第23课时---直角三角形与勾股定理.doc

第23课时 直角三角形与勾股定理解题方法示屏 类型题展示类型一 勾股定理及逆定理例1. （2011肇庆）在直角三角形ABC中，C 90，BC 12，AC 9，则AB 方法点拨：本题考查了勾股定理的运用。由C 90得变式题一（2道）ABCE例2：（2011山东枣庄，21，8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）画线段ADBC且使AD =BC，连接CD；（2）线段AC的长为 ，CD的长为 ，AD的长为 ；（3）ACD为 三角形，四边形ABCD的面积为 ；（4）若E为BC中点，则tanCAE的值是 方法点拨：本题考查了基本作图、勾股定理及逆定理。（1）利用基本作图作出图形；（2）用勾股定理在方格中求出相关线段长度；（3）利用勾股定理的逆定理判定，再求此直角三角形面积；（4）在图形中找出与CAE相等的角，再利用锐角三角函数求出.B例3： 某小区有一块草坪如图所示，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是多少？方法点拨：本题考查了勾股定理及逆定理.连接AC，用勾股定理及逆定理可解.类型二 直角三角形的判定ABCDE例4.（2011四川内江，18，9分）如图，在RtABC中，BAC=90，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC试猜想的形状，并证明你的猜想 方法点拨：本题考查了直角三角形、全等三角形的性质和判定。由题意可猜想EBC 是等腰直角三角形.分析发现：证EBC 是等腰直角三角形其实质是证BEEC，BEC=90.而证BEC=90其实质是只要证AEB=DEC.两项均指向同一目标，即证AEBDEC即可。判定直角三角形的思路：一是证有一个角是直角，它可以通过垂直的定义或角相等（全等）来证，二是利用勾股定理的逆定理来证。ABCMDE变式题二例5：已知，如图，ABC中，B90，AB=BC,BD=CE,M是AC边的中点.求证：DEM 是等腰直角三角形.方法点拨：本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的性质和判定。分析观察图形，本题可通过三角形全等来证，因而要构造两个全等的三角形。由M是AC边的中点知：连接BM即可。 易错题探究直角三角形性质的应用AEBCDP例6. 已知，如图，在ABC中，A=90，AD是BC边上的高，BE是角平分线，且交AD于P. （1）求证：AE=AP; (2)如果C=30，AE1，求AC的长。 错解：(1)BAC=90,ABC=60BE平分ABC ABE =CBE= 30 AEB=60 AD是高 ADB=90 DPB=60DPB=APE= AEP= 60 AE=AP(2)由(1)得C=CBE =30 EB=EC AE=1 BE=2 易错分析：本题考查几种特殊直角三角形的性质。解题时易错点：一是在非直角三角形中使用直角三角形的性质；二是把非特殊直角三角形看作特殊直角三角形来用；三是直角三角形的性质识记错误。本题（1）中就是把ABC当作是30的特殊三角形来证题。备考满分挑战双础训练1. （2010钦州）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC6 cm、BC8 cm，现将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）（A）4 cm （B）5 cm （C）6 cm （D）10 cm2. 3.（2011贵州贵阳，7，3分）如图，ABC中，C=90，AC=3，B=30，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ） （A）3.5 （B）4.2 （C）5.8 （D）74. 如图，直角三角板ABC的斜边AB=12，A=30，将三角板ABC绕C顺时针旋转90至三角板的位置后，再沿CB方向向左平移，使点落在原三角板ABC的斜边AB上，则三角板平移的距离为（ ） A. 6 B. 4 C. D.BCDA5.(2011台湾全区改编）如图，ABBC、ABAD,垂足为B、A,若AB=160,BC=80,CD=340.那么AD（ ）A 100 B 180 C 220 D 2606. （2011四川凉山州，15，4分）把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么”的逆命题改写成“如果，那么”的形式： 。7.（2011德州）下列命题中，其逆命题成立的是_（只填写序号）同旁内角互补，两直线平行；如果两个角是直角，那么它们相等；如果两个实数相等，那么它们的平方相等；如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形ACEDBF30458. （2011山东枣庄，15，4分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=14cm，则阴影部分的面积是_cm2. 9.(2011重庆綦江，16，4分) 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角A30,B90,BC6米. 当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE 米时,有DCAEBC.10. （2011四川广安，28，10分）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造测得两直角边长为6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m的边为直角边的直角三角形求扩建后的等腰三角形花圃的周长11. （2011四川绵阳）王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.