中考数学压轴题特训详解之龙射箭.doc

中考数学压轴题汇编

3、（福建龙岩）如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点坐标；不存在，请说明理由．
A
C
B
y
x
0
1
1

解：（1）抛物线的对称轴………2分
（2） …………5分
把点坐标代入中，解得………6分
…………………………………………7分
A

x
0
1
1
Ｑ

Ｎ
Ｍ
Ｋ
y

（3）存在符合条件的点共有3个．以下分三类情形探索．
设抛物线对称轴与轴交于，与交于．
过点作轴于，易得，，，
① 以为腰且顶角为角的有1个：．
8分
在中，
9分
②以为腰且顶角为角的有1个：．
在中， 10分
11分
③以为底，顶角为角的有1个，即．
画的垂直平分线交抛物线对称轴于，此时平分线必过等腰的顶点．
过点作垂直轴，垂足为，显然．
．
于是 13分
14分
注：第（3）小题中，只写出点的坐标，无任何说明者不得分．
4、（福州）如图12，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为．
（1）求的值；
（2）若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积；
图12

（3）过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第一象限），若由点为顶点组成的四边形面积为，求点的坐标．
解：(1)∵点A横坐标为4 , ∴当 = 4时， = 2 .
∴ 点A的坐标为（ 4，2 ）.
∵ 点A是直线 与双曲线 （k>0）的交点 ,
∴ k = 4 ×2 = 8 .
(2) 解法一：如图12-1，
∵ 点C在双曲线上，当 = 8时， = 1
∴ 点C的坐标为 ( 1, 8 ) .
过点A、C分别做轴、轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON .
S矩形ONDM= 32 ， S△ONC = 4 ， S△CDA = 9， S△OAM = 4 .
S△AOC= S矩形ONDM - S△ONC - S△CDA - S△OAM = 32 - 4 - 9 - 4 = 15 .
解法二：如图12-2，
过点 C、A分别做轴的垂线，垂足为E、F，
∵ 点C在双曲线上，当 = 8时， = 1 .
∴ 点C的坐标为 ( 1, 8 ).
∵ 点C、A都在双曲线上 ,
∴ S△COE = S△AOF = 4 。
∴ S△COE + S梯形CEFA = S△COA + S△AOF .
∴ S△COA = S梯形CEFA .
∵ S梯形CEFA = ×（2+8）×3 = 15 ,

∴ S△COA = 15 .

（3）∵ 反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形 ,
∴ OP=OQ，OA=OB .
∴ 四边形APBQ是平行四边形 .
∴ S△POA = S平行四边形APBQ = ×24 = 6 .
设点P的横坐标为（ > 0且）,
得P ( , ) .

过点P、A分别做轴的垂线，垂足为E、F，
∵ 点P、A在双曲线上，∴S△POE = S△AOF = 4 .
若0＜＜4，如图12-3，
∵ S△POE + S梯形PEFA = S△POA + S△AOF,
∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 .
∴ .
解得= 2，= - 8(舍去) .
∴ P（2，4）.
若 ＞ 4，如图12-4，
∵ S△AOF+ S梯形AFEP = S△AOP + S△POE,
∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 .
∴，
解得 = 8， = - 2 (舍去) .
∴ P（8，1）.
∴ 点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）.

5、（甘肃陇南）如图，抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，点P是它的
顶点，点A的横坐标是3，点B的横坐标是1．
(1)求、的值；
(2）求直线PC的解析式；
(3）请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线
PC的位置关系，并说明理由．(参考数：，，)
解： (1)由已知条件可知： 抛物线经过A(-3，0)、B(1，0)两点．
∴ ……………………………………2分
解得 ． ………………………3分
(2) ∵， ∴ P(-1，-2)，C． …………………4分
设直线PC的解析式是，则 解得．
∴ 直线PC的解析式是． …………………………6分
说明：只要求对，不写最后一步，不扣分．
(3) 如图，过点A作AE⊥PC，垂足为E．

设直线PC与轴交于点D，则点D的坐标为(3，0)． ………………………7分
在Rt△OCD中，∵ OC=，，
∴ ． …………8分
∵ OA=3，，∴AD=6． …………9分
∵ ∠COD=∠AED=90o，∠CDO公用，
∴ △COD∽△AED． ……………10分
∴ ， 即． ∴ ． …………………11分
∵ ，
∴ 以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC相离． …………12分
6、（贵阳）如图14，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形．
（1）求这个扇形的面积（结果保留）．（3分）
（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．（4分）
（3）当的半径为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．（5分）
解：（1）连接，由勾股定理求得：

①
②
③

1分
2分
（2）连接并延长，与弧和交于，
1分
弧的长： 2分

圆锥的底面直径为： 3分
，不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥． 4分
（3）由勾股定理求得：
弧的长： 1分

圆锥的底面直径为： 2分

且
3分
即无论半径为何值， 4分
不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．
7、（河南）如图，对称轴为直线x＝的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

B
A
C
D
P
O
Q
x
y
8、（湖北黄岗）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且∠AOC=60°，点B的坐标是，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，设秒后，直线PQ交OB于点D.
（1）求∠AOB的度数及线段OA的长；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（3）当时，求t的值及此时直线PQ的解析式；
（4）当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与相似？当a 为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与不相似？请给出你的结论，并加以证明.

9、（湖北荆门）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．
(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；
(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．
图1
图2

解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．
∴Rt△POE∽Rt△BPA．…………………………………………………………2分
∴．即．∴y=(0＜x＜4)．
且当x=2时，y有最大值．…………………………………………………4分
(2)由已知，△PAB、△POE均为等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．……6分
设过此三点的抛物线为y=ax2＋bx＋c，则∴
y=．…………………………………………………………8分
(3)由(2)知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件．……………………9分
直线PB为y=x－1，与y轴交于点(0，－1)．
将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)，
∴该直线为y=x＋1．……………………………………………………………10分
由得∴Q(5，6)．
故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件．……………………………12分

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