数学抽象素养视角下“数列”单元整体教学研究.pdf

投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 7 月（下旬）数学抽象素养视角下“数列”单元整体教学研究黄小冬重庆市巴蜀中学校400013咱摘要暂 新课标明确强调袁要通过数学学科核心素养的发展袁让学生学会用数学的眼光观察现实世界袁用数学的思维思考现实世界袁用数学的语言表达现实世界.在这样的宏观背景下袁相应的教学方式要进行重构袁于是包括单元整体教学在内的教学方式就纳入了一线教师的视野.基于数学抽象素养发展的需要袁单元整体教学应当在传统教学的基础上袁充分利用好教科书以及学生生活中的相关资源袁借助体验性更强的数学活动帮助学生完成知识体系的建构.这样的单元整体教学的基本架构涉及三个要素袁分别为学生的学习品质尧数学课程资源尧数学体验活动.关键词高中数学曰数学抽象曰核心素养曰数列曰单元整体教学作者简介院黄小冬（1988），本科学历，中学二级教师，从事高中数学学科教育教学工作.教研在线当前袁高中数学教学面临着宏观背景与具体教学方式的重构现状.宏观背景之所以需要重构袁是因为随着新课标的颁布袁发展学生的核心素养已经成为包括数学学科在内所有学科的教学共识袁而数学学科核心素养则更加明确了基本要素渊包括数学抽象在内的六个要素冤.新课标明确强调袁要通过数学学科核心素养的发展袁让学生学会用数学的眼光观察现实世界袁 用数学的思维思考现实世界袁用数学的语言表达现实世界.在这样的宏观背景下袁相应的教学方式要进行重构袁于是包括单元整体教学在内的教学方式就纳入了一线教师的视野.单元整体教学是相对于传统的以课时尧节为单位的课堂教学而言的.所谓单元整体教学袁就是把一个单元看成一个有机的学习和认知整体袁即在明确的学习目标统领下袁对一个单元的学习内容进行系统规划和设计袁关注知识逻辑袁注重学生发展袁并在此基础上建立不同课文内容间的联系袁充分彰显单元学习的价值袁使学生的学习既有明确的目标袁 又有清晰的路径袁进而最大可能地促进学生能力发展和素养提升咱1暂.一线教师往往关注的就是教学方式袁单元整体教学作为一种新型的教学方式袁教师在理解时首先要形成理论认识.康德认为袁知识在本质上是一个整体袁正确使用人的理性可以指导主体将支离破碎的尧不完整的知识袁统整上升到更高层次的整体知识咱2暂.随着基础教育课程改革的推进袁强调知识的整体性和单元整体作用的教学观愈加受到重视咱3暂.在这样的认识下袁在核心素养培育的背景下袁单元整体教学也就应运而生.借助单元整体教学来发展学生的数学学科核心素养袁成为当前高中数学教学中过程与目标关系的体现.数学抽象是数学学科核心素养的第一要素袁因此笔者选择在数学抽象的视角下研究单元整体教学.用叶普通高中教科书 窑 数学 窑 选择性必修第二册曳渊人教A版冤渊下文简称教材冤第四章野数列冶这一知识袁可以充分建立起数学抽象素养培育视角袁同时也可以实施单元整体教学.下面就从基本架构尧案例分析尧研究反思等三个角度进行阐述.数学抽象素养视角下“数列”单元整体教学的基本架构新课标描述数学抽象时是这么说的院数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象袁得到数学研究对象的素养.新课标同时进一步指出院数学抽象主要从数量与数量关系尧图形与图形关系中抽象出数学概念及48投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 7 月（下旬）教研在线概念之间的关系袁从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构袁并用数学语言予以表征.这样的描述实际上指出了培养数学抽象素养的基本思路袁那就是引导学生研究数量与数量关系尧图形与图形关系以及事物的具体背景袁 得到数学概念及概念之间的关系袁从事物中抽象出一般规律和结构袁然后用数学语言予以表征.站在学生的角度来看数学抽象袁可以认为数学抽象大体经由简约阶段尧符号阶段尧普适阶段等三个基本阶段.以教学形态出现的数学抽象袁遵循数学抽象的一般规律袁同时又具有实物抽象尧半符号抽象尧符号抽象和形式化抽象等四种表现形式咱4暂.有了这样的认识袁意味着数学抽象素养视角就清晰了.