已知第一条边长为米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.(1)请用表示第三条边长；(2)问第一条边长可以为7米吗？为什么?请说明理由，并求出的取值范围；(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法;若不能，请说明理由.BAEDFC12. （2011湖北鄂州，18，7分）如图，在等腰三角形ABC中，ABC=90，D为AC边上中点，过D点作DEDF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长能力提升题量要求：选择题3道，填空题3道，解答题2道ODAEFCB13.（2011山东烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（ ）A2m B.3m C.6m D.9m14. （2011苏州）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点。若EF2，BC5，CD3，则tan C等于 A B C D15. （2011湖北黄石，7，3分）将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图(3)，则三角板的最大边的长为（ ）A. 3cm B. 6cm C. 3cm D. 6cmACBEFD16. （2011江苏无锡，16，2分）如图，在RtABC中，ACB = 90，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD = 5cm，则EF = _cm17. （2011淮安18）如图，在RtABC中，ABC=90，ACB=30，将ABC绕点A按逆时针方向旋转15后得到AB1C1，B1C1交AC于点D，如果AD=2，则ABC的周长等于 18. （2011温州）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1,S2，S3若S1+S2+S310，则S2的值是 19. （2011广西玉林25改编）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H（1）求证：HGB是直角三角形.（2）若AB=2，AG=，求EB的长20. （2011长沙模拟） 如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A和李庄B送水，已知张村A、李庄B到河边的距离分别为2km和7km，且张、李二村庄相距13km (1).水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵站的位置；(2)如果铺设水管的工程费用为每千米1500元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？第23课时 直角三角形与勾股定理参考答案解题方法示屏例1：【答案】15ABCED例2.【解答】解：（1）如图； （2），5； （3）直角，10； （4）例3.【解答】解：连接AC. ABBC ABC=90 CD=12 DA=13 AC2+CD252+122169132DA2 ACD是直角三角形，ACD=90 四边形ABCD的面积例4.【解答】解：EBC 是等腰直角三角形AC=2AB，点D是AC的中点AB=AD=CDEAD=EDA=45EAB=EDC=135EA=EDEABEDCAEB=DEC，EB=ECBEC=AEB+BED=AED=90EBC 是等腰直角三角形.例5. 【解答】证：连接BM. M是AC边的中点，B90,AB=BC MB=MC MBAC MBD=C=45 在DMB和EMC中 DMBEMC DM=EM DMB=EMC BME+EMC=90 BME+BMD=90即DME90 DEM 是等腰三角形例6. 正解：（1）BAC= ADB= 90 ABE+ AEB= 90 PBD+BPD= 90 BE平分ABC ABE =CBE即ABE =PBD APE= AEP AE=AP(2) C=30 AE=1ABE =CBE= 30 BE=2 EB=EC AC=AE+EC=3备考满分挑战1. 【答案】B 【解析】本题考查了勾股定理和图形变换的性质。解题思路：解RtABC得AB=10cm，由图形变换性质得BE=AE=5cm.2. 【答案】 D【解析】本题考查了勾股定理和圆锥侧面面积求法.解题思路：由勾股定理得BC=5，再由圆锥侧面面积求法可直接得出结果。3.【答案】D 【解析】本题考查了直角三角形的边角关系。解题思路：由C=90，AC=3，B=30得AB=6.又点P是BC边上，所以3AP6.故选D.4.【答案】A 【解析】本题考查了特殊直角三角形的性质，要熟练掌握好直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半. 解题思路：在直角ABC中，AB=12，A=30，则，；若设平移后落在原三角板ABC的斜边AB上的点为M，则AM中，A=30，所以.EBCDA5.【答案】【解析】本题考查了直角三角形的边角关系和勾股定理.解题思路：如图，作CEDA，交DA的延长线于E，由题意知DAB=B=E=90,EC=BA=160,DC=340,所以DE=300, AD220.故选D.6.【答案】如果三角形三边长a，b，c，满足，那么这个三角形是直角三角形. 【解析】本题考查了对勾股定理的逆定理的理解和识记。解题思路：先弄清命题的题设和结论，再写出其逆命题即可。