【全程复习方略】(湖南专用)2014版高中数学-5.2证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式课时提能训练.doc

【全程复习方略】（湖南专用）2014版高中数学 5.2证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式课时提能训练 理 新人教A版
课时提能演练
1.若x≠3或y≠-1,M=x2+y2-6x+2y,N=-10,则M与N的大小关系是________.
2.当a＞0且a≠1时,loga(1+)与loga(1+a)的大小关系为_______.
3.已知f(x)=lgx,其中x1＞0,x2＞0,x1≠x2,则f()与［f(x1)+f(x2)］中较大的一个是_______.
4.已知|a+b|＜-c(a、b、c∈R)，给出下列不等式：
①a＜-b-c;②a＞-b+c;③a＜b-c;④|a|＜|b|-c;⑤|a|＜-|b|-c.
其中一定成立的不等式是________(注：把成立的不等式序号都填上)
5.设两个不相等的正数a、b满足a3-b3=a2-b2,则a+b的取值范围是_______.
6.(2012·益阳模拟)已知0＜x＜1，a=,b=1+x,c=,则a、b、c的大小关系为_________.
7.设a=,则a、b、c的大小关系是________.
8.设an=，则对任意正整数m,n(m＞n),则|an-am|与的大小关系为_________.
9.若f(n)=-n,g(n)=n-,φ(n)=,则f(n),g(n),φ(n)的大小顺序为____________.
10.设m＞n，n∈N+，a=(lgx)m+(lgx)-m，b=(lgx)n+(lgx)-n，x＞1，则a与b的大小关系为_________.
11.已知a,b,c是△ABC的三边，且，则∠C的取值范围是_________.
12.设0＜m＜n＜a＜b，函数y=f(x)在R上是减函数，下列四个函数值f(),
f(),f(),f()的大小顺序依次是_________.
13.若a＞b＞c＞0,l1=,l2=，l3=，则l1l2,l2l3,
l22,l32中最小的一个是_____________.
14.用数学归纳法证明+cosα+cos3α+…+cos(2n-1)α= (α≠kπ,k∈Z,n∈N+),在验证n=1时,左边计算所得的项是_________.
15.用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)(n∈N+)成立时，从k到k+1左边需增乘的代数式是_________.
16.若m＜n，p＜q，且(p-m)(p-n)＜0，(q-m)(q-n)＜0，则m,n,p,q的大小顺序是_________.
17.(2012·郴州模拟)锐角三角形ABC中，内角A＜B，则下列结论中正确的有
_______________.
①sinA+sinB＜A+B
②A+sinB＜B+sinA
③A·sinA＜B·sinB
④B·sinA＜A·sinB
18.若T1=,，则当s,m,n均为正数时，T1与T2的大小关系是_____.
19.若f(x)=，且记A=4loga(x-1),B=4+［loga(x-1)］2，若a＞1，则与1的大小关系是___________.
20.若M={x|x满足}，且t∈M,则t3________2t2-t+2(填“＞”或“＜”).
21.已知a,b,c均为正数，则与的大小关系是_________.
22.记S=，则S与1的大小关系是_________.
23.设偶函数f(x)=loga|x+b|在(0,+∞)上单调递减,则f(b-2)与f(a+1)的大小关系是__________.
24.若a＜0,b＜-1,则a,的大小关系是___________.
25.A=与(n∈N+)的大小关系是________.
26.若x,y∈R，则sinx+siny与1+sinxsiny的大小关系为________.
27.已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是___________.
28.设a＞b＞0,m=,n=,则m与n的大小关系是_________.
29.已知a>0,b>0,若P是a,b的等差中项，Q是a,b的正的等比中项，是的等差中项，则P、Q、R按从大到小的排列顺序为__________.
30.若x+y+z=1,且x,y,z∈R,则x2+y2+z2与的大小关系为________.

