第23课时---直角三角形与勾股定理.doc

第23课时 直角三角形与勾股定理
解题方法示屏
★ 类型题展示
类型一 勾股定理及逆定理
例1. （2011·肇庆）在直角三角形ABC中，∠C ＝ 90°，BC ＝ 12，AC ＝ 9，
则AB＝ ．
方法点拨：本题考查了勾股定理的运用。由∠C ＝ 90°得
变式题一（2道）
A
B
C
E
例2：（2011山东枣庄，21，8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）画线段AD∥BC且使AD =BC，连接CD；
（2）线段AC的长为 ，CD的长为 ，
AD的长为 ；
（3）△ACD为 三角形，四边形ABCD的面积为 ；
（4）若E为BC中点，则tan∠CAE的值是 ．
方法点拨：本题考查了基本作图、勾股定理及逆定理。（1）利用基本作图作出图形；
（2）用勾股定理在方格中求出相关线段长度；（3）利用勾股定理的逆定理判定，再求此直角三角形面积；（4）在图形中找出与∠CAE相等的角，再利用锐角三角函数求出.

Ａ
Ｄ
Ｃ
B

例3： 某小区有一块草坪如图所示，已知米，米，米，米，且，
这块草坪的面积是多少？
方法点拨：本题考查了勾股定理及逆定理.连接AC，用勾股定理及逆定理可解.

类型二 直角三角形的判定
A
B
C
D
E
例4.（2011四川内江，18，9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，
点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角
三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别
与A、D重合，连结BE、EC．试猜想的形状，并证明你的猜想．
方法点拨：本题考查了直角三角形、全等三角形的性质和判定。由题意可猜想△EBC 是等腰直角三角形.分析发现：证△EBC 是等腰直角三角形其实质是证BE＝EC，∠BEC=90°.而证∠BEC=90°其实质是只要证∠AEB=∠DEC.两项均指向同一目标，即证△AEB≌△DEC即可。判定直角三角形的思路：一是证有一个角是直角，它可以通过垂直的定义或角相等（全等）来证，二是利用勾股定理的逆定理来证。

A
B
C
M
D
E
变式题二
例5：已知，如图，△ABC中，∠B＝90°，
AB=BC,BD=CE,M是AC边的中点.
求证：△DEM 是等腰直角三角形.
方法点拨：本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的性质和判定。分析观察图形，本题可通过三角形全等来证，因而要构造两个全等的三角形。由M是AC边的中点知：连接BM即可。

★易错题探究
◆直角三角形性质的应用
A
E
B
C
D
P
例6. 已知，如图，在△ABC中，∠A=90°，AD是BC边上的高，BE是角平分线，且交AD于P.
（1）求证：AE=AP;
(2)如果∠C=30°，AE＝1，求AC的长。
错解：(1)∵∠BAC=90°,∴∠ABC=60°
∵BE平分∠ABC ∴∠ABE =∠CBE= 30°
∴∠AEB=60° ∵AD是高 ∴∠ADB=90° ∠DPB=60°
∴∠DPB=∠APE= ∠AEP= 60° ∴AE=AP
(2)由(1)得∠C=∠CBE =30° ∴EB=EC ∵AE=1 ∴BE=2
易错分析：本题考查几种特殊直角三角形的性质。解题时易错点：一是在非直角三角形中使用直角三角形的性质；二是把非特殊直角三角形看作特殊直角三角形来用；三是直角三角形的性质识记错误。本题（1）中就是把△ABC当作是30°的特殊三角形来证题。
备考满分挑战
★双础训练
1.
（2010·钦州）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边
AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）
（A）4 cm （B）5 cm （C）6 cm （D）10 cm

2.
3.（2011贵州贵阳，7，3分）如图，△ABC中，∠C=90°，
AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可
能是（ ）
（A）3.5 （B）4.2 （C）5.8 （D）7
4. 如图，直角三角板ABC的斜边AB=12㎝，∠A=30°，将三角板ABC绕C顺时针旋转90°至三角板的位置后，再沿CB方向向左平移，使点落在原三角板ABC的斜边AB上，则三角板平移的距离为（ ）
A. 6㎝ B. 4㎝ C. D.