在这一视角下再来看单元整体教学的基本架构袁笔者认为基于数学抽象素养发展的需要袁单元整体教学应当在传统教学的基础上袁充分利用好教科书以及学生生活中的相关资源袁借助体验性更强的数学活动帮助学生完成知识体系的建构.这样的单元整体教学的基本架构涉及三个要素袁分别为学生的学习品质尧数学课程资源尧数学体验活动.这三个要素是互相关联尧互相作用的袁衔接三者关系的是学生本身袁是学生的学习过程.对野数列冶这一单元的教学而言袁教师要引导学生认识到数学知识看起来虽然抽象袁但是对数列的研究却是源于现实生产与生活的需要.认识到这一点袁数学抽象素养的培养也就有了基础.在野数列冶教学中袁将等差数列与等比数列放在单元整体的视角下让学生去学习袁这是单元整体教学的宏观思路.教师可以参考上文总结的单元整体教学的基本架构袁重新设计本单元教学.这样呈现在学生面前的单元整体教学袁应当是基于学生学习的需要袁教师通过课程资源的开发与利用袁来帮助学生体验数学抽象的过程.与传统教学不同的是袁 无论是教师提供课程资源时袁还是学生加工课程资源时袁等差数列与等比数列有可能同时出现袁那么相应的概念建立也会同时发生.另外袁考虑到等差数列与等比数列的相同点与不同点袁教师可以引导学生在探究等差数列时袁形成更好的研究视角与能力袁 然后向等比数列的探究迁移袁这是单元整体教学的基本思路袁也是最有价值的选择.毕竟由于时间和空间的限制袁等差数列与等比数列不可能同时学习袁而这种前期能力向后期学习的迁移袁正成为单元整体教学的最佳注解.数学抽象素养视角下“数列”单元整体教学的实践案例借助上文总结的单元整体教学的基本架构袁可以发现在实施单元整体教学时袁既要充分发挥数学抽象的价值袁让学生在数学学习的过程中有充分的数学抽象体验袁又要保证单元知识的整体性袁让学生在体验的过程中建立起关于单元整体知识的认识.数学抽象通常要经历感知与识别尧分类与概括尧想象与建构尧定义与表征尧系统化与结构化等五个阶段咱5暂.这五个阶段就是学生建构知识的大致历程袁而在单元整体教学的基本架构的引领下袁则可以对本单元知识进行系统设计.例如袁笔者的设计是这样的院首先袁列举生活中关于数列的例子袁让学生初步感知数列的魅力.数列本身是抽象的袁但是数列在生活中却对应着不少实例袁利用这些实例来帮助学生夯实感性认识的基础袁是培养学生数学抽象素养最好的切入口之一.这些实例就是本单元整体教学的课程资源袁想利用这些课程资源引导学生感知数列的魅力袁就要保证课程资源是丰富的袁要确保学生在分析这些例子时袁能够同时认识等差数列与等比数列.比如袁用教材所举的例子要要要王芳从1岁到17岁袁每年生日那天测量身高得到的身高数据袁可以帮助学生初步形成野不能交换位置的一列数就是数列冶的认识袁这对学生而言是认知突破袁学生会发现原来看起来杂乱无章的数据也是有章可循的.这个过程需要数学抽象袁因此教师举例时要特别注意袁可以在给出框架性思路后袁让学生尝试自己去举例.比如学生所形成的初步认识其实就是一个框架袁让学生在这一框架内根据自己对数列的理解去举例袁那么学生由于经验差异性的存在袁就会举出既在框架内袁又存在着明显不同的数列的例子.这些例子有的来自生活袁有的来自学生的自主建构要要要后者实际上已经进一步演绎了数学抽象的魅力.分析这些例子袁也就成为下一步单元整体教学的内容.其次袁引导学生分析尧归纳例子袁进一步建立等差数列与等比数列的概念.这里要提出的例子必须是丰富的袁 分析归纳后的结果必须是简洁的.在学生所举的例子中袁通常会自然出现等差数列和等比数列.这时研究的对象就是学生所举的数列例子袁 这样可以更好地发现数列中蕴藏的规律.其实学生举例也是借助自身的经验进行的袁 在分析例子时袁学生原有的感性认识就可以发挥作用袁 这个作用可以驱动学生的思维从形象向抽象转化袁 本质上也是数学抽象的一部分.比如有的学生举的例子是自然数袁即1袁2袁3袁4袁5袁噎曰有的学生根据故事举例袁 如在棋盘的方格中放米粒袁 得到1袁2袁4袁8袁16袁噎.通过对这些例子的分析可以发现袁 不同数列所遵循的规律有所不同.当然袁这种野不同冶应当由学生自己去发现袁 这在客观上也是一个数学抽象的过程.之所以这么说袁是因为当学生熟悉具有抽象特征的数列后袁 其就是一个形象思维加工的对象袁 而寻找数列背后的规律就变成了一个抽象的过程.49投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 7 月（下旬）口也变小渊大冤袁当参数p等于0时袁其轨迹为一条直线.