因式分解在实际生活中的应用.doc

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因式分解在实际生活中的应用
　　因式分解是把一个多项式写成几个整式乘积的形式，如果从运算角度上考虑，也就是把一个和在保持大小不变的条件下，写成一个乘积的形式，而有些运算积比和算起来要简单，因此因式分解在解决实际问题中有着重要应用．
　　一、提取公因式法的应用
　　例1某市为适应经济的快速发展，现需要将一条长3300m的道路重新拓宽，预计3个月完成，已知第一个月完成34%，第二月完成36%，问这两个月共完成多少米的拓宽任务？
　　分析：总共有 3300m的道路，第一个月完成了34%，即完成了3300×34%第二月完成了36%，即完成了3300×36%，
　　两个月共完成了3300×34%+3300×36%，如果直接运算的话，显然麻烦些，如果将3300×34%+3300×36%提取公因式，就简单多了．
　　解：3300×34%+3300×36%=3300（34%×36%）=3300×70%=2310
　　所以这两个月共完成 2310m拓宽任务．
　　例2在电学公式：U=IR1+ IR2 +IR3，当R1=12.9 R2=18.5  R3=18.6，I=2时，求U的值
　　分析：直接代入数值，U=IR1+ IR2 +IR3=2×12.9+2×18.5+2×18.6，如果直接计算，太麻烦，不妨提取公因式
　　解：当R1=12.9  R2=18.5  R3=18.6，I=2时
　　U=IR1+ IR2 +IR3=2×12.9+2×18.5+2×18.6=2×（12.9+18.5+18.6）=2×50=100
　　评注：某些实际问题，如果列出代数式中，含有公因式，而且提取公因式后，另一因式能够凑整，用提取公因式计算较简单．
　　二、平方差公式的应用
　　例3学校在一块边长为 13.2m的正方形场地，准备在四个角落各建一个边长为 3.4m的正方形喷水池，剩余的部分修成绿地，若购买 130m2的草坪，够不够铺绿地？
　　分析：原有的面积为13.22，四个正方形水池的面积为4×3.42，剩余部分的面积为13.22-4×3.42，如果先乘方，再减法，运算量较大，如果按照平方差公式分解因式，较简单
　　解：依题意得13.22−4×3.42=13.22−(2×3.4)2=13.22−6.82=(13.2+6.8)(13.2−6.8)=20×6.4=128
　　因为130>128
　　所以购买130m2的草坪，够铺绿地．
　　例4一种圆筒状包装的保鲜膜，如下图所示，其规格为“”，经测量这筒保鲜膜的内径φ1、外径φ的长分别为、，则该种保鲜膜的厚度约为_____（取3.14，结果保留两位有效数字）．

　　分析：圆筒状包装的保鲜膜展开与未展开体积是相同的．
　　设厚度为xcm，展开时体积为x×20×6000(cm3)
　　未展开的体积为
　　20×3.14×− 20×3.14×
　　解：设设厚度为xcm，依题意得
　　x×20×6000=20×3.14×−20×3.14×
　　x×20×6000=20×3.14×(2.22−1.82)
　　6000x=3.14×(2.2+1.8)(2.2−1.8)
　　6000x=5.024x k b 1 . c o m
　　解之得  x=8.4×10−4
　　评注：如果由实际问题得到的代数式，满足平方差公式的结构特点，而且分解后，两个数的和或两个数的差运算较简单，通常应用平方差公式．
　　三、完全平方公式的应用
　　例5 达活泉公园有一块长为 51.2m的正方形绿地，为了便于游人通行，决定修两条互相垂直的小路，如图小路宽 1.2m，问剩余绿地的面积是多少？

　　分析：用整块绿地的面积减去小路的面积就是剩余绿地的面积x k b 1 . c o mx_k_b_1
　　解：51.22−(2×1.2×51.2−1.22)
　　=51.22−2×1.2×51.2+1.22
　　=(51.2−1.2)
　　=502
　　=2500
　　所以剩余绿地的面积为 2500m2
　　评注：由实际问题列出的代数式满足完全平方公式的结构特点，且写成两个数和或两个数的差的平方又容易计算，通常应用完全平方公式．
　　四、因式分解的综合应用
　　例6（05年浙江）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4−y4，因式分解的结果是(x−y)(x+y)(x2+y2)，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：(x－y)=0，(x+y)=18，(x2+y2)=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3y−xy3，取x = 10，y = 10时，用上述方法产生的密码是：　　　(写出一个即可)．
　　分析：按照原理，需把4x3y−xy3分解因式，再代入求值，就可以产生密码
　　解：4x3y−xy3= x(4x2−y2) = x(2x+y)(2x−y)
　　当x = 10，y = 10，各因式的值是：x = 10，(2x+y) = 30，(2x−y) = 10
　　又因为这六个数字不考虑顺序，所以产生的密码为103010；101030；301010x k b 1
　　评注：在进行因式分解时，首先提取公因式，然后再考虑用公式，注意每一个因式要分解彻底．

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