t=0,得t=203.故当t=4时,Q=16,这台拖拉机最多可工作203小时.)18.8(解析:根据所给的具体数据发现:从第三个数据开始,每一个数据是前面两个数据的和,则第6年时,树木的分枝数为3+5=8.)19.解:(1)通话时间与电话费;其中通话时间是自变量,电话费是因变量.(2)设通话时间为x,电话费为y,则有y=0.6x,所以当x=10时,y=6.即需付6元的电话费.20.解:(1)图象表示了时间和距离的关系,时间是自变量,距离是因变量.(2)10时他距家15千米,13时他距家30千米.(3)12时离家最远,为30千米.(4)11时距家19千米,12时距家30千米,11时到12时他行驶了30- 19=11(千米).(5)由图象看出12时到13时距离没变且时间较长,故可能在12时到13时休息并吃午餐.(6)302=15(千米/时).21.解:(1)由表中数据规律可知:y=8x+0.4x=8.4x.(2)当x=2.5时,y=8.42.5=21(元).(3)当y=126时,由8.4x=126,解得x=15.22.解:(1)关系式是y=1.6x.(2)因为降价前西瓜售价为每千克1.6元,降价0.4元后西瓜售价为每千克1.2元.降价后销售的西瓜为(76- 64)1.2=10(千克),所以小明从批发市场共购进50千克西瓜.(3)76- 500.8=76- 40=36(元).即小明这次卖西瓜赚了36元钱.23.解:(1)由图象知加油飞机的加油油箱中装载了30吨油,全部加给运输飞机需10分钟.(2)根据图象可知运输飞机的耗油量为每分钟0.1吨,所以10小时耗油量为10600.1=60(吨).因为6069,所以油料够用.24.解:(1)反映了赛跑距离s与时间t之间的关系. (2)他们进行的是200 m的比赛.(3)甲是冠军.(4)v乙=20025=8(m/s).