经历以上过程袁学生理解并掌握了抛物线的概念及其标准方程袁接下来通过例题解析袁让学生进一步巩固概念.教学思考概念教学是数学教学的核心袁因此教师应重视概念教学袁关注概念生成的过程袁以此让学生更好地理解知识尧应用知识袁落实学生的数学核心素养.结合以上教学过程袁笔者谈几点心得体会院渊1冤重视创设合适的问题情境.在教学中袁教师应为学生提供一个自由的尧平等的探究环境袁引导学生用数学的眼光去发现和解决问题袁以此加快数学化进程袁培养学生的数学素养.例如袁在概念引入阶段袁教师设计了多个教学情境袁既拉近了学生与数学的距离袁又培养了学生直观想象和数学抽象等素养.渊2冤关注概念的生成过程.在概念教学中袁若仅引导学生从文字语言上理解概念袁这样的概念教学是浅显的袁难以突出概念的本质属性袁这将影响学生提升知识迁移能力袁限制学生发展思维能力.因此袁教师应带领学生经历概念生成的过程袁以此让学生掌握概念本质袁使学生学懂会用.渊3冤善于应用信息技术.随着时代的进步袁 信息技术为教学带来了巨大便利袁 教师应充分发挥多媒体直观便捷尧资源丰富的优势袁以此让学生更好地理解知识袁加深对概念本质的理解.总之袁教师要重视概念教学袁多引导学生经历概念生成和发展的过程袁通过教学资源的优化和整合袁提高概念教学的有效性袁落实学生的数学核心素养.渊上接第 34 页冤从学生学习的实际情形来看袁学生能够通过数学抽象发现其中的关系院类似于野1袁2袁3袁4袁5袁噎冶袁就是不断地野+1冶袁而类似于野1袁2袁4袁8袁16袁噎冶袁就是不断地野伊2冶.学生可能同时发现这些关系袁因此同时建立等差数列与等比数列的概念袁也就是水到渠成的一件事情袁反映了单元整体教学的基本特征.再次袁引导学生进行迁移.根据教材知识呈现的顺序袁学生首先探究的是等差数列.但由于此前的单元整体教学袁学生此时大脑中已经有了等差数列和等比数列的概念袁因此教学等差数列时袁要坚持能力立意的思路袁从而为后面等比数列的自主探究奠定基础.此时能力立意的主要体现袁就是发现等差数列的规律袁尤其是等差数列的通项公式.等差数列的通项公式实际上是一个数学模型袁这一模型的建立与运用袁表征着学生对等差数列学习的能力.当这种能力实现迁移的时候袁其实就是本单元知识教学表现出野整体冶一面的时候.数学抽象素养视角下数列单元整体教学的研究反思数学抽象素养视角下的单元整体教学袁在野数列冶这一单元的教学中有着充分的体现院数列概念的建立袁充分体现着数学抽象的基本特征曰等差数列与等比数列两个概念的同时建立袁意味着单元整体教学落到实处曰学生在等差数列学习过程中形成的认知与能力袁有效迁移至等比数列学习袁意味着单元整体教学走向高潮噎噎由此来看袁在数学抽象素养的视角下进行单元整体教学袁不仅让学生对数学概念或规律的理解更具整体性袁还让包括数学抽象在内的核心素养得到更好的发展.由此进一步反思单元整体教学袁笔者认为其可以成为数学学科核心素养落地的有效途径.尤其对于数学抽象而言袁教师必须充分认识到数学在本质上研究的是抽象的东西袁数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象袁只有通过抽象才能得到抽象的东西咱6暂.有了这样的认识袁再借助单元整体教学引导学生完成知识的建构与运用袁那么数学抽象素养就可以切实落地曰如果能够进一步挖掘单元整体教学的价值袁将更多的数学学科核心素养要素蕴含其中袁那么在高中数学教师面前也就打开了一个新的教学空间.参考文献院1陆启威.单元整体教学的价值诉求与路径探析 J.江苏教育，2022（25）：27-31.2康德.纯粹理性批判 M.韦卓民，译.武汉：华中师范大学出版社，2000.3王海青，吴有昌.基于数学单元的整体教学探索与实践：问题驱动的视角 J.数学通报，2022，61（03）：27-32+46.4张胜利，孔凡哲.数学抽象在数学教学中的应用 J.教育探索，2012（01）：68-69.5李昌官.数学抽象及其教学 J.数学教育学报，2017，26（04）：61-64.6史宁中.数学的抽象 J.东北师大学报（哲学社会科学版），2008（05）：169-181.教研在线50