线代总复习精简版市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数,总复习,1,第1页,第1页,要求,：理解行列式概念，,计算低阶及特殊行列式。,两个定义：,n,阶行列式;,n,阶方阵行列式.,一、行列式,会用其性质与展开式定理,两个主要概念：,余子式和代数余子式,2、,性质,1、概念,是计算行列式中心环节，性质5用较多。,利用性质将行列式化为三角形行列式，然后计算是,计算行列式主要办法。,2,第2页,第2页,3、主要,结论,：,4、,特殊关系式,上（下）三角行列式值=对角线上元素之积,3,第3页,第3页,5、展开定理,4,第4页,第4页,例1、,计算下列行列式。,解,r,4,-100r,2,r,2,-2r,1,r,4,-r,1,5,第5页,第5页,解：,6,第6页,第6页,解：,7,第7页,第7页,4）设行列式,解,8,第8页,第8页,解：,9,第9页,第9页,逆矩阵、分块矩阵、利用逆矩阵求解线性方程组。,主要内容：,二、矩阵,矩阵概念、运算、初等变换、秩、,1、定义：,由,m,n,个数,(,i,=1,2,m,;,j,=1,2,n,),排成,m,行,n,列,数表,称为一个,m,行,n,列矩阵，,简称为,m,n,矩阵,.,尤其：,零矩阵、,n,阶方阵、行（列）矩阵、对称矩阵、,n,阶对角阵、三角阵、单位阵、最简阶梯形。,10,第10页,第10页,2、矩阵线性运算,与,若,普通来说,也许有,11,第11页,第11页,(2),(3),(5),(4),3、矩阵运算律,(1),12,第12页,第12页,定义,则称,A,是可逆方阵,则,B,是,A,一个逆矩阵,记为,4、可逆矩阵定义和等价条件,中若存在方阵,B,使,n,阶方阵,A,可逆,（即齐次线性方程组）仅有零解。,13,第13页,第13页,设,A,、,B,都是,n,阶可逆矩阵，,k,是非零数，则,5、可逆矩阵性质,14,第14页,第14页,尤其：,6、求方阵,A,逆矩阵办法,15,第15页,第15页,8、初等方阵,共三种,互换阵,倍加阵,倍乘阵,用初等方阵左,（右）,乘,A,，,相称于对,A,作初等行,（列）,变换得到矩阵.,7、矩阵初等行变换,9、矩阵,A,原则形,16,第16页,第16页,1、,R,（,A,）：,A,不等于0子式最大阶数。,2、秩基本关系式：,3、关于秩主要结论：,10、矩阵秩,17,第17页,第17页,11、秩求法：,1),R,（,A,）：,A,不等于0子式最大阶数;,2）初等变换法：,R,（,A,）=,T,阶梯数；,3）若,P,可逆，则,常需先验证,P,可逆。,18,第18页,第18页,12、分块对角阵及其性质,其中,均为方阵。,19,第19页,第19页,2、,4、,3、,R,（,A,）=,5、,可逆时，,则,A,可逆，且,20,第20页,第20页,例1、,解：,21,第21页,第21页,例2、,设方阵,A,满足,2,A,2,-,5,A,-,8,E,=0,，证实,A,-,2,E,可逆，,解：,原式可写为,22,第22页,第22页,例,3、,设矩阵,X,满足：,AXB,=,XB,+,C,，求,X,，其中,由已知，得,AXB,-,XB,=,C,，,则得,显然,A,-,E,、,B,均可逆，并且,解：,23,第23页,第23页,例4、,设,A,是5阶方阵，且,求,解：,24,第24页,第24页,定义1,推论：,(2)有非零解。,(2)只有零解。,三、向量组线性相关性,25,第25页,第25页,定义2,推论：,(1)有解。,26,第26页,第26页,定义3,T,最大无关组。,假如,R,(,T,)=,r,则,T,中任意,r,个线性无关向量都构成,则称,是向量组,T,一个最大线性无关组。,r,称为,T,秩，记为,27,第27页,第27页,定理1,定理2,关键：至少有一个，但不能确保是哪一个。,定理3,R,（,A,）=,A,列向量组秩,=,A,行向量组秩,定理4,矩阵初等行变换不改变列向量组线性关系。,注意：求最大无关组、讨论线性表示主要用此办法,；,讨论线性相关性、求秩也可用此办法。,28,第28页,第28页,定理5,定理6,数字型,有非零解；,齐次线性方程组有非零解；,29,第29页,第29页,例1、,设,解：,一个最大线性无关组，,并将其余向量用此线性无关组线性表示。,求,30,第30页,第30页,其余向量由此最大无关组表示为：,因此,一个最大线性无关组为：,31,第31页,第31页,例2、,解：,由于行列式,因此当,b,=,3,或,b,=1时，,D,=,0,，线性相关；,不然线性无关。,32,第32页,第32页,例3,设向量组,问,k,为何值时,表示法惟一，,不惟一，,不可表示。,解：,设存在数,即,用克莱姆法则,使,33,第33页,第33页,k=,-3,时，,表示法惟一。,时，,同解方程组,有无穷多解。,时，,方程组有惟一解；,表示法不惟一，,34,第34页,第34页,例4、,1、设,线性无关，,线性相关，,证实,不能由,线性表示。