20101207数列前n项及求法.doc

2010/12/07数列前n项和的求法
一、错位相减法
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
例1．求和：
解：由题，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积
设………………………. ② （设制错位）
① ②得 （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得时：
∴
例2．求数列前n项的和.
解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积
设…………………………………①
………………………………② （设制错位）
①－②得 （错位相减）

∴
练习：求：Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1
解：Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1 ①
①两边同乘以x，得
x Sn=x+5 x2+9x3+······+(4n-3)xn ②
①-②得，（1-x）Sn=1+4（x+ x2+x3+······+ ）-（4n-3）xn
当x=1时，Sn=1+5+9+······+（4n-3）=2n2-n
当x≠1时，Sn= 1 1-x [ 4x(1-xn) 1-x +1-（4n-3）xn ]
二、裂项求和法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.
（1）
（2）
（3）
*（4）
*（5）
例3、求数列的前n项和.
解：设 （裂项）
则 （裂项求和）
＝＝
例4、在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.
解：∵
∴ （裂项）
∴ 数列{bn}的前n项和
（裂项求和）
＝ ＝
练习：求之和。
解：
练习：求之和
三、倒序相加法
如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.

四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例5、 求数列的前n项和：，…
解：设
将其每一项拆开再重新组合得
（分组）
当a＝1时，＝ （分组求和）
当时，＝
例6、求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
解：设
∴ ＝
将其每一项拆开再重新组合得
Sn＝ （分组）
＝
＝ （分组求和）
＝
练习：求数列的前n项和。
解：
练习：已知集合A＝{a|a＝2n＋9n－4，n∈N且a＜2000}，求A中元素的个数，以及这些元素的和。
解：　由 210＝1024，211＝2048
　　　知 210＋9×10－4＜2000
　　　 　211＋9×10－4＞2000
　　　∴ A中有10个元素,记这些元素的和为S10，则
　　　　　　　　　　　　　(首项为9，公差为9的等差数列)
　　　S10＝2＋22＋23＋…＋210＋9＋18＋…＋90－4×10
　　　　　(首项为2，公比为2的等比数列)
　　　　 　＝2(210－1)＋99×5－40＝2501

— 一、等差数列
— 定义，通项公式，通项公式性质
— 前n项和，前n项和性质
— 二、等比数列
— 定义，通项公式，通项公式性质
— 前n项和，前n项和性质
— 三、一般数列通项公式的求法
四、一般数列前n项和的求法