三角形的定义性质.doc

(完整word版)三角形的定义性质
　定义
由三条边首尾相接组成的内角和为180°（一定是180°，这个是个准确的数!）的封闭图形叫做三角形
　三角形的内角和
三角形的内角和为180度；三角形的一个外角等于另外两个内角的和;三角形的一个外角大于其他两内角中的任一个角.
三角形分类
　　(1）按角度分
　　a。锐角三角形：三个角都小于90度 。并不是有一个锐角的三角形，而是三个角都为锐角，比如等边三角形也是锐角三角形。
　　b.直角三角形（简称Rt 三角形）：
　　⑴直角三角形两个锐角互余；
　　⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
　　⑶在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。；
　　⑷在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°(和⑶相反）；
　　c.钝角三角形：有一个角大于90度（锐角三角形，钝角三角形统称斜三角形).
　　d.证明全等时可用HL方法
　　（2）按角分
　　a。锐角三角形：三个角都小于90度。
　　b。直角三角形:有一个角等于90度。
　　c.钝角三角形:有一个角大于90度。
　　（锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形）
　　（3）按边分
　　不等腰三角形；等腰三角形(含等边三角形）.
解直角三角形（斜三角形特殊情况)：
　　勾股定理,只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）
　　a^2+b^2=c^2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。
　　勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如：3，4，5.他们分别是3，4和5的倍数。
　　常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；5，12,13;10,24,26；等等
三角形的性质
　　1。三角形的任何两边的和一定大于第三边 ，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。
　　2。三角形内角和等于180度
　　3。等腰三角形的顶角平分线，底边的中线,底边的高重合，即三线合一。
　　4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方-—勾股定理。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
　　5。三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的两个内角之和。
　　6.一个三角形最少有2个锐角.
　　7.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。
　　8.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。
　　9。勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b，c有下面关系（a^2+b^2=c^2.）
　　那么这个三角形就一定是直角三角形。
　　10.三角形的外角和是360°.
　　11.等底等高的三角形面积相等。
　　12.底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。
　　＊*13.三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。
　　*＊14.在△ABC中恒满足tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。
　　15。三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
　　16.全等三角形对应边相等，对应角相等.
　　17.三角形的重心在三条中线的交点上。
　　**18在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。
　　（包括等边三角形）三角形的边角之间的关系
　　（1)三角形三内角和等于180°（在球面上，三角形内角之和大于180°)；
　　(2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；
　　（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
　　（4）三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边；
　　（5)在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。
　　（6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线,中线,高，中位线.
　　（注①：等腰三角形中，顶角平分线，中线，高三线互相重叠
②:三角形的中位线是两边中点的连线，它平行于第三边且等于第三边的一半)
＊＊（7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心,它到各边的距离相等.
　　＊＊（8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等.
　　**（9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。
　　（10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
　　（11）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。
　　(12）三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。特殊三角形
　　1.相似三角形
　　(1）形状相同但大小不同的两个三角形叫做相似三角形
　　(2）相似三角形性质
　　相似三角形对应边成比例，对应角相等
　　相似三角形对应边的比叫做相似比
　　相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方
　　相似三角形对应线段(角平分线、中线、高）之比等于相似比
　　若a、b、b、c成比例，即a:b=b：c，则称b是a和c的比例中项
　　(3)相似三角形的判定
　　【1】三边对应成比例则这两个三角形相似
　　【2】两边对应成比例及其夹角相等，则两三角形相似
　　【3】两角对应相等则两三角形相似
　　2。全等三角形
　　（四）、全等三角形
　　（1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
　　（2）全等三角形的性质。
　　全等三角形对应角(边）相等.
　　全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高)相等、周长相等、面积相等.
　　（3)全等三角形的判定
　　① SAS ②ASA ③AAS ④SSS ⑤HL (RT三角形）】
　　寻找全等三角形的对应角、对应边常用方法:
　　3。等腰三角形
　　等腰三角形的性质：
　　（1）两底角相等；
　　(2） 两条腰相等 ；
　　（3)顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；
　　等腰三角形的判定:
　　(1）等角对等边；
　　（2)两底角相等；
　　 4。等边三角形
　　等边三角形的性质:
　　(1）顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;
　　（2）等边三角形的各角都相等，并且都等于60°.
