第十九讲 正态总体均值及方差的区间估计.doc

第十九讲 正态总体均值及方差的
区间估计
1. 单个正态总体方差的区间估计
设总体， 为来自的一个样本，已给定置信度（水平）为，求的置信区间。

①当已知时，由于，因此，（）。
由分布的定义知：
，
据分布上分位点的定义，有：

从而
故的置信度为的置信区间为：
②当未知时，据抽样分布有：

类似以上过程，得到

的置信度为的置信区间为：

的置信度为的置信区间为：

例２　有一大批袋装糖果, 现从中随机地取出16袋, 称得重量(以克计)如下:
506 508 499 503 504 510 497 512
514 505 493 496 506 502 509 496
设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,
求总体标准差的置信水平为0.95的置信区间.
解：总体均值未知，的置信度为的置信区间为：

此时， ，查表得 由给出的数据算得因此，的一个置信度为0.95的置信区间为（4.58，9.60）.

2. 两个正态总体均值差的区间估计
设总体，且与相互独立，来自的一个样本，为来自的一个样本，且设分别为总体与的样本均值与样本方差，对给定置信水平，求的一个置信区间。
（1）当已知时，由第六章定理1知，
，，
又与相互独立，所以
，
即；
所以可以得到的一个置信水平为的置信区间为：

（2）当，但未知时，由第六章定理4知：

其中，，从而可得：的一个置信水平为的置信区间为：

例２:　为比较Ⅰ，Ⅱ两种型号步枪子弹的枪口速度，随机地取Ⅰ型子弹10发，得到枪口平均速度为，标准差，取Ⅱ型子弹20发，得到枪口平均速度为，标准差，假设两总体都可认为近似地服从正态分布，且由生产过程可认为它们的方差相等，求两总体均值差的置信度为0.95的置信区间。
解：结合实际，可认为来自两个总体的样本相互独立。因两个总体的方差相等，却未知，所以的一个置信水平为的置信区间为：

其中，
此处， ,,查表得
，
又,
，
故所求置信区间为：
即
3. 两个正态总体方差比的区间估计
设总体，且与相互独立，来自的一个样本，为来自的一个样本，且设分别为总体与的样本均值与样本方差，对给定置信水平，求的一个置信区间。
据抽样分布知：由分布的上分位点的定义知，

即

于是得的一个置信水平为的置信区间为：

例３:　研究由机器A和机器B生产的钢管的内径, 随机地抽取机器A生产的管子18只, 测得样本方差抽取机器B生产的管子13只, 测得样本方差设两样本相互独立,且设两机器生产的管子的内径分别服从正态分布和, 这里均未知,求方差比的置信度为0.90的置信区间.
解：记机器A生产的钢管为总体X, 机器B生产的钢管为总体Y，由题意知，，且来自与的两个样本相互独立，因此，的一个置信水平为的置信区间为

此处，，查表求
能够得到数据，，采用线性插值方法有

得。
又由F函数的性质得
.
于是所求置信区间为

即
由于的置信区间包含1，在实际中我们认为两者没有显著差别。

第七章 参数估计
第5节 正态总体均值及方差的区间估计
单个正态总体均值的区间估计
①当已知时，的置信水平为的置信区间为：
（5.1）
②当未知时，的置信水平为的置信区间为
.（5.4）

注意：当分布不对称时，如分布和分布，习惯上仍然取其对称的分位点，来确定置信区间，但所得区间不是最短的。

在实际中常遇到下面的问题：已知产品的某一质量指标服从正态分布，但由于原料、设备条件、操作人员不同，或工艺过程的改变等因素，引起总体均值、总体方差有所改变，我们需要知道这些变化有多大，这就需要考虑两个正态总体均值差或方差比的估计问题。

在该题中所得置信区间的下限大于0，在实际中我们就认为比大（可信度为95%）；相反，若下限小于0，则认为与没有显著的差别。
（课间休息）
4. （0—1）分布参数的区间估计
问题：设有一容量的大样本，它来自（0—1）分布的总体X，X的分布律为
，
其中为未知参数。现在来求的置信水平为的置信区间。
易知（0—1）分布的均值和方差分别为

设大样本来自（0—1）分布的总体X，由中心极限定理知

于是有

从而得到的一个置信水平为的置信区间为，
其中，，。
例４:　从一大批产品中任取100件产品进行检验，发现其中有 60 件是一级品。试求这批产品的一级品率 p 的置信度为 95%的置信区间.
解：产品的一级品率p是(0—1)分布的参数，且样本的容量较大，因此，一级品率 p 的一个置信水平为0.95的置信区间为

其中，，。
此处，，，，由P61页查表得，于是，
，，
一级品率 p 的一个置信水平为0.95的置信区间为.

5. 单侧置信区间

正态总体均值与方差的单侧置信区间

例５:　设从一批灯泡中, 随机地取5只作寿命试验,测得寿命(以小时计)为 1050, 1100, 1120, 1250, 1280, 设灯泡寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均值的置信水平为 0.95 的单侧置信下限.
解：为

(独立同分布的中心极限定理)
（林德伯格—勒维定理）
设相互独立，服从同一分布, 且具有数学期望和方差： , 则
中心极限定理的另类描述：
均值为, 方差为的独立同分布的随机变量的算术平均值, 当充分大时近似地服从均值为,方差为的正态分布.

由于不等式等价于
，将不等式化简，

以为自变量的函数对应于一个开口朝上的抛物线。设该抛物线与坐标横轴轴的交点分别为（），则等价于。
以随机变量X表示某件产品是否是一级品（X=1表示产品是一级品，X=0表示产品不是一级品），则X服从（0—1）分布，分布律为
请大家思考如何从正态分布表中查的值.

在某些实际问题中, 例如, 对于设备、元件的寿命来说, 平均寿命长是我们希望的, 我们关心的是平均寿命的“下限”; 与之相反, 在考虑产品的废品率 p时, 我们常关心参数 p的“上限”, 这就引出了单侧置信区间的概念.