概率统计在实际生活中的应用.doc

数学小论文
题 目 概率统计在实际生活中的应用
学 院 管理学院
专 业 市场营销
班 级 12级
学 号 11 12 19
学生姓名 张嘉奖 吴鸿强 王昭
指导教师 付友明
完成日期 2013年6月17日星期一

II

摘 要
本文介绍了概率统计的某些知识在实际问题中的应用,主要围绕古典概型,全概率公式,正态分布,数学期望,极限定理等有关知识,探讨概率统计知识在实际生活中的广泛应用,进一步揭示概率统计与实际生活的密切联系,为应用概率知识解决实际问题,数学模型的建立,学科知识的迁移奠定一定的理论基础。通过本文可以更好地
感受到数学知识与实际生活的联系，体会到数学知识给我们实际生活中带来的种种
好处。

关键词
概率统计;古典概型;正态分布;数学期望

目 录

1．引言 1
2．概率统计在实际生活中的应用 1
2.1古典概型在实际问题中的应用 1
2.2全概率公式在实际问题中的应用 2
2.3正态分布在实际问题中的应用 4
2.4数学期望在求解最大利润问题中的应用 5
3．小结 8
参考文献 10
谢辞 11

概率统计在实际生活中的应用
The Application of Probability and Statistics in Reality

1.引言
随着人类社会的进步,科学技术的发展,经济全球化的日益进程,数学在生活中的应用越来越广,生活中的数学无处不在.而数学中的一个非常重要的分支——概率论,在众多领域内扮演着越来越重要的角色,取得越来越广泛的应用。正如英国逻辑学家和经济学家杰文斯所说：概率论是“生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计,我们就寸步难行,无所作为”。
概率论应应用的基本方法是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出客观的科学定义，对可能性的大小作出数量上的描述，通过比较这些可能性的大小，研究随机现象之间的联系。下面从几个方面具体阐述。
2.概率统计在实际生活中的应用
2.1古典概型在实际问题中的应用
古典概率通常又叫事前概率，是指随机事件中各种可能发生的结果及其出现的次数，都可以由演绎或外推法得知，而无需经过任何统计试验即可计算各种发生结果的概率。许多实际问题,都可以将其转化为古典概率加以解决。
例1 在第49届世界乒乓球锦标赛中,我国运动员王励勤和马琳会师男单决赛,根据实际排名和以往的战绩统计,每赛一局马琳胜的概率为0.45 ,王励勤胜的概率为0.55。若比赛既可采用三局两胜制,也可以采用五局三胜制,问采用那种赛制对马琳更有利？[1]
具体做法如下：
（1） 采用三局两胜制：设表示马琳胜前两局,表示前两局中二人各胜一局,第三局马琳胜,表示马琳胜,则,而
，，
由于与互斥，由加法公式得
。
（2） 采用五局三胜制：设B表示马琳胜,B1表示前三局马琳胜,B2表示前三局中马琳胜两局,王励勤胜一局,第四局马琳胜,B3表示前四局两人各胜两局,第五局马琳胜，则，而
，
，
，
所以
。
由于,故采用三局两胜制对马琳有利，但从公平性而言，因王励勤胜的概率为0.55，所以五局三胜制更公平，更合理。在实际比赛中，采用的是七局四胜制，更为公平合理，结果是王励勤赢了，如果采用三局两胜制，马琳战胜王励勤的可能性就大多了。
类似的利用古典概率求解的问题还有很多，比如博彩，产品抽样调查等。
2.2全概率公式在实际问题中的应用
全概率公式是概率论中一个重要的公式, 在实际中同样有广泛的应用。先引进定义：
设为样本空间的一个划分,即互不相容（i，j=），且，如果,，则对任意事件A有 。
在2010赛季NBA季后赛中，湖人队，太阳队，魔术队，凯尔特人队四队取得半决赛权，形式如下
总冠军

