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第一章集合与函数
第一节集合
[例1]　设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2,3)∈A∩(∁UB)的充要条件是 (　　)
A．m>－1且n<5
B．m<－1且n<5
C．m>－1且n>5
D．m<－1且n>5
解析：∵P∈A，∴m>－1，
又∁UB＝{(x，y)|x＋y－n>0}，P∈∁UB，
∴n<5，故选A.
答案：A
点评：一般地，若a∈A，则元素a一定满足集合A中元素的共同属性．

(2010·浙江萧山中学)在集合M＝{0，，1,2,3}的所有非空子集中任取一个集合，该集合恰满足条件“对∀x∈A，有∈A”的概率是________．
解析：集合M的非空子集有25－1＝31个，而满足条件“对∀x∈A，则∈A”的集合A中的元素为1、或2，且，2要同时出现，故这样的集合有3个：{1}，{，2}，{1，，2}．因此，所求[例2]　设集合P＝{x|x＝＋，k∈Z}，Q＝{x|x＝＋，k∈Z}，则 (　　)
A．P＝Q B．PQ
C．PQ D．P∩Q＝∅
的概率为.
[例2]　设集合P＝{x|x＝＋，k∈Z}，Q＝{x|x＝＋，k∈Z}，则 (　　)
A．P＝Q B．PQ
C．PQ D．P∩Q＝∅
解析：P：x＝＋＝，k∈Z；Q：x＝＋＝，k∈Z，从而P表示的“奇数倍”数组成的集合，而Q表示的所有“整数倍”数组成的集合，故PQ.选B.
答案：B
点评：函数值域构成的集合关系的讨论，一般应先求出其值域．如果值域与整数有关，可将两集合中的元素找出它们共同的表达形式，利用整数的性质求解或用列举法讨论．
(2010·广东省高考调研)集合P＝{x|y＝}，集合Q＝{y|y＝}，则P与Q的关系是 (　　)
A．P＝Q B．PQ
C．PQ D．P∩Q＝∅
解析：∵P＝{x|y＝}＝{x|x≥－1}，Q＝{y|y≥0}，∴PQ，∴选B.
答案：B
[例3]　(09·重庆)设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________.
解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}，∴A∪B＝{1,3,5,6,7}，
得∁U(A∪B)＝{2,4,8}．
答案：{2,4,8}
点评：集合的运算问题要依据交、并、补运算的定义求解．
(2010·辽宁理，1)已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝ (　　)
A．{1,3}　　　　　　　 B．{3,7,9}
C．{3,5,9} D．{3,9}
解析：由题意知，A中有3和9，若A中有7(或5)，则∁UB中无7(或5)，即B中有7(或5)，则与A∩B＝{3}矛盾，故选D.
答案：D
[例4]　已知全集I＝R，集合M＝{x||x|<2，x∈R}，P＝{x|x>a}，并且M∁IP，那么a的取值集合是(　　)
A．{2} B．{a|a≤2}
C．{a|a≥2} D．{a|a<2}
解析：∵M＝{x||x|<2}＝{x|－2<x<2}　∁IP＝{x|x≤a}
M∁IP，∴a≥2，如下图数轴上所示．
　 故选C.
答案：C
点评：1.一般地，在处理带参数的集合之间的关系时，要把所涉及的集合表示在数轴上，借助其直观性正确判定．要特别注意是否包括分界点即a＝2.
2．集合运算与不等式的联系是近年来高考的主要题型
(2010·镇海中学)设全集U是实数集R，集合M＝{x|x2－4<0}，N＝{x|(x－2)2<1}，则图中阴影部分所表示的集合是
(　　)
A．{x|－2<x≤1}
B．{x|1<x≤2}
C．{x|－2≤x≤1}
D．{x|x≥3}
解析：Venn中的阴影部分在集合M中，不在集合N中，故所表示的集合为M∩∁UN.
∵M＝{x|x2－4<0}＝{x|－2<x<2}，N＝{x|(x－2)2<1}＝{x|1<x<3}，
∴M∩∁UN＝{x|－2<x≤1}，故选A.
答案：A
[例5]　已知集合M＝{(x，y)|y－1＝k(x－1)，x，y∈R}，集合N＝{(x，y)|x2＋y2－2y＝0，x，y∈R}，那么M∩N中 (　　)
A．不可能有两个元素 B．至多有一个元素
C．不可能只有一个元素 D．必含无数个元素
解析：y－1＝k(x－1)表示经过定点(1,1)，斜率为k的直线，不包括通过(1,1)与x轴垂直的直线即x＝1.
x2＋y2－2y＝0，可化为x2＋(y－1)2＝1，表示圆心在(0,1)半径等于1的圆，又(1,1)是圆上的点，
∴直线与圆有两个交点，故选C.
答案：C
点评：集合与平面解析几何结合是高考的又一热点，这类题型一般以集合为载体考查解析几何基本图形的性质及相互之间的关系，解题关键是抓住表达式的几何意义．
(2010·湖北理，2)设集合A＝{(x，y)|＋＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是 (　　)
A．4 B．3
C．2 D．1