答案解析
1.【解析】M-N=x2+y2-6x+2y+10=(x-3)2+(y+1)2
又∵x≠3或y≠-1,
∴M-N=(x-3)2+(y+1)2＞0,即M＞N.
答案:M＞N
2.【解题指南】因为loga(1+)与loga(1+a)的底数相同,故可考虑利用作差法比较大小.
【解析】∵loga(1+a)-loga(1+)=loga=logaa=1＞0,
∴loga(1+a)＞loga(1+).
答案:loga(1+a)＞loga(1+)
3.【解析】∵f()=lg≥lg=(lgx1+lgx2)=
∴f()≥
当x1=x2时等号成立,
∵x1≠x2,∴f()＞.
答案:f()
4.【解析】∵|a+b|＜-c，∴c＜a+b＜-c.
∴a＜-b-c，a＞-b+c，①②成立.
又|a|-|b|＜|a+b|＜-c，∴|a|＜|b|-c,④成立.
当a=3，b=-3，c=-1时，虽|a+b|=0＜-c，
但3>-3+1,|3|>-|-3|+1，故③⑤不成立.
答案：①②④
5.【解析】∵a3-b3=a2-b2(a≠b),
∴a2+ab+b2=a+b,∴(a+b)2-ab=a+b,
∴ab=(a+b)2-(a+b),又∵0＜ab＜()2,
∴0＜(a+b)2-(a+b)＜()2,
解得1＜a+b＜.
答案：(1，)
6.【解析】由于0＜x＜1，那么a,b,c均为正数，由a2-b2=(2)2-(1+x)2=-(1-x)2＜0，知a＜b；因为=1-x2＜1，所以b＜c，所以a＜b＜c.
答案:a＜b＜c
7.【解析】分子有理化得a=,b=,c=,∴a＞b＞c.
答案:a＞b＞c
8.【解题指南】利用|a+b|≤|a|+|b|及|sinx|≤1解决.
【解析】|an-am|=||
≤
＜
=
答案:|an-am|＜
9.【解题指南】将f(n)与g(n)转化为分数后再比较大小.
【解析】∵f(n)=
g(n)=n-
又∵+n＜2n＜+n
∴f(n)＜φ(n)＜g(n).
答案:f(n)＜φ(n)＜g(n)
10.【解析】a-b=(lgx)m+(lgx)-m-(lgx)n-(lgx)-n
=［(lgx)m-(lgx)n］-［］
=［(lgx)m-(lgx)n］-
=［(lgx)m-(lgx)n］［1-］
=［(lgx)m-(lgx)n］［1-］.
∵x＞1，∴lgx＞0.
当0＜lgx＜1时，a＞b;当lgx=1时，a=b;
当lgx＞1时，a＞b.综上,a≥b.
答案：a≥b
11.【解题指南】利用三角形的三边关系及余弦定理求解.
【解析】∵(a+b)()≥4,∴,
又＜,∴＜，即c＜,
∴由余弦定理知:cosC=＞(a2+b2-)=(3a2-2ab+3b2)＞0.
∴0＜∠C＜.
答案:(0,)
12.【解析】∵,根据函数的单调性,知f()＞f()＞f()＞f().
答案:f()＞f()＞f()＞f()
13.【解题指南】因该题求最小值，故可利用特殊值法求解.
【解析】利用特殊值法比较,令a=3,b=2,c=1，
则l1=,l2=,l3=.
∴l1l2=,l2l3=,l22=,l32=.
∴l22最小.
答案:l22
14.【解析】当n=1时
左边最后一项为cos(2×1-1)α=cosα，
即左边所得项是+cosα.
答案:+cosα
15.【解析】根据题意可以先写出n=k时左边=(k+1)(k+2)…(k+k)，再将左边的式子中的n用k+1来代入，得出n=k+1时,左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)
(k+k+2)，然后比较两式，得出等式左边从k到k+1需增乘=2(2k+1).在写n=k+1时的左边的式子时，要注意左边式子的结构，它是k+1个式子的乘积且后一个因式比前一个因式增加1，要避免重复和遗漏.
答案:2(2k+1)
16.【解析】由(p-m)(p-n)＜0，(q-m)(q-n)＜0可知,
p-m和p-n异号,q-m与q-n异号,
又∵m＜n，p＜q，
∴p和q在m与n之间，∴m＜p＜q＜n.
答案:m＜p＜q＜n
17.【解析】∵sinA＜A，sinB＜B，
∴sinB+sinA＜B+A,故①正确；
由正弦函数的图象知＜1，因而A+sinB＜B+sinA，故②正确,
∵锐角三角形中,A＜B,∴0＜sinA＜sinB,则A·sinA＜B·sinB,故③正确;
当A=，B=时，B·sinA＞A·sinB，从而④不正确.
答案:①②③
18.【解析】∵
=≤0，
∴T1≤T2.
答案:T1≤T2
19.【解析】∵f(x)=的定义域为{x|x＞3}，又a＞1，
∴A＞0,B＞0.
又B-A=［loga(x-1)-2］2≥0,
∴B≥A,即≤1.
答案: ≤1
20.【解析】此题的关键在于化简集合M，
由lg(x-1)知x＞1,∴x2|x|-8＞0,
即x3＞8，∴x＞2,∴M={x|x＞2}
又∵t∈M,∴t＞2.
∴t3-(2t2-t+2)=(t-2)(t2+1)＞0,
即t3＞2t2-t+2.
答案:＞
21.【解析】∵,

∴.
答案:
22.【解析】用放缩法,∵.
∴S=
＜=1.
答案:S＜1
23.【解析】∵函数f(x)为偶函数，∴b=0，即f(x)=loga|x|.
又∵函数f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数,
∴0＜a＜1,f(b-2)=loga2,f(a+1)=loga(a+1),
而a+1＜2.
∴f(b-2)＜f(a+1).
答案:f(b-2)＜f(a+1)
24.【解题指南】可先比较1,的大小,然后再比较a,的大小.
【解析】∵b＜-1,∴＜1.
又a＜0,∴＞a.
答案:a＜
25.【解析】A=1+
≥.
答案:A≥
26.【解析】∵sinx+siny-(1+sinxsiny)
=sinx+siny-1-sinxsiny
=sinx(1-siny)-(1-siny)
=(1-siny)(sinx-1)
∵-1≤sinx≤1,-1≤siny≤1,
∴1-siny≥0,sinx-1≤0,
∴(1-siny)(sinx-1)≤0
即sinx+siny≤1+sinxsiny.
答案:sinx+siny≤1+sinxsiny
27.【解析】c-b=(a-2)2≥0,∴c≥b.
又∵b+c=6-4a+3a2
c-b=4-4a+a2
∴(b+c)-(c-b)=2+2a2b=a2+1.
∴b-a=a2-a+1=＞0,
∴b＞a,∴c≥b＞a.
答案:c≥b＞a
28.【解题指南】可转化为比较m2与n2的大小,由m,n＞0得m与n的大小关系.
【解析】∵m2-n2=()2-()2
=a-+b-a+b
=2b-=＜0.
∴m2＜n2,∵m,n＞0，∴m＜n.
答案:m＜n
29.【解析】由已知P=,Q=,
,即R=，
显然P≥Q,
又≤,
∴Q≥R,∴P≥Q≥R.
答案：P≥Q≥R
30.【解析】x2+y2+z2-=(3x2+3y2+3z2-1)
=［3x2+3y2+3z2-(x+y+z)2］
=［(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2］≥0
即x2+y2+z2≥.
答案:x2+y2+z2≥

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