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第一章集合与函数第一节集合例1设全集U(x，y)|xR，yR，A(x，y)|2xym0，B(x，y)|xyn0，那么点P(2,3)A(UB)的充要条件是()Am1且n5Bm1且n1且n5Dm5解析：PA，m1，又UB(x，y)|xyn0，PUB，n5，故选A.答案：A点评：一般地，若aA，则元素a一定满足集合A中元素的共同属性(2010浙江萧山中学)在集合M0，1,2,3的所有非空子集中任取一个集合，该集合恰满足条件“对xA，有A”的概率是_解析：集合M的非空子集有25131个，而满足条件“对xA，则A”的集合A中的元素为1、或2，且，2要同时出现，故这样的集合有3个：1，2，1，2因此，所求例2设集合Px|x，kZ，Qx|x，kZ，则()APQ BPQCPQ DPQ的概率为.例2设集合Px|x，kZ，Qx|x，kZ，则()APQ BPQCPQ DPQ解析：P：x，kZ；Q：x，kZ，从而P表示的“奇数倍”数组成的集合，而Q表示的所有“整数倍”数组成的集合，故PQ.选B.答案：B点评：函数值域构成的集合关系的讨论，一般应先求出其值域如果值域与整数有关，可将两集合中的元素找出它们共同的表达形式，利用整数的性质求解或用列举法讨论(2010广东省高考调研)集合Px|y，集合Qy|y，则P与Q的关系是()APQ BPQCPQ DPQ解析：Px|yx|x1，Qy|y0，PQ，选B.答案：B例3(09重庆)设Un|n是小于9的正整数，AnU|n是奇数，BnU|n是3的倍数，则U(AB)_.解析：U1,2,3,4,5,6,7,8，A1,3,5,7，B3,6，AB1,3,5,6,7，得U(AB)2,4,8答案：2,4,8点评：集合的运算问题要依据交、并、补运算的定义求解(2010辽宁理，1)已知A，B均为集合U1,3,5,7,9的子集，且AB3，(UB)A9，则A()A1,3B3,7,9C3,5,9 D3,9解析：由题意知，A中有3和9，若A中有7(或5)，则UB中无7(或5)，即B中有7(或5)，则与AB3矛盾，故选D.答案：D例4已知全集IR，集合Mx|x|a，并且MIP，那么a的取值集合是()A2 Ba|a2Ca|a2 Da|a2解析：Mx|x|2x|2x2IPx|xaMIP，a2，如下图数轴上所示故选C.答案：C点评：1.一般地，在处理带参数的集合之间的关系时，要把所涉及的集合表示在数轴上，借助其直观性正确判定要特别注意是否包括分界点即a2.2集合运算与不等式的联系是近年来高考的主要题型(2010镇海中学)设全集U是实数集R，集合Mx|x240，Nx|(x2)21，则图中阴影部分所表示的集合是() Ax|2x1Bx|1x2Cx|2x1Dx|x3解析：Venn中的阴影部分在集合M中，不在集合N中，故所表示的集合为MUN.Mx|x240x|2x2，Nx|(x2)21x|1x3，MUNx|21)，a，bQ，则由数域定义知，Fab|a、bQ必是数域，这样的数域F有无穷多个答案：例7集合A一条边长为2，一个角为30的等腰三角形，则集合A的子集的个数为()A4 B16C15 D无数个分析：首先搞清集合A中元素个数n，然后根据公式2n求出子集个数解析：边长为2的边是等腰三角形的底边时，30的角可以是三角形的底角，也可以是顶角故这样的三角形有两个边长为2的边是等腰三角形的腰长时，30的角可以是三角形底角，也可以是顶角，故这样的三角形也有两个故适合条件的三角形共有4个所以子集个数为2416个选B.答案：B总结评述：关于有限集的子集个数有如下结论：(1)若Aa1，a2，an，则A的子集个数为2n，其中含有m(mn)个元素的子集个数为Cnm个，A的真子集个数为2n1，A的非空真子集个数为2n2个(2)若a1，a2，amAa1，a2，am，am1，an，则A的个数为2nm个，若a1，a2，amAa1，a2，am，am1，am则A的个数为2nm1个，若a1，a2，amAa1，a2，am，am1，an则A的个数为2nm2个(3)若a1，a2，amBa1，a2，am，am1，an，则B的个数为2m个已知集合1,2,3，100的两个子集A、B满足：A与B的元素个数相同，且AB为空集若nA时，总有2n2B，则集合AB的元素个数最多为()A62 B66 C68 D74解析：若24到49属于A，则50至100的偶数属于B满足要求，此时AB已有52个元素；集合A取1到10的数时，集合B取4到22的偶数，由于AB，4,6,8A，此时AB中将增加14个元素，AB中元素个数最多有521466个答案：B第二节函数的概念例1下列各组中的两个函数相等的是()Af(x)lgxlg(x1)，g(x)lgx(x1)Bf(x)，g(x)Cyf(x)与yf(x1)Df(x)|x|x1|，g(x)2x1解析：A中，由得x1，f(x)定义域为x|x1；由x(x1)0得x1，g(x)定义域为x|x1，f(x)与g(x)定义域不同，不是同一个函数；B中，由得，1x0或00.f(x)，f(x)与g(x)定义域、对应法则相同，故为相等函数；答案：B总结评述：当一个函数的对应法则和定义域确定后，其值域随之得到确定，所以两个函数当且仅当定义域和对应法则分别相同时为相等函数.