解析：结合椭圆＋＝1的图形及指数函数y＝3x的图象可知，共有两个交点，故A∩B子集的个数为4.
答案：A
[例6]　设数集M＝{x|m≤x≤m＋}，N＝{x|n－≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值
是 (　　)
A. B.
C. D.
解析：此题虽新定义了“长度”概念，但题意不难理解，只要求出M∩N，然后再求一个式子的最小值即可；如何求M∩N呢？若真这样理解的话，就走弯路了．
其实，根本用不着求M∩N；集合M的“长度”是，由于m是一个变量，因此，这个长度为的区间可以在区间[0,1]上随意移动；同理，集合N的长度为且也可以在区间[0,1]上随意移动；两区间的移动又互不影响，因此M∩N的“长度”的最小值即为－＝，故选C.
答案：C
点评：该题立意新颖，背景公平．对考生的思维能力和分析解决问题能力有较高的区分度．
(文)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a＋b、a－b、ab、∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域．有下列命题：
①数域必含有0,1两个数；
②整数集是数域；
③若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；
④数域必为无限集；
其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)
解析：结合题设的定义，逐一判断，可知①④正确．
答案：①④
(理)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a＋b、a－b、ab、∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝{a＋b|a，b∈Q}也是数域．有下列命题：
①整数集是数域；
②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；
③数域必为无限集；
④存在无穷多个数域．
其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)
解析：①整数a＝2，b＝4，不是整数；
②如将有理数集Q，添上元素，得到数集M，则取a＝3，b＝，a＋b∉M；
③由数域P的定义知，若a∈P，b∈P(P中至少含有两个元素)，则有a＋b∈P，从而a＋2b，a＋3b，…，a＋nb∈P，∴P中必含有无穷多个元素，∴③对．
④设x是一个非完全平方正整数(x>1)，a，b∈Q，则由数域定义知，F＝{a＋b|a、b∈Q}必是数域，这样的数域F有无穷多个．
答案：③④
※[例7]　集合A＝{一条边长为2，一个角为30°的等腰三角形}，则集合A的子集的个数为 (　　)
A．4 B．16
C．15 D．无数个
分析：首先搞清集合A中元素个数n，然后根据公式2n求出子集个数．
解析：边长为2的边是等腰三角形的底边时，30°的角可以是三角形的底角，也可以是顶角．故这样的三角形有两个．
边长为2的边是等腰三角形的腰长时，30°的角可以是三角形底角，也可以是顶角，故这样的三角形也有两个．
故适合条件的三角形共有4个．所以子集个数为24＝16个．选B.
答案：B
总结评述：关于有限集的子集个数有如下结论：
(1)若A＝{a1，a2，…，an}，则A的子集个数为2n，其中含有m(m≤n)个元素的子集个数为Cnm个，A的真子集个数为2n－1，A的非空真子集个数为2n－2个．
(2)若{a1，a2…，am}⊆A⊆{a1，a2…，am，am＋1，…，an}，则A的个数为2n－m个，若{a1，a2，…，am}A⊆{a1，a2，…，am，am＋1，…，am}则A的个数为2n－m－1个，若{a1，a2，…，am}A{a1，a2，…，am，am＋1，…，an}则A的个数为2n－m－2个．
(3)若{a1，a2，…，am}∪B＝{a1，a2，…，am，am＋1，…，an}，则B的个数为2m个．
已知集合{1,2,3，…，100}的两个子集A、B满足：A与B的元素个数相同，且A∩B为空集．若n∈A时，总有2n＋2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为 (　　)
A．62　　 　B．66　　 　C．68　　 　D．74
解析：若24到49属于A，则50至100的偶数属于B满足要求，此时A∪B已有52个元素；集合A取1到10的数时，集合B取4到22的偶数，由于A∩B＝∅，∴4,6,8∉A，此时A∪B中将增加14个元素，∴A∪B中元素个数最多有52＋14＝66个．
答案：B