B
C
D
A
5.(2011·台湾全区改编）如图，AB⊥BC、AB⊥AD,垂足为
B、A,若AB=160,BC=80,CD=340.那么AD＝（ ）
A． 100 B． 180 C． 220 D． 260

6. （2011四川凉山州，15，4分）把命题“如果直角三角形的两直角边长分别
为a、b，斜边长为c，那么”的逆命题改写成“如果……，那么……”
的形式： 。

7.（2011·德州）下列命题中，其逆命题成立的是______．（只填写序号）
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形．

A
C
E
D
B
F
30°
45°

8. （2011山东枣庄，15，4分）将一副三角尺如图所示叠放
在一起，若=14cm，则阴影部分的面积是________cm2.

9.(2011重庆綦江，16，4分) 一个正方体物体沿斜坡向下滑
动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角
∠A＝30°,∠B＝90°,BC＝6米. 当正方形DEFH运动到什么
位置,即当AE＝ 米时,有DC＝AE＋BC.

10. （2011四川广安，28，10分）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改
造．测得两直角边长为6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以
8m的边为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．

11. （2011四川绵阳）王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.已知第一条边长为米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.
(1)请用表示第三条边长；
(2)问第一条边长可以为7米吗？为什么?请说明理由，并求出的取值范围；
(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法;若不能，请说明理由.

B
A
E
D
F
C

12 （2011湖北鄂州，18，7分）如图，在等腰三角
形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D
点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，
FC=3，求EF长．

★能力提升
题量要求：选择题3道，填空题3道，解答题2道
O
D
A
E
F
C
B
13.（2011山东烟台）如图是油路管道的一部分，
延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角
边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距
离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计
算时视管道为线，中心O为点）是（ ）
A2m B.3m C.6m D.9m

14. （2011·苏州）．如图，在四边形ABCD中，
E、F分别是AB、AD的中点。若EF＝2，BC＝5，
CD＝3，则tan C等于
A． B． C． D．

15. （2011湖北黄石，7，3分）将一个有45度角的三角
板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个
顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的
一边所在的直线成30度角，如图(3)，则三角板的最大
边的长为（ ）
A. 3cm B. 6cm C. 3cm D. 6cm

A
C

B
E
F
D
16. （2011江苏无锡，16，2分）如图，在Rt△ABC
中，∠ACB = 90°，D、E、F分别是AB、BC、CA
的中点，若CD = 5cm，则EF = _________cm．

17. （2011•淮安•18）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后得到△AB1C1，B1C1交AC于点D，如果AD=2，则△ABC的周长等于　 ．

18. （2011·温州）我国汉代数学家赵爽为
了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后
人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦
图变化得到，它是用八个全等的直角三角形
拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、
正方形MNKT的面积分别为S1,S2，S3．若
S1+S2+S3＝10，则S2的值是 ．
19. （2011·广西玉林·25改编）如图，点G是
正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，
以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和
GD相交于点H．
（1）求证：△HGB是直角三角形.
（2）若AB=2，AG=，求EB的长．

20. （2011·长沙模拟） 如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A和李庄B送水，已知张村A、李庄B到河边的距离分别为2km和7km，且张、李二村庄相距13km．
(1).水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵站的位置；
 (2)如果铺设水管的工程费用为每千米1500元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？

第23课时 直角三角形与勾股定理参考答案
解题方法示屏
例1：【答案】15
A
B
C
E
D
例2.【解答】解：（1）如图；
（2），，5；
（3）直角，10；
（4）．
例3.【解答】解：连接AC.
∵ AB⊥BC ∴ ∠ABC=90°
∴
∵ CD=12 DA=13
∴ AC2+CD2＝52+122＝169＝132＝DA2
∴ △ACD是直角三角形，∠ACD=90°
∴ 四边形ABCD的面积
例4.【解答】解：△EBC 是等腰直角三角形
∵AC=2AB，点D是AC的中点
∴AB=AD=CD
∵∠EAD=∠EDA=45°
∴∠EAB=∠EDC=135°
∵EA=ED
∴△EAB≌△EDC
∴∠AEB=∠DEC，EB=EC
∴∠BEC=∠AEB+∠BED=∠AED=90°
∴△EBC 是等腰直角三角形.
例5. 【解答】证：连接BM.
∵ M是AC边的中点，∠B＝90°,AB=BC
∴ MB=MC MB⊥AC ∠MBD=∠C=45°
在△DMB和△EMC中
∴△DMB≌△EMC
∴ DM=EM ∠DMB=∠EMC
∵ ∠BME+∠EMC=90°
∴ ∠BME+∠BMD=90°即∠DME＝90°
∴ △DEM 是等腰三角形
例6. 正解：（1）∵∠BAC= ∠ADB= 90°
∴∠ABE+ ∠AEB= 90° ∠PBD+∠BPD= 90°
∵BE平分∠ABC ∴∠ABE =∠CBE即∠ABE =∠PBD
∴∠APE= ∠AEP ∴AE=AP
(2) ∵∠C=30° AE=1∴∠ABE =∠CBE= 30° BE=2
∴ EB=EC ∴AC=AE+EC=3

