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数列中的裂项法求和举例
杨恒运
江苏省扬中高级中学 （212200）
数列中的求和问题是一个基本问题，应该根据通项公式的形式确定用什么方法求数列的前 n项和。裂项法求和的是数列求和中一种常用方法，应用非常广泛,下面就举例说明之。
1. 求通项公式
例1 已知数列｛｝满足：
是首项为1公比为的等比数列，求通项
由于很容易求出通项
2. 求等差数列前 n项和
例2 在数列中,若
学生在求和中，数列中的基本元素及求和公式都会搞错，若用裂项法就很容易求出其前n项和
略解:显然

3．求等比数列前n项和
对于等比数列前n项和的推导及记忆应用都是一个难点，若用裂项法的思想，就可以化繁为简
例3 在数列中,若

4．求通项是等差数列与等比数列对应项乘积的数列的前n项和
对这种数列的前n项和问题更是一个难点，求和的方法是错位相减法，即使学生记得此方法，但运算正确的也很少，若用裂项法，则运算很简捷。
例4 在数列中,若，求数列前n项和。

例5 在数列中,若 ， 求数列前n项和

由此很容易求出此数列的前n项和。
5．求有关二项式系数的和
例6 化简
若利用组合数性质，则有
原式=
6．求通项是分式形式的数列前n项和
例7 在数列中 ，若 设正项数列满足

求证：
证明：当时不等式显然成立。当时
两式相减得：

则 原式左边=

所以不等式成立。
7．通项是多项式形式的数列的求和
例8 求数列的前n项和

由上式不难得到
类比可求得的前n项和
8．求通项是三角形式的数列前n项和
例9 在数列｛｝中,求前n项和

裂项法在其它形式的数列求和中均有广泛应用，在此不一一举例。裂项法求和关键
在于拆项、消项。因而具有较强的技巧。在平时的解题训练中不应生搬硬套，过于追求
巧，而应灵活应用。