《2.3.1-数乘向量》导学案1.doc

2.3.1 数乘向量导学案1课程学习目标1.掌握实数与向量积的定义及几何意义. 2.了解数乘运算的运算律，理解向量共线的条件.3.了解向量的线性运算及其几何意义.4.掌握向量共线的判定定理和性质定理，并能熟练运用定理解决向量共线问题.课程导学建议重点:向量数乘的定义及几何意义，向量数乘的运算律，共线向量定理.难点:实数与向量积的几何意义的理解.第一层级：知识记忆与理解知识体系梳理创设情境一条细绳横贯东西，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，若蚂蚁从点O向正东方向运动一秒钟的位移对应的向量为a，在图中作出同一方向上3秒钟的位移对应的向量，你能用式子表示吗？它是数量还是向量？蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？知识导学问题1:数乘向量我们规定实数与向量a的积是一个向量，记作a，这种运算叫作向量的数乘.问题2:数乘向量的性质a的长度和方向规定如下:(1)|a|=|a|；(2)当0时，a的方向与向量a的方向相同；当0时，a的方向与向量a的方向相反；当=0或a=0时，a=0，且方向任意.问题3:设，为实数，a，b为任意向量则有:(1)(a)=()a；(2)(+) a=a+a；(3)(a+b)=a+b.问题4:向量共线的定理向量共线的判定定理:a是一个非零向量，若存在一个实数，使得b=a，则向量b与非零向量a共线.向量共线的性质定理:若向量b与非零向量a共线，则存在唯一一个实数，使得b=a.知识链接向量的数乘运算，其实是加法运算的推广及简化，与加法、减法统称为线性运算，共线向量的定理主要应用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续知识联系紧密.基础学习交流1.设，R，则下列说法不正确的是().A.(a)=(a)B.(-)a=a-aC.(a-b)=a-bD.a(0)的方向与向量a的方向相同【解析】由向量数乘的运算律知A、B、C均正确，当0，a的方向与a的方向相同. 又|a|=|a|，a的模是a的模的倍，故正确.对于，20，2a的方向与a的方向相同，且|2a|=2|a|，又-40，-4a的方向与a的方向相反，且|-4a|=4|a|，2a的方向与-4a的方向相反，且2a的模是-4a的模的，故正确.对于，a-b与b-a是相反向量，a-b与-(b-a)是相等的向量，因此不正确.【答案】C3.已知a，b是平面内两个不共线的向量，实数，满足3a+(8-)b=(4+1)a+2b，则=，=.【解析】由平面向量的基本定理可知，解得【答案】324.已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1+e2与e1+ke2共线，试确定实数k的值.【解析】因为ke1+e2与e1+ke2共线，所以存在非零实数使ke1+e2=(e1+ke2)，则(k-)e1=(k-1)e2.由于e1，e2不共线，因此，只能有 解得k=1.全新视角拓展(2009年北京卷)已知向量a，b不共线，c=ka+b(kR)，d=a-b.如果cd，那么().A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向【解析】cd，d=c，即a-b=(ka+b)，又a，b不共线，解得d=-c，c与d反向.【答案】D第四层级：总结评价与反思思维导图构建学习体验分享固学案基础达标检测1.已知向量a=e1-2e2，b=2e1+e2，其中e1、 e2不共线，则a+b与c=6e1-2e2的关系是().A.不共线B.共线C.相等D.无法确定【解析】由a+b=e1-2e2+2e1+e2=3e1-e2，c=6e1-2e2=2(3e1-e2)=2(a+b)，根据向量共线的性质定理可知，它们共线.【答案】B2.设a与b是两个不共线的向量，且a+b与-(b-2a)共线，则实数的值为().A.-B.C.-2D.2【解析】向量-(b-2a)=2a-b与a+b共线，由向量共线定理可知，存在实数，使得2a-b=(a+b)，解得=-.【答案】A3.已知实数m、n和向量a、b，给出下列命题:若ma=mb，则a=b；若ma=mb，则a=b或m=0；若ma=na(a0)，则m=n.其中正确命题的序号是.【解析】比较易知正确，显然正确.【答案】4.化简:(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b).【解析】原式=a-b-a-b+a+b=(-+)a+(-+)b=0a+0b=0+0=0.基础技能检测5.已知，R，则在以下命题中，正确命题的个数是().0，a0，a与a的方向一定相同；0，a0，a与a是共线向量；0，a0，a与a的方向一定相同；0时，与同为正数或同为负数，所以a与a或者都与a同向，或者都与a反向，从而a与a同向，命题正确.对于命题，当0时，与异号，则a与a一个与a同向，一个与a反向，因而a与a的方向一定相反，命题正确.【答案】D6.已知非零向量a、b，且=a+2b，=-5a+6b，=7a-2b，则下列各组点中一定共线的是().A.A、B、CB.B、C、DC.A、B、DD.A、C、D【解析】=+=(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+4b=2(a+2b)=2，A、B、D三点共线.【答案】C7.已知ABC中A的平分线AE与BC相交于点E，那么=，请你填入一个可能的取值(答案不唯一，填一个你认为正确的即可).【解析】由向量、方向相反，故有1，所以-1，只需填入一个比-1小的数即可.【解析】-2(只需填入一个比-1小的数)8.已知a，b是不共线向量，若=a+2b，=2a+4b，=3a+6b，求证:A，B，C三点共线.【解析】=-=a+2b，=-=2a+4b，=2，又AC和AB有公共点A，A，B，C三点共线.技能拓展训练9.如图，在ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若=m，=n，则m+n=.【解析】=(+)=+，M，O，N三点共线，+=1，m+n=2.【答案】210.(选做)i、j是两个不共线的向量，且=3i+2j，=-2i+j，=i+j，若A、B、D三点共线，求实数的值.【解析】=-=-2i+j-(i+j)=-3i+(1-)j，又A、B、D三点共线，向量与共线，故存在实数，使得=，即3i+2j=-3i+(1-)j=-3 i+(1-)j.i、j是两个不共线的向量，即得故当A、B、D三点共线时，=3.