备考满分挑战
1. 【答案】B 【解析】本题考查了勾股定理和图形变换的性质。解题思路：解Rt△ABC得AB=10cm，由图形变换性质得BE=AE=5cm.
2. 【答案】 D【解析】本题考查了勾股定理和圆锥侧面面积求法.
解题思路：由勾股定理得BC=5，再由圆锥侧面面积求法可直接得出结果。
3.【答案】D 【解析】本题考查了直角三角形的边角关系。
解题思路：由∠C=90°，AC=3，∠B=30°得AB=6.又点P是BC边上，
所以3≤AP≤6.故选D.
4.【答案】A 【解析】本题考查了特殊直角三角形的性质，要熟练掌握好直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半. 解题思路：在直角△ABC中，AB=12㎝，∠A=30°，则， ；若设平移后落在原三角板ABC的斜边AB上的点为M，则△AM中，∠A=30°，，所以.
E
B
C
D
A
5.【答案】Ｃ【解析】本题考查了直角三角形的边角关系和勾股定理.
解题思路：如图，作CE⊥DA，交DA的延长线于E，由题意知∠DAB=∠B=∠E=90°,EC=BA=160,DC=340,所以DE=300, AD＝220.故选D.
6.【答案】如果三角形三边长a，b，c，满足，那么这个三角形是直角三角形. 【解析】本题考查了对勾股定理的逆定理的理解和识记。解题思路：先弄清命题的题设和结论，再写出其逆命题即可。注意写逆命题时a，b，c不能表示直角边和斜边，而是任意三角形的边。
7.【答案】① ④【解析】本题考查了命题、逆命题的真假性. 解题思路：逆命题①两直线平行，同旁内角互补，真命题；②如果两个角相等，那么它们是直角，假命题；③如果两个实数的平方相等，那么它们相等，假命题；④如果一个直角三角形的三边长是 a，b，c，那么，真命题．
8.【答案】 【解析】本题考查了特殊直角三角形的性质，要熟练掌握好两个特殊三角形的性质. 解题思路：在直角△ABC中，AB=14㎝，∠B=30°，则由题意可知△ACF为等腰直角三角形，所以.
9. 【答案】： 【解析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理和数形结合思想。 解题思路：在△ABC中，BC=6㎝，∠B＝90°，∠A=30°，则，若设米，则米，由勾股定理可得：.所以有：，解得.
故当时，有DC＝AE＋BC.
10. 【思路分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形和分类思想.由题意知：此
等腰三角形有三种情形如下图,再根据图形求出等腰△ABD的周长.
A
B
C
D
A
B
C
D

A
B
C
D

（1）AB=AD (2)BD=AB (3)BD=AD
解：在Rt△ABC中，∵AC=8m，BC=6m，∴AB=10m，
（1）当AB=AD时，CD=6m，∴△ABD的周长为32m；
（2）当AB=BD时，CD=4m，
∴ △ABD的周长是（20+）m；
（3）当DA=DB时，设AD=x，则CD=x-6，
则，∴，
∴△ABD的周长是m，

11.【思路分析】本题考查了直角三角形的边的关系和勾股定理。（1）根据题意用的代数式表示三角形的三边；（2）用三角形三边关系可以确定；（3）用勾股定理验证。
【解答】解：(1)根据题意得：第一条边为,则第二条边为2+2,第三条边为30--（2+2）=28-3
(2)不可以是7，当＝7时，2+2＝16，28-3＝7，即这个三角形的
三边是7、16、7.而7+7＜16，不满足三边之间的关系，所以不可以构成三角形。
(3)能.其理由是：
根据题意得：
解得：
又是整数，∴＝5、6
当＝5时，2+2＝12，28-3＝13，此时,可以围成一个满足条件的直角三角形.
当＝6时，2+2＝14，28-3＝10，此时,不可以围成一个满足条件的直角三角形.