注意写逆命题时a，b，c不能表示直角边和斜边，而是任意三角形的边。7.【答案】 【解析】本题考查了命题、逆命题的真假性. 解题思路：逆命题两直线平行，同旁内角互补，真命题；如果两个角相等，那么它们是直角，假命题；如果两个实数的平方相等，那么它们相等，假命题；如果一个直角三角形的三边长是 a，b，c，那么，真命题8.【答案】 【解析】本题考查了特殊直角三角形的性质，要熟练掌握好两个特殊三角形的性质. 解题思路：在直角ABC中，AB=14，B=30，则由题意可知ACF为等腰直角三角形，所以.9. 【答案】： 【解析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理和数形结合思想。 解题思路：在ABC中，BC=6，B90，A=30，则，若设米，则米，由勾股定理可得：.所以有：，解得.故当时，有DCAEBC.10. 【思路分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形和分类思想.由题意知：此等腰三角形有三种情形如下图,再根据图形求出等腰ABD的周长.ABCDABCDABCD （1）AB=AD (2)BD=AB (3)BD=AD解：在RtABC中，AC=8m，BC=6m，AB=10m，（1）当AB=AD时，CD=6m，ABD的周长为32m；（2）当AB=BD时，CD=4m， ABD的周长是（20+）m；（3）当DA=DB时，设AD=x，则CD=x-6，则，ABD的周长是m，11.【思路分析】本题考查了直角三角形的边的关系和勾股定理。（1）根据题意用的代数式表示三角形的三边；（2）用三角形三边关系可以确定；（3）用勾股定理验证。【解答】解：(1)根据题意得：第一条边为,则第二条边为2+2,第三条边为30-（2+2）=28-3(2)不可以是7，当7时，2+216，28-37，即这个三角形的三边是7、16、7.而7+716，不满足三边之间的关系，所以不可以构成三角形。(3)能.其理由是：根据题意得：解得：又是整数，5、6当5时，2+212，28-313，此时,可以围成一个满足条件的直角三角形.当6时，2+214，28-310，此时,不可以围成一个满足条件的直角三角形.12. 12.【解题思路】此题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半、三角形全等的判定和性质和勾股定理。只要抓住等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定，解决起来并不困难。要求EF，先要求出BE、BF.所以连结BD，证BEDCFD和AEDBFD，得BF=4，BE=3，再运用勾股定理求得EF=5【解答】连结BD，ABC=90，D为AC边上中点 AD=CD=BD，ADB=90，ABD=CDB=A=C=45DEDF EDB+BDF=90BDF+FDC=90 EDB=FDC在BED和CFD中 BEDCFD同理上AEDBFD BE=CF=3 BF=AE=4 13.【答案】C 【解析】本题考查了勾股定理和直角三角形的性质。解题思路：由勾股定理得AB=10m，再由直角三角形性质得:O是内心且OD=OE=OF。所以有：,解得OD2m，所以O到三条支路的管道总长是6m.14.【答案】B 【解析】本题考查了三角形中位线定理, 勾股定理, 锐角三角函数定义。解题思路：连接BD, 在中,E、F分别是AB、AD的中点, 且EF2,BD=4.在中,BD=4, BC5，CD3, 满足是直角三角形.所以。15.【答案】D 【解析】本题考查了特殊直角三角形的性质。解题思路：由“直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半”可求得等腰直角三角板的直角边长是6cm.又由等腰直角三角形的性质可得斜边（最大的边）是6cm.16.【答案】5 【解析】本题考查了直角三角形的性质、中位线的性质。解题思路：由ACB = 90，D分别是AB的中点得：AD=DB=CD=5cm.又E、F分别是BC、CA的中点，所以.17. 【答案】 【解析】本题主要考查旋转和直角三角形的性质，既要弄清等腰梯形、直角梯形的判定，又要掌握有关旋转的知识，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，也是解决问题的关键解题思路：根据已知可以得出BAC=60，而将ABC绕点A按逆时针方向旋转15，可知B1AD=45，可以求出AB1=，而AB与AB1是相等的，故可求AB，那么BC和AC可求，则ABC的周长可求18. 【答案】 【解析】本题考查了勾股定理。解题思路：设直角三角形的面积为S，根据题意得：S3=S2+4S,S2=4S+S3，又S1+S2+S310，则12S+3S3=10所以S2=4S+S3=.19.【思路分析】本题以正方形为背景考查了直角三角形的判定、勾股定理。（1）用三角形全等来证明角相等，从而证一个角是直角.（2）利用勾股定理来求线段长。【解答】（1）证明：连接BD.GAD=90+EAD EAB=90+EAD GAD=EAB在GAD和EAB中又AG=AE，AB=AD GADEAB ADG=ABEDHB=180-（HDB+HBD）=180-90=90HGB是直角三角形.（2）设BD与AC交于点O，AB=AD=2在RtABD中，DB= ，EB=GD= 20. 【思路分析】：利用基本作图作三角形；勾股定理及其逆定理的运用；（1）利用轴对称和基本作图可得。（2）运用勾股定理及逆定理。【解答】解：（1）如图所示，点P既为所求（2）过B点作BCEA交EA的延长线于C点 BF=7, AC=CE-AE=7-2=5 在RtABC中BC= 在RtABC中BC=铺设水管的最低费用为：151500=22500元答：铺设水管的最低费用为22500元