第二节函数的概念
[例1]　下列各组中的两个函数相等的是 (　　)
A．f(x)＝lgx＋lg(x－1)，g(x)＝lg[x(x－1)]
B．f(x)＝，g(x)＝
C．y＝f(x)与y＝f(x＋1)
D．f(x)＝|x|＋|x－1|，g(x)＝2x－1
解析：A中，由得x>1，∴f(x)定义域为{x|x>1}；由x(x－1)>0得x<0或x>1，∴g(x)定义域为{x|x<0或x>1}，∴f(x)与g(x)定义域不同，不是同一个函数；
B中，由得，
∴－1≤x<0或0<x≤1，∴x＋2>0.
∴f(x)＝＝＝，f(x)与g(x)定义域、对应法则相同，故为相等函数；
答案：B
总结评述：当一个函数的对应法则和定义域确定后，其值域随之得到确定，所以两个函数当且仅当定义域和对应法则分别相同时为相等函数.

[例2]　在给定的映射f：(x，y)→(2x＋y，xy)(x，y∈R)作用下，点(，－)的原象是 (　　)
A．(，－)
B．(，－)或(－，)
C．(，－)
D．(，－)或(－，)
分析：设的原象为(x，y)，则在f作用下，(x，y)→，从而可列出x、y的方程组求解．
解析：由已知得：解方程组得
或　故选B.
已知函数f(x)、g(x)分别由下表给出
x
1
2
3
f(x)
1
3
1

x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f[g(1)]的值为________；满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是________．
解析：f[g(1)]＝f(3)＝1.
x
1
2
3
f[g(x)]
1
3
1
g[f(x)]
3
1
3
故f[g(x)]>g[f(x)]的解为x＝2.
答案：1；2
[例3]　(文)若f(x)＝，则f(－1)的值为(　　)
A．1　　　　 B．2　　　　
C．3　　　　 D．4
分析：依据分段函数的定义，当x<6时，f(x)＝f(x＋3)，当x≥6时，f(x)＝log2x，依次递推可求出f(－1)．
解析：f(－1)＝f(2)＝f(5)＝f(8)＝log28＝3，选C.
答案：C
(理)若函数f(x)＝，则函数y＝f(2－x)的图象可以是 (　　)

分析：可依据y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，及y＝f(2－x)可由y＝f(－x)的图象向右平移两个单位得到来求解，也可直接求出y＝f(2－x)的解析式取特值验证．
解析：由函数y＝f(x)的图象关于y轴对称得到y＝f(－x)的图象，再把y＝f(－x)的图象向右平移2个单位得到y＝f(2－x)的图象，故选A.
答案：A
(文)已知f(x)＝，则f＋f的值为 (　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：∵f(x)＝，
∴f＝f＋1＝f＋2
＝cos＋2＝－＋2＝，
f＝cos＝－，
∴f＋f＝1.故选C.
答案：C
(理)设函数f(x)＝，则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为 (　　)
A．(－∞，－2]∪[0,10]
B．(－∞，－2]∪[0,1]
C．(－∞，－2]∪[1,10]
D．[－2,0]∪[1,10]
解析：当x<1时，f(x)≥1⇔(x＋1)2≥1⇔x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x<1.
当x≥1时，f(x)≥1⇔4－≥1⇔≤3
⇔x≤10，∴1≤x≤10.
综上所述，可得x≤－2或0≤x≤10.故选A.
答案：A
例4]　已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a的取值范围是 (　　)
A．(1，＋∞)
B．(－∞，3)
C．[，3)
D．(1,3)
解析：解法1：由f(x)在R上是增函数，∴f(x)在[1，＋∞)上单增，由对数函数单调性知a>1　①，又由f(x)在(－∞，1)上单增，∴3－a>0，∴a<3　②，又由于f(x)在R上是增函数，为了满足单调区间的定义，f(x)在(－∞，1]上的最大值3－5a要小于等于f(x)在[1，＋∞)上的最小值0，才能保证单调区间的要求，∴3－5a≤0，即a≥　③，由①②③可得1<a<3.
解法2：令a分别等于、0、1，即点评：f(x)在R上是增函数，a的取值不仅要保证f(x)在(－∞，1)上和[1，＋∞)上都是增函数，还要保证x1<1，x2≥1时，有f(x1)<f ′(x2)．
可排除A、B、C，故选D.
(09·山东)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝，则f(3)的值为 (　　)
A．－1　　　B．－2　　　C．1　　　 D．2
解析：f(3)＝f(2)－f(1)＝f(1)－f(0)－f(1)＝－f(0)＝－log24＝－2.
答案：B
[例5]　(文)函数f(x)＝＋lg的定义域是______．
解析：要使f(x)＝＋lg有意义，须满足
，即2≤x<4且x≠3.
答案：{x|2≤x<4且x≠3}
(理)设函数f(x)＝ln，则函数g(x) 解析：由>0知－1<x<1，
∴，由①得－2<x<2，由②得x>1或x<－1，因此－2<x<－1或1<x<2.
＝f＋f的定义域是________．
答案：(－2，－1)∪(1,2)
(文)函数y＝＋的定义域为(　　)
A．{x|x≥0} B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}
解析：由y＝＋得，，
∴，∴x≥1或x＝0，
∴定义域为{x|x≥1}∪{0}．
答案：C
(理)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是 (　　)
A．[0,1] B．[0,1)
C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)
解析：要使g(x)有意义，则，解得0≤x<1，故定义域为[0,1)，选B.
答案：B
[例6]　用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图)，若矩形底部长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出其定义域．