　　等边三角形的判定：
　　（1）三个内角或三个对应位置的外角都相等的三角形是等边三角形；
(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
三角形的面积公式
　　（1)S△=1/2ah （a是三角形的底,h是底所对应的高）
　　（2）S△=1/2acsinB＝1/2bcsinA＝1/2absinC （三个角为∠A∠B∠C，对边分别为a，b,c，参见三角函数）
　　(3）S△=√[p（p—a)(p—b)(p-c)］ ［p=1/2(a+b+c）］（海伦—秦九韶公式）
　　(4）S△=abc/(4R) (R是外接圆半径)
　　（5）S△=1/2(a+b+c)r (r是内切圆半径)
　　（6) ....。。。。。。。 ｜ a b 1 |
　　S△=1/2 ｜ c d 1 |
　　。。..。.....。.| e f 1 ｜
　　［｜ a b 1 ｜ ....｜ c d 1 | 。.。。｜ e f 1 ｜为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b）,B（c,d）， C（e，f),这里ABC选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值,但只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小］
　　（7)S△=c^2sinAsinB/2sin(A+B)
（8)S正△= ［（√3）/4］a^2 （正三角形面积公式，a是三角形的边长) ［海伦公式(3)特殊情况］
三角形重要定理
勾股定理（毕达哥拉斯定理)
　　内容：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。
　　几何语言:若△ABC满足∠ABC=90°，则AB²+BC&sup2；=AC&sup2；
　　勾股定理的逆定理也成立,即两条边长的平方之和等于第三边长的平方,则这个三角形是直角三角形
　　几何语言：若△ABC满足,则∠ABC=90°。

［3]
正弦定理
　　内容：在任何一个三角形中，每个角的正弦与对边之比等于三角形面积的两倍与三边边长和的乘积之比
　　几何语言：在△ABC中，sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S三角形/abc
　　结合三角形面积公式，可以变形为a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R是外接圆半径）
余弦定理
　　内容:在任何一个三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边的2倍乘以它们夹角的余弦
　　几何语言:在△ABC中，a&sup2；=b＆sup2；+c＆sup2；—2bc×cosA
　　此定理可以变形为：cosA=（b²+c&sup2；—a＆sup2;)÷2bc
生活中的三角形物品
　　雨伞、帽子、彩旗、灯罩、风帆、小亭子、雪山、楼顶、切成三角形的西瓜、火炬冰淇淋、热带鱼的边缘线、蝴蝶翅膀、火箭、竹笋、宝塔、金字塔、三角内裤、机器上用的三角铁、某些路标、长江三角洲、斜拉桥等。
　　三角形全等的条件 注意:只有三个角相等无法推出两个三角形全等,也不可以用“SSA”
　　(1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“SSS”。
　　（2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“ASA”.
　　（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“AAS”.
　　（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“SAS”。
　　(5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL"。
　　全等三角形的性质
全等三角形的对应角相等,对应边也相等,并且全等三角形能重合。
三角形中的线段
　　中线：顶点与对边中点的连线,平分三角形的面积。
　　高：从三角形的一个顶点(三角形任意两条边的交点)向其对边所作的垂线段（顶点至对边垂足间的线段），叫做三角形的高。
　　角平分线:平分三角形的其中一个角的线段叫做三角形的角平分线,它到两边距离相等。(注：一个角的平分线是射线,平分线的所在直线是这个角的对称轴）
　　中位线:任意两边中点的连线。
三角形相关定理
　　中位线定理
　　三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
　　三边关系定理
　　三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边．
　　勾股定理（又称毕达哥拉斯定理）
　　在Rt三角形ABC中，A=90度，则
　　AB^2+AC^2=BC^2
　　*＊*＊梅涅劳斯定理
　　梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么（AF/FB）×(BD/DC)×（CE/EA)=1。
　　证明：
　　过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，
　　则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC ， CE/EA=DC/AG。
　　三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1
　　它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足（AF/FB）×（BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。
　　＊*＊＊＊塞瓦定理
　　设O是△ABC内任意一点,
　　AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
　　证法简介
　　(Ⅰ)本题可利用梅涅劳斯定理证明：
　　∵△ADC被直线BOE所截,
　　∴ CB/BD＊DO/OA*AE/EC=1 ①
　　而由△ABD被直线COF所截，∴ BC/CD＊DO/OA*AF/BF=1②
　　②÷①:即得:BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
　　（Ⅱ）也可以利用面积关系证明
　　∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=（S△ABD—S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
　　同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤
　　③×④×⑤得BD/DC＊CE/EA*AF/FB=1
　　利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点：
　　设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F,
　　根据塞瓦定理逆定理，因为（AD:DB）*(BE：EC)*(CF:FA)=[（CD＊ctgA）/[(CD＊ctgB）］＊［(AE＊ctgB)/（AE＊ctgC)]*［（BF＊ctgC)/
　　[（AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。
　　＊***＊莫利定理
　　将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形.这个三角形常被称作莫利正三角形。
三角函数
　　三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中,但并不完全.现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。它由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数、但具有特殊的反三角函数（如：arcsin)，三角函数在复数中有较为重要的应用.在物理学中，三角函数也是常用的工具。
三角函数 种类
　　包含六种基本函数:正弦(sin）、余弦（cos)、正切（tan）、余切（cot）、正割（sec)、余割（csc)。