12. 12.【解题思路】此题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半、三角形全等的判定和性质和勾股定理。只要抓住等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定，解决起来并不困难。要求EF，先要求出BE、BF.所以连结BD，证△BED≌△CFD和△AED≌△BFD，得BF=4，BE=3，再运用勾股定理求得EF=5
【解答】连结BD，
∵∠ABC=90°，D为AC边上中点
∴AD=CD=BD，∠ADB=90°，∠ABD=∠CDB=∠A=∠C=45°
∵DE⊥DF ∴∠EDB+∠BDF=90°
∵∠BDF+∠FDC=90° ∴ ∠EDB=∠FDC
在△BED和△CFD中 ∴△BED≌△CFD
同理上△AED≌△BFD
∴ BE=CF=3 BF=AE=4
∴
13.【答案】C 【解析】本题考查了勾股定理和直角三角形的性质。解题思路：由勾股定理得AB=10m，再由直角三角形性质得:O是内心且OD=OE=OF。所以有：, 解得OD＝2m，所以O到三条支路的管道总长是6m.
14.【答案】B 【解析】本题考查了三角形中位线定理, 勾股定理, 锐角三角函数定义。解题思路：连接BD, 在中,E、F分别是AB、AD的中点, 且EF＝2,∴BD=4.在中,BD=4, BC＝5，CD＝3, 满足是直角三角形.所以。
15.【答案】D 【解析】本题考查了特殊直角三角形的性质。解题思路：由“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”可求得等腰直角三角板的直角边长是6cm.又由等腰直角三角形的性质可得斜边（最大的边）是6cm.
16.【答案】5 【解析】本题考查了直角三角形的性质、中位线的性质。
解题思路：由∠ACB = 90°，D分别是AB的中点得：AD=DB=CD=5cm.
又E、F分别是BC、CA的中点，所以.
17. 【答案】 【解析】本题主要考查旋转和直角三角形的性质，既要弄清等腰梯形、直角梯形的判定，又要掌握有关旋转的知识，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，也是解决问题的关键．解题思路：根据已知可以得出∠BAC=60°，而将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°，可知∠B1AD=45°，可以求出AB1=，而AB与AB1是相等的，故可求AB，那么BC和AC可求，则△ABC的周长可求．
18. 【答案】 【解析】本题考查了勾股定理。解题思路：设直角三角形的面积为S，根据题意得：S3=S2+4S,S2=4S+S3，又S1+S2+S3＝10，则12S+3S3=10
所以S2=4S+S3=.
19.【思路分析】本题以正方形为背景考查了直角三角形的判定、勾股定理。
（1）用三角形全等来证明角相等，从而证一个角是直角.（2）利用勾股定理来求线段长。
【解答】（1）证明：连接BD.
∵∠GAD=90°+∠EAD ∠EAB=90°+∠EAD
∴∠GAD=∠EAB
在△GAD和△EAB中
又∵AG=AE，AB=AD ∴△GAD≌△EAB ∴∠ADG=∠ABE
∠DHB=180°-（∠HDB+∠HBD）=180°-90°=90°
∴△HGB是直角三角形.
（2）设BD与AC交于点O，
∵AB=AD=2在Rt△ABD中，DB= ，
∴EB=GD= ．
20. 【思路分析】：利用基本作图作三角形；勾股定理及其逆定理的运用；
（1）利用轴对称和基本作图可得。（2）运用勾股定理及逆定理。
【解答】解：（1）如图所示，点P既为所求
（2）过B点作BC⊥EA交EA的延长线于C点
∵ BF=7,       AC=CE-AE=7-2=5
∴ 在Rt△ABC中
BC=
∴ 在Rt△ABC中
BC=
∴铺设水管的最低费用为：15×1500=22500元答：铺设水管的最低费用为22500元