解析：由题意知，此框架是由一个矩形和一个半圆组成的图形，而矩形的长AB＝2x，设宽为a，则有2x＋2a＋πx＝l，即a＝－x－x，半圆的半径为x，所以
y＝＋·2x＝－x2＋lx.
根据实际意义知：
－x－x>0，因x>0，解得0<x<.
即所求函数为y＝－x2＋lx其定义域是
.
总结评述：求由实际问题确定函数的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义．如本题使函数解析式有意义的x的取值范围是x∈R，但实际问题的意义是矩形的边长为正数，而边长是用变量x表示的，这就是实际问题对变量的制约．
这类函数与几何结合的小综合题，考查数形结合的能力和思维的严密性以及解决实际问题的能力，符合新课改的要求．
某出版公司为一本畅销书定价如下：
C(n)＝.这里C(n)是定购n本书所付的钱数(单位：元)．
若一本书的成本价是5元，现有甲、乙两人来买书，每人至少买1本，两人共买60本，问出版公司最少能赚多少钱？最多能赚多少钱？
分析：甲、乙共买60本，若甲买n本，则乙买(60－n)本，由C(n)的定义和n∈N*找出n的取值范围和分界点，然后确定其解析式，在每一段上求得最值后，比较得出结果．
解析：设甲买n本书，则乙买(60－n)本(不妨设甲买的书少于或等于乙买的书)，
则n≤30，n∈N*.
①当1≤n≤11且n∈N*时，49≤60－n≤59，
出版公司赚的钱数f(n)＝12n＋10(60－n)－5×60
＝2n＋300；
②当12≤n≤24且n∈N*时，36≤60－n≤48，
出版公司赚的钱数
f(n)＝12n＋11(60－n)－5×60＝n＋360；
③当25≤n≤30且n∈N*时，30≤60－n≤35，
出版公司赚的钱数
f(n)＝11×60－5×60＝360.
∴f(n)＝
∴当1≤n≤11时，302≤f(n)≤322；
当12≤n≤24时，372≤f(n)≤384；
当25≤n≤30时，f(n)＝360.
故出版公司最少能赚302元，最多能赚384元．

