实验三-用matlab求极限及导数.doc

实验三　用matlab求极限和导数

    1.求极限、导数的MATLAB命令
MATLAB中主要用limit,diff分别求函数的极限与导数。

limit(s,n,inf)  返回符号表达式当n趋于无穷大时表达式s的极限
limit(s,x,a)  返回符号表达式当x趋于a时表达式s的极限
limit(s,x,a,’left’)  返回符号表达式当x趋于a-0时表达式s的左极限
limit(s,x,a,’right’)  返回符号表达式当x趋于a-0时表达式s的右极限
diff(s,x,n)  返回符号表达式s对自变量x的n阶导 数
可以用help limit, help diff查阅有关这些命令的详细信息
    例1首先分别作出函数在区[-1,-0.01],[0.01,1],[-1,-0.001],[0.001,1]等区间上的图形，观测图形在附近的形状。在区间[-1,-0.01]绘图的MATLAB代码为：
>>x=(-1):0.0001:(-0.01);   y=cos(1./x);  plot(x,y)  
结果如图2.1

图2.1函数的图形
根据图形，能否判断出极限的存在性？
   当然，也可用limit命令直接求极限，相应的MATLAB代码为：
>>clear;
>>syms x;  %说明x为符号变量
>>limit(sin(1/x),x,0)
结果为ans = -1 .. 1，即极限值在-1，1之间，而极限如果存在则必唯一，故极限不存在，同样，极限也不存在。
例2 首先分别作出函数在区间[-1,-0.01],[0.01,1],[-1,-0.001],[0.001,1]等区间上的图形，观测图形在附近的形状。在区间[-1,-0.01]绘图的MATLAB代码为：
>>x=(-1):0.0001:(-0.01);   y=sin(x)./x;  plot(x,y)  
结果如图2.2

图2.2  函数的图形
根据图形，能否判断出极限的正确性？
当然，也可用limit命令直接求极限，相应的MATLAB代码为：
>>clear;
>>syms x;
>>limit(sin(x)/x,x,0)
结果为ans =1.
例3  观测当趋于无穷大时，数列和的变化趋势。例如，当时，计算的MATLAB代码为：
>>for n=1:100, a(n)=(1+1/n)^n;,A(n)=(1+1/n)^n ;, end
在同一坐标系中，画出下面三个函数的图形：

观测当增大时图形的走向。例如，在区间[10，400]绘制图形的MATLAB代码为
>>x=10:0.1:400;
>>y1=exp(x.*log(1+1./x)); y2=exp((x+2).*log(1+1./x)); y3=2.71828;
>>plot(x,y1,'-.',x,y2,':',x,y3,'-');  %’-.’表示绘出的图形是点线,’-’是实线
结果如图2.3，其中点线表示的图形，虚点线表示的图形。

图2.3
通过观测可以看到，当增大时，递增，递减。随着的无穷增大，和无限接近，趋于共同的极限.当然，也可用limit命令直接求极限，相应的MATLAB代码为：
>>clear;
>>syms n;
>>limit((1+1/n)^n,n,inf)
结果为ans =exp(1)。
    例4已知,求的微分.
>> f=sym('a*x^2+b*x+c')      %定义函数表达式
 f =a*x^2+b*x+c
 >> diff(f)                  %对默认变量求一阶微分
 ans =2*a*x+b
>> diff(f,'a')                 %对符号变量求一阶微分
 ans =x^2
>> diff(f,'x',2)               %对符号变量求二阶微分
 ans =2*a
>> diff(f,3)                 %对默认变量求三阶微分
ans =0
    例5  先求函数，然后在同一坐标系里作出函数及其导函数的图形。
函数求导相应的MATLAB代码为：
>>clear;
>>syms x;
>>diff(x^3-6*x+3,x,1)
结果为ans =3*x^2-6
函数绘图相应的MATLAB代码为：
>>x=-4:0.1:4;   y1=x.^3-6*x+3;  y2=3*x.^2-6;
>>plot(x,y1,x,y2,’:’)
结果如图2.4，其中实线是的图形，点线是的图形。

图2.4  函数及其导数
这里画的是区间[-4，4]上的图形，也可以选别的区间试试。

习题16-3

    1.求下列各极限
 （1）  （2）  （3）
 （4）  （5） （6）
 （7）  （8）  （9）
    2.求下列函数的导数
(1)        (2)
(3)                (4)