例2在给定的映射f：(x，y)(2xy，xy)(x，yR)作用下，点(，)的原象是()A(，)B(，)或(，)C(，)D(，)或(，)分析：设的原象为(x，y)，则在f作用下，(x，y)，从而可列出x、y的方程组求解解析：由已知得：解方程组得或故选B.已知函数f(x)、g(x)分别由下表给出x123f(x)131x123g(x)321则fg(1)的值为_；满足fg(x)gf(x)的x的值是_解析：fg(1)f(3)1.x123fg(x)131gf(x)313故fg(x)gf(x)的解为x2.答案：1；2例3(文)若f(x)，则f(1)的值为()A1B2C3D4分析：依据分段函数的定义，当x6时，f(x)f(x3)，当x6时，f(x)log2x，依次递推可求出f(1)解析：f(1)f(2)f(5)f(8)log283，选C.答案：C(理)若函数f(x)，则函数yf(2x)的图象可以是()分析：可依据yf(x)与yf(x)的图象关于y轴对称，及yf(2x)可由yf(x)的图象向右平移两个单位得到来求解，也可直接求出yf(2x)的解析式取特值验证解析：由函数yf(x)的图象关于y轴对称得到yf(x)的图象，再把yf(x)的图象向右平移2个单位得到yf(2x)的图象，故选A.答案：A(文)已知f(x)，则ff的值为()A2 B1C1 D2解析：f(x)，ff1f2cos22，fcos，ff1.故选C.答案：C(理)设函数f(x)，则使得f(x)1的自变量x的取值范围为()A(，20,10B(，20,1C(，21,10D2,01,10解析：当x1时，f(x)1(x1)21x2或x0，x2或0x1，又由f(x)在(，1)上单增，3a0，a3，又由于f(x)在R上是增函数，为了满足单调区间的定义，f(x)在(，1上的最大值35a要小于等于f(x)在1，)上的最小值0，才能保证单调区间的要求，35a0，即a，由可得1a3.解法2：令a分别等于、0、1，即点评：f(x)在R上是增函数，a的取值不仅要保证f(x)在(，1)上和1，)上都是增函数，还要保证x11，x21时，有f(x1)f (x2)可排除A、B、C，故选D.(09山东)定义在R上的函数f(x)满足f(x)，则f(3)的值为()A1B2C1 D2解析：f(3)f(2)f(1)f(1)f(0)f(1)f(0)log242.答案：B例5(文)函数f(x)lg的定义域是_解析：要使f(x)lg有意义，须满足，即2x4且x3.答案：x|2x0知1x1，由得2x1或x1，因此2x1或1x2.ff的定义域是_答案：(2，1)(1,2)(文)函数y的定义域为()Ax|x0 Bx|x1Cx|x10 Dx|0x1解析：由y得，x1或x0，定义域为x|x10答案：C(理)若函数yf(x)的定义域是0,2，则函数g(x)的定义域是()A0,1 B0,1)C0,1)(1,4 D(0,1)解析：要使g(x)有意义，则，解得0x0，因x0，解得0x0，得x2，设t6x2x2则ylog2t；t2x2x62(x)2在(，上为增函数，在，2)上为减函数，又ylog2t在(0，)上为增函数，ylog2(6x2x2)的单调增区间为(，单调减区间为，2)跟踪练习函数yf(x)(xR)的图象如图所示，则函数g(x)f(logx)的单调减区间是()A1， B，1C(0,1和，)D(，1和，)解析：令tlogx，则此函数为减函数，由图知yf(t)在和0，)上都是增函数，当t，时，x，)，当t0，)时，x(0,1，函数g(x)f(logx)在(0,1和，)上都是减函数，故选C.答案：C例2已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上是增函数令af，bf，cf，则()AbacBcbaCbca Dabc解析：由已知得af，bfff，cfff，注意到0，且0sinsinsintan，而函数f(x)在0，)上是增函数，因此有ba0的x的取值范围是()A(3，) B(0，)C(0，) D(0，)(3，)解析：定义在R上的偶函数f(x)在0，)上是增函数，且f()0，则由f(logx)0，得|logx|，即logx或logx.选D.例3若函数f(x)，对任意x1x2，都有0，则实数a的取值范围是()A(0,1) B.C. D.解析：解法1：对任意x1x2都有0在x0在x1上恒成立，故3a10且g(1)0，即a，故选C.解法2：对任意x1x2都有0，f(x)在R上为减函数由y(3a1)x4a在(，1)上单调递减知3a10，a，排除A、D.由f(1)0知，x0，3a14a0，a.故选C.