,2、设,A,是,n,阶实对称矩阵，若,证实,证实,1、,线性无关，则,线性无关。,线性相关，则,可由,线性表示，,即存在实数,使得,假设,可由,线性表示，,即存在实数,使得,将(1)代入(2),可由,线性表示，这与,线性无关矛盾，故,不能由,线性表示。,35,第35页,第35页,由于,A,是,n,阶实对称矩阵，,必存在正交矩,故,从而,2、解法1,解法2,从而,阵,P,使,36,第36页,第36页,线性方程组,解存在性定理,各种解法,解结构,四、线性方程组解法与解结构,37,第37页,第37页,例2、,讨论,a、b,满足什么条件时，下列方程组无解、,解,对增广矩阵 进行初等,行变换,有,惟,一解、有无穷多解？有无穷多解时，求其通解。,38,第38页,第38页,39,第39页,第39页,则通解为,则得一同解方程组为,令,40,第40页,第40页,例6、,解,1）是；,2）,设,是,一个基础解系，,是不是,解向量？,41,第41页,第41页,42,第42页,第42页,五、内积、施密特正交化。,定义1,设,称,为向量,与,内积,.,性质,设,时等式成立。,当且仅当,都是,n,维向量，,K,为实数则有,43,第43页,第43页,定义2,设,称,为,长度。,当,时，,称为,单位向量,。,当,时，,称,与,正交,。,定理,中两两正交、非零向量组,线性无关。,在欧氏空间,中，,若,满足,称,为,原则正交基,。,定义3,44,第44页,第44页,定义4,是,n,阶方阵,若,是,正交矩阵,称,性质2,列(行)向量组为正交单位向量组,是正交矩阵,性质1,是,正交矩阵,则,A,可逆且,设,性质3,设,A、B,都是正交矩阵，,则,AB,也是正交矩阵。,即,A,n,个列向量是单位正交向量组。,性质4,设,A,是正交矩阵，则,也是正交矩阵。,性质5,设,A,是正交矩阵，则,45,第45页,第45页,3、施密特正交化办法,设在,中,为线性无关向量组,令,正交化过程：,则,是正交向量组，,46,第46页,第46页,六、特性值与特性向量、矩阵对角化,内容：,矩阵特性值与特性向量定义、求法、性质；,相同矩阵概念、性质、矩阵对角化条件和办法。,定义1,使方程,一个特性值,相应非零向量,设方阵,成立,数,和,n,元非零,列向量,则称数,为,相应,特性向量,.,称为,于,（1）式也可写成,即,（2）式阐明,特性向量,X,坐标,是齐次,方程（3）非零解。,47,第47页,第47页,定义2,设,称含参数 矩阵,为,特性矩阵,(次多项式),称该矩阵行列式,称 为,特性方程,.,为,特性多项式,48,第48页,第48页,特性值性质,则：,全不为零。,49,第49页,第49页,特性向量性质,1）方阵A不同特性值所对应特性向量必线性无关。,2）实对称矩阵A不同特性值所对应特性向量必相,即,互正交。即,50,第50页,第50页,4-,n,阶方阵,A,可对角化条件、办法,1、一个充足必要条件：,n,阶方阵,A,可对角化,A,有,n,个线性无关特性向量,2、两个充足条件：,1）假如,A,有,n,个互不相同特性值，则,A,必可对角化,2）假如,A,是实对称矩阵，则,A,必可用正交矩阵对角化。,3、对角化办法：,4、正交对角化,51,第51页,第51页,例1、,求矩阵,A,、,B,特性值与特性向量,解：,1）,52,第52页,第52页,特性向量：,53,第53页,第53页,得基础解系,得基础解系,得基础解系,54,第54页,第54页,例2、,设矩阵,A,、,B,相同，求参数,a,b,c,.,解,1）由于矩阵,A,、,B,相同，因此,2）由于矩阵,A、B,相同，因此1也是,A,特性值，因此,并且1是,B,一个特性值。,55,第55页,第55页,例3,分别求可逆矩阵,C,、正交矩阵,P,，,解 1）,将矩阵,A,对角化。,56,第56页,第56页,4）将每个基础解系Schmidt正交化、再单位化,则,C,可逆，且,57,第57页,第57页,则,P,是正交矩阵，并且,58,第58页,第58页,七、二次型化原则形-1-基本定义、基本内容,1、二次型二次齐次多项式；,二次型矩阵表示为,原则形矩阵对角阵,二次型矩阵表示,2、二次型矩阵,前提,：实对称矩阵；,原则形仅含有平方项二次型,则二次型矩阵,59,第59页,第59页,3、正定二次型 正定矩阵,5、惯性定理,4、二次型原则形,60,第60页,第60页,注1：对线性变换,X,=,CY,来说，当,C,可逆矩阵时，称之为,2、关于正定二次型最简朴判别。,可逆变换；当P是正交矩阵时，称之为正交变换,1、用正交变换 将二次型 化为原则形；,61,第61页,第61页,例1,解,二次型矩阵为,用正交变换 将二次型 化为原则形；,得基础解系,得基础解系,得基础解系,62,第62页,第62页,作正交变换,X,=,PY,，则,P为正交矩阵。,63,第63页,第63页,谢谢,64,第64页,第64页,