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基于各向异性稀疏网格数值积分的统计矩估算方法

l 不确定性设计优化中的关键部分之一是不确定性传播
l 不确定性传播中的一项关键内容统计矩估算
l 但是，现有的众多统计矩估算方法基本都面临“维数灾难”难题，也就是计算量随着随机输入维数的增加呈指数增长，高维情况下计算量不可估量。
l 为了应对该问题，熊芬芬等提出了基于各向同性稀疏网格的统计矩估算方法。虽然该方法被证明在高维情况下是有效的，但是在解决实际问题时，变量维数成百上千，维数灾难问题依旧不定程度上存在。

以下我们称熊芬芬等提出的方法为已有方法，在该方法中，各维变量同等对待，被赋予相同的精度水平，因此也称为各项同性稀疏网格。事实上，在实际问题中各维变量具有不同的非线性程度或者对响应函数的贡献不同，也就是说各维变量的重要程度是不同的。对于现有方法，某些非重要的维数而言，积分点可能多余。因此，维数灾难依旧存在。
因此，有必要对各维变量却别对待。对于那些具有高非线性度或者于响应函数贡献较大的维数，应该赋予较大的精度水平，从而配置较多的积分点。所以，本研究内容的目的是：根据各维变量的重要性水平，区别对待各维变量，来减轻现有方法面临的维数灾难

那么为了区分各维变量不同的重要性，产生了各项异性的稀疏网格概念。它的主要思想是，根据每维变量的重要程度(如：非线性程度、对响应函数的贡献大小)，赋予不同的精度水平（也就是不同数目的积分点） 。因此，非重要维数而言多余的点，可以配置到重要维数上。故最终可以减轻“维数灾难”
关于各项异性稀疏网格的概念，已经应用到：分类问题；偏微分方程求解；数值积分
但是这些应用都是局限于确定性情况，我们坚信：各向异性稀疏网格能应用到现有各向同性稀疏网格方法中缓解“维数灾难”

因此，我们发展了新的统计矩估算方法——基于各向异性稀疏网格的统计矩估算方法。下面我将逐步给大家介绍提出的方法：
第一，。。。。
第二．。。

最后，以第三步中得到的d维积分节点和权值为基础，得到前四阶统计矩（均值、标准差、偏度和峰度）的解析表达式：

我们提出的方法的大致步骤与现有方法实际上是类似的，那么二者的却别在哪里呢？下面我们看看这张图，这张图给大家展示的是两种方法所需积分点分布的情况，左图是现有方法，右图是提出方法。很明显可以发现两点不同：第一，现有方法对各维分配相同的精度水平k，而提出方法允许不同维数具有不同精度水平；第二，将所有直接张量积所得点集合后，可以发现现有方法中各维上点个数相同，而提出方法将更多的点配置于重要维上，第二维。因此，现有方法更切合实际情况，这也是该方法的优势所在。

接下来，我们将用计算算例来验证所提方法的优势和有效性。所用到的三个算例展示在这张表中，所有变量假定都服从正态分布，很明显可以看出，这三个算例中，不同的维数具有不同的重要程度。第一和第二个算例中变量非线性程度不同，而第三个算例中变量对函数贡献不同，因此具有不同的重要性。

直接照着念就好！

所得结果展示在这张表中，丛中可以看出，
— 对于均值估算，两种方法的精度都很高。对此我们的解释是：均值估算是d维积分点上响应函数值和积分权值的线性函数，因此将较多点配置与重要维数上对改善其精度影响非常小。
— 已有方法: 积分点个数随着精度的提高迅速增长(11 to 66) 。可以看到方框中的数据，已有方法随着精度的提高，积分点个数从11增长到66
— 提出方法: 积分点个数随着精度的提高增长缓慢得多(14 to 18) 可以看到方框中的数据，提出方法随着精度的提高，积分点个数从14增长到18
— 提出方法精度与现有方法相当，但是所需积分点个数明显少于已有方法。从方框中的数据可以看到，提出方法的精度和现有方法相当，但是计算量明显要小。
因此，我们可以得出：提出方法显著减轻了“维数灾难”

为了更好地解释我们方法的优势，我们将两种方法所用的积分点绘制出来，可以很清楚看到：
l 提出方法: 第二维较其它维重要，赋予较大精度水平，因此 积分点个数多余其它维
l 已有方法: 由于只能同等对待每维变量，各维上具有相数目的积分点
提出的方法能将更多的点能够从非重要维转移到重要维上（高度非线性），因此可以减少计算量
其他两个算例所得结论和该算了一致，且时间有限，我们这里就不做展示，各位专家可以参阅我的博士论文。

结论：
Xxxxx