点评：f(x)在R上单调递减，a的取值不仅要保证(，1)和1，)上单调递减，还要保证x1f(x2)(08湖南理)已知函数f(x)(a1)(1)若a0，则f(x)的定义域是_；(2)若f(x)在区间(0,1上是减函数，则实数a的取值范围是_解析：(1)要使函数f(x)有意义，则3ax0，a0，x.(2)首先0a1时，a10,3ax为减函数，f(x)在其定义域上为增函数，其次a0时，a11时，函数的定义域为(，欲使f(x)在(0,1上为减函数，f(x)在其定义域上为减函数，只须1，1a3，实数a的取值范围是a0或10时，f(x)1，且对任意的a，bR，有f(ab)f(a)f(b)(1)证明：f(0)1；(2)证明：对任意的xR，恒有f(x)0；(3)证明：f(x)是R上的增函数；(4)若f(x)f(2xx2)1，求x的取值范围解析：(1)证明：令ab0，则f(0)f 2(0)又f(0)0，f(0)1.(2)证明：当x0时，x0，f(0)f(x)f(x)1.f(x)0，又x0时f(x)10，xR时，恒有f(x)0.(3)证明：设x1x2，则x2x10.f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1)x2x10，f(x2x1)1又f(x1)0，f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x2)f(x1)，f(x)是R上的增函数(4)由f(x)f(2xx2)1，f(0)1得f(3xx2)f(0)又f(x)是R上的增函数，3xx20，0x3.点评：(1)解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是(3)中“f(x2)f(x2x1)x1”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略(3)也可以设x2x1t(t0)，f(x2)f(x1t)f(x1)f(t)f(x1)；或者设x1x2，则1，又f(x1)、f(x2)0，f(x2)f(x1)(2)赋值法是解决抽象函数问题的有效方法，由所给函数关系式在某个范围内恒成立，结合条件和待求问题，恰当赋值是关键一步(文)已知函数yf(x)对任意x、yR，均有f(x)f(y)f(xy)，当且x0时，f(x)0，f(1).(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；(2)求f(x)在3,3上的最值解析：(1)f(x)在R上是单调递减函数证明如下：令xy0，f(0)0，令yx可得：f(x)f(x)，在R上任取x1、x2且x10，f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1)又x0时，f(x)0，f(x2x1)0，即f(x2)1时，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)1，解不等式f(|x|)0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1，由于当x1时，f(x)0，所以f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)0时，由f(|x|)2得f(x)9；当x0时，由f(|x|)2得f(x)9，故x9或x1时，f(x)在0,1上为增函数，最小值f(0)，最大值f(1)；0a0，则当nN*时，有()Af(n)f(n1)f(n1)Bf(n1)f(n)f(n1)Cf(n1)f(n)f(n1)Df(n1)f(n1)0得f(x)在(，0上为增函数又f(x)为偶函数，所以f(x)在0，)上为减函数又f(n)f(n)且0n1nn1，f(n1)f(n)f(n1)，即f(n1)f(n)f(n1)故选C.答案：C例6设函数f(x)ax(a1)ln(x1)，其中a1.求f(x)的单调区间解析：由已知得函数f(x)的定义域为(1，)，且f (x)(a1)，(1)当1a0时，f (x)0时，由f (x)0，解得x.f (x)、f(x)随x的变化情况如下表：从上表可知当x时，f (x)0，函数f(x)在上单调递增综上所述：当1a0时，函数f(x)在(1，)上单调递减当a0时，函数f(x)在上单调递减，函数f(x)在上单调递增(09江西)设函数f(x).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若k0，求不等式f (x)k(1x)f(x)0的解集解析：(1)f (x)exexex，由f (x)0得，x1.因为当x0时，f (x)0；当0x1时，f (x)1时，f (x)0；所以f(x)的单调增区间是1，)；单调减区间是(，0)和(0,1(2)由f (x)k(1x)f(x)exex0得，(x1)(kx1)0.故当0k1时，解集是.