第三节函数的单调性与最值
[例1]　求下列函数的单调区间，并确定每一单调区间上的单调性．
(1)y＝|x|(1－x)
(2)y＝()x2－x
(3)y＝log2(6＋x－2x2)
解析：(1)∵f(x)＝|x|(1－x)＝，可得函数f(x)在区间(－∞，0]及[，＋∞)上为减函数，在区间[0，]上为增函数．
(2)设t＝x2－x＝(x－)2－，
∵t＝(x－)2－在(－∞，]上为减函数，在[，＋∞)上为增函数．又y＝()t在(－∞，＋∞)上为减函数，
∴y＝()x2－x的单调增区间为(－∞，]，单调减区间为[，＋∞)．
(3)由6＋x－2x2>0，得－<x<2，设t＝6＋x－2x2则y＝log2t；
∵t＝－2x2＋x＋6＝－2(x－)2＋在(－，]上为增函数，在[，2)上为减函数，又y＝log2t在(0，＋∞)上为增函数，∴y＝log2(6＋x－2x2)的单调增区间为(－，]，单调减区间为[，2)．
跟踪练习
函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(logx)的单调减区间是(　　)
A．[1，]
B．[，1]
C．(0,1]和[，＋∞)
D．(－∞，1]和[，＋∞)

解析：令t＝logx，则此函数为减函数，由图知y＝f(t)在和[0，＋∞)上都是增函数，当t∈－∞，－时，x∈[，＋∞)，当t∈[0，＋∞)时，x∈(0,1]，∴函数g(x)＝f(logx)在(0,1]和[，＋∞)上都是减函数，故选C.
答案：C

[例2]　已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数．令a＝f，b＝f，c＝f，则 (　　)
A．b<a<c　　　　　　 B．c<b<a
C．b<c<a D．a<b<c
解析：由已知得a＝f，b＝f＝f＝f，c＝f＝f＝f，注意到0<<＝<，且0<sin<sin＝sin<tan，而函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，因此有b<a<c，选A.

定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f()＝0，则适合不等式f(logx)>0的x的取值范围是(　　)
A．(3，＋∞) B．(0，)
C．(0，＋∞) D．(0，)∪(3，＋∞)
解析：∵定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，则由f(logx)>0，得|logx|>，即logx>或logx<－.选D.
[例3]　若函数f(x)＝，对任意x1≠x2，都有<0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B.
C. D.
解析：解法1：∵对任意x1≠x2都有<0，
∴f(x)在R上为减函数．
当x＝1时，logax＝0，若为R上的减函数，则(3a－1)x＋4a>0在x<1时恒成立．令g(x)＝(3a－1)x＋4a，则g(x)>0在x<1上恒成立，故3a－1<0且g(1)≥0，
即⇒≤a<，故选C.
解法2：∵对任意x1≠x2都有<0，
∴f(x)在R上为减函数．
由y＝(3a－1)x＋4a在(－∞，1)上单调递减知3a－1<0，∴a<，排除A、D.
由f(1)＝0知，x<1时f(x)>0，
∴3a－1＋4a≥0，∴a≥.故选C.
点评：f(x)在R上单调递减，a的取值不仅要保证(－∞，1)和[1，＋∞)上单调递减，还要保证x1<1，x2≥1时有f(x1)>f(x2)．
(08·湖南理)已知函数f(x)＝　(a≠1)．
(1)若a>0，则f(x)的定义域是________；
(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．
解析：(1)要使函数f(x)＝有意义，则3－ax≥0，
∵a>0，∴x≤.
(2)首先0<a<1时，a－1<0,3－ax为减函数，
∴f(x)在其定义域上为增函数，
其次a<0时，a－1<0,3－ax为增函数，
∴f(x)在其定义域上为减函数，
∵函数的定义域为[，＋∞)，(0,1][，＋∞)，
∴f(x)在(0,1]上为减函数，
又a>1时，函数的定义域为(－∞，]，
欲使f(x)在(0,1]上为减函数，
∵f(x)在其定义域上为减函数，∴只须1≤，
∴1<a≤3，∴实数a的取值范围是a<0或1<a≤3.
答案：(1)(－∞，]　(2)(－∞，0)∪(1,3]
[例4]　定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a，b∈R，有f(a＋b)＝f(a)·f(b)．
(1)证明：f(0)＝1；
(2)证明：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；
(3)证明：f(x)是R上的增函数；
(4)若f(x)·f(2x－x2)>1，求x的取值范围．
解析：(1)证明：令a＝b＝0，则f(0)＝f 2(0)．又
f(0)≠0，∴f(0)＝1.
(2)证明：当x＜0时，－x＞0，
∴f(0)＝f(x)·f(－x)＝1.
∴f(－x)＝＞0，又x≥0时f(x)≥1＞0，
∴x∈R时，恒有f(x)＞0.
(3)证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0.
∴f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)·f(x1)．
∵x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＞1
又f(x1)＞0，∴f(x2－x1)·f(x1)＞f(x1)．
∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)是R上的增函数．
(4)由f(x)·f(2x－x2)＞1，f(0)＝1得f(3x－x2)＞f(0)．又f(x)是R上的增函数，
∴3x－x2＞0，∴0＜x＜3.
点评：(1)解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是(3)中“f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略．(3)也可以设x2＝x1＋t(t＞0)，f(x2)＝f(x1＋t)＝f(x1)·f(t)＞f(x1)；或者设x1＜x2，则＝＝＞1，又f(x1)、f(x2)＞0，∴f(x2)＞f(x1)．
(2)赋值法是解决抽象函数问题的有效方法，由所给函数关系式在某个范围内恒成立，结合条件和待求问题，恰当赋值是关键一步．
(文)已知函数y＝f(x)对任意x、y∈R，均有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，当且x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最值．

解析：(1)f(x)在R上是单调递减函数
证明如下：
令x＝y＝0，∴f(0)＝0，令y＝－x可得：
f(－x)＝－f(x)，
在R上任取x1、x2且x1<x2，则x2－x1>0，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．
又∵x>0时，f(x)<0，
∴f(x2－x1)<0，即f(x2)<f(x1)．
由定义可知f(x)在R上为单调递减函数．
(2)∵f(x)在R上是减函数，
∴f(x)在[－3,3]上也是减函数．∴f(－3)最大，f(3)最小．
f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)
＝3×＝－2.
∴f(－3)＝－f(3)＝2.
即f(x)在[－3,3]上最大值为2，最小值为－2.
(理)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性；
(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2.
解析：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0，所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
(3)由f＝f(x1)－f(x2)得f＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.由于函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，所以当x>0时，由f(|x|)<－2得f(x)<f(9)，因此x>9；当x<0时，由f(|x|)<－2得f(－x)<f(9)，因此－x>9，故x<－9.因此不等式的解集为{x|x>9或x<－9}.
[例5]　函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为 (　　)
A.
B.
C．2
D．4
解析：a>1时，f(x)在[0,1]上为增函数，最小值f(0)，最大值f(1)；
0<a<1时，f(x)在[0,1]上为减函数，最小值f(1)，最大值f(0)，
据题设有：f(0)＋f(1)＝a，
即1＋a＋loga2＝a，∴a＝.
答案：B
(09·陕西)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))>0，则当n∈N*时，有 (　　)
A．f(－n)<f(n－1)<f(n＋1)
B．f(n－1)<f(－n)<f(n＋1)
C．f(n＋1)<f(－n)<f(n－1)
D．f(n＋1)<f(n－1)<f(－n)
解析：由(x2－x1)(f(x2)－f(x1))>0得f(x)在(－∞，0]上为增函数．
又f(x)为偶函数，所以f(x)在[0，＋∞)上为减函数．
又f(－n)＝f(n)且0≤n－1<n<n＋1，
∴f(n＋1)<f(n)<f(n－1)，即f(n＋1)<f(－n)<f(n－1)．故选C.
答案：C
[例6]　设函数f(x)＝ax－(a＋1)ln(x＋1)，其中a≥－1.求f(x)的单调区间．
解析：由已知得函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，且f ′(x)＝(a≥－1)，
(1)当－1≤a≤0时，f ′(x)<0，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减；
(2)当a>0时，由f ′(x)＝0，解得x＝.
f ′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：

从上表可知
当x∈时，f ′(x)<0，函数f(x)在上单调递减；
当x∈时，f ′(x)>0，函数f(x)在上单调递增．
综上所述：
当－1≤a≤0时，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．
当a>0时，函数f(x)在上单调递减，函数f(x)在上单调递增．
(09·江西)设函数f(x)＝.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若k>0，求不等式f ′(x)＋k(1－x)f(x)>0的解集．
解析：(1)f ′(x)＝－ex＋ex＝ex，
由f ′(x)＝0得，x＝1.
因为当x<0时，f ′(x)<0；当0<x<1时，f ′(x)<0；当x>1时，f ′(x)>0；所以f(x)的单调增区间是[1，＋∞)；单调减区间是(－∞，0)和(0,1]．
(2)由f ′(x)＋k(1－x)f(x)＝ex＝ex>0得，(x－1)(kx－1)<0.
故当0<k<1时，解集是；
当k＝1时，解集是∅；
当k>1时，解集是.