西部冠军
东部冠军军？
湖人
太阳
魔术
凯尔特人

图 1 夺冠分析
现根据以往战绩，假定湖人队战胜魔术队，凯尔特人队的概率分别是0.9与0.4，而魔术队战胜凯尔特人队的概率为0.5，试问湖人队取得冠军的可能性有多大？[2]
根据上述形式，未完成的凯尔特人队与魔术队的半决赛对湖人队影响很大，若魔术队胜利，则湖人队有90%的希望夺冠;若凯尔特人队胜利，则湖人队夺冠的希望只有40%。在魔术队与凯尔特人队未比赛前，他们谁能取得决赛权的两种情况必须考虑到。
记“湖人队夺冠”为事件B，魔术队战胜凯尔特人队为事件，有,凯尔特人队战胜魔术队为事件，.显然有，要么魔术队胜，要么凯尔特人队胜，二者必居其一。所以以为一个划分，由全概率公式得：
,其中是两个条件概率。
表示在魔术队取得胜利时湖人队取得冠军概率；
由题可知=90，
表示在凯尔特人队取得胜利时湖人队取得冠军概率；
由题可知=40，
综上所述，在魔术队与凯尔特人队未进行决赛前估计湖人队取得冠军概率为
=5090+5040=65。
类似的利用全概率公式求解的例子有很多，比如工厂有多条流水线，求故障发生概率，就是利用全概率公式求解。
2.3.正态分布在实际问题中的应用
正态分布也称“高斯分布”, 是概率论中最重要的一个分布。正态分布记作。服从正态分布的随机变量的概率规律为取与邻近的值的概率大，而取离越远的值的概率越小越小，分布越集中在附近，越大，分布越分散。正态分布的密度函数的特点是关于对称，在处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在处有拐点。它的形状是中间高两边低，图形是一条位于轴上方的钟形曲线。当，时，称为标准正态分布，记为。
正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布。从理论上看，正态分布具有很多良好的性质,许多概率分布可以用它来近似；以下通过一些具体例子加以阐述。
某汽车制造厂设计一种新型公共汽车,其车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在1%以下设计的,据统计资料分析知男子身高服从N(175,36) ,问车门高度应如何确定？[3]
设车门高度为x，以表示男子的身高，则服从正态分布，其参数=175，，据题可得,=，故有，即，查表得，由此解得
即车门高度设计为190.48cm,男子与车门顶相碰的机会不会大于1%。
其次,正态分布可以帮助应聘者分析形式,对应聘状况做正确估计,具体案例如下
某企业准备通招聘考试招收300名职工, 其中正式工280人,临时工20人;报考的人数是1657,
考试满分是400分,考试后得知,报名者C的成绩近似服从正态分布,360分以上的分考生31人,某考生得256分,问:他能否录取？能否被聘用为正式工？[4]
这类问题求解可以分为这样三个步骤首先根据问题中所给信息，高于360分的有31人,利用分数服从正态分布,遇到正态分布一般多联想到标准正态分布,求出，然后根据招收300名职工这个信息,再次利用分数服从正态分布求出最低分数线,将C的成绩与最低分数线比较,从而确定是否被录取最后,如果根据比较结果确定C被录取, 再求出第280人的分数与C的成绩比较,或者根据C的成绩求出高于C成绩的人数,再与280比较,进而确定C是否被录取为正事员工。
具体解法如下：
第一步，预测最低分数线，设最低分数线为，考生成绩为，则对一次正常的考试来说，
因为高于360分的考生的频率是，故=，
因此，，
查表可知2.08，解得,故。
因为最低分数线的确定应使录取考生的频率等于，即，
所以。
查表得，解得,也就是说，最低分数线是251。
第二步，预测C的考试名次，这样就可以确定他是否被录取。在分时，由查表可知。
这表明,考试成绩高于256分的频率是0.1685,也就是成绩高于考生C的人数大约占总考生16.85%,所以名次排在考生C之前的考生人数约有165716.85%，即考生C大约排在281
名,即考生C只能作为一名临时工被录用。
2.4 数学期望在求解最大利润问题中的应用
正态分布应用的广泛性有目共睹，但是作为数字特征的期望，在探讨利润最优化问题时，其作用也是独树一帜的，在许多实际问题中，数学期望的概念很容易被人理解和接受。
先给出数学期望定义
1 离散型随机变量的一切可能的取值与对应的概率之积的和称为数学期望（设级数绝对收敛），记为。随机变量是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。如果随机变量只取得有限个值，称之为离散型随机变量的数学期望。
2 连续型随机变量的概率密度函数为，若积分绝对收敛，则称此积分值为随机变量的数学期望，记为。
下面探讨数学期望在实际中的应用。
太平洋保险公司新推出一种保险业务,若在1 年内事件发生,则保险公司要赔偿元,若在1年内事件发生的概率为 ,为使保险公司收益的期望值等于元,保险公司应要求顾客交纳多少保险费？[5]
在保险学中，收取保险费的原则是：被保险人交的“纯保险费”与他们所得到的赔偿金的期望相等。
用表示保险公司的收益额，x为顾客交纳的保险金，则的取值为，且有，，因此，又，所以，即保险公司应要求顾客交纳的保险费。
例：通过血检对某地区的个人进行某种疾病普查,有两套方案:方案一是逐一检查, 方案二是分组检查，那么哪一种方案好？如果用方案二应怎样分组可以减少工作量？[6]
显然方案一需要检查次。下面我们讨论方案二:假设检验结果阴性为“正常”、阳性为“患者”,把受检查分为个人一组,把这个人的血液混和在一起进行检查,如果检验结果为阴性,这说明个人的血液全为阴性, 因而这个人总共只要检验一次就够了;如果检验结果为阳性,要确定个人的血液哪些是阳性就需要逐一再检验, 因而方案二在实施时有两种可能性,要和方案一比较,就要求出它的平均值(即平均检验次数)。
具体做法如下：假设这一地区患病率（即检验结果为阳性的概率）为，那么检验结果为阴性的概率为，这时个人一组的混合血液是阴性的概率为，是阳性的概率为，则每一组所需要的检验次数是一个服从二点分布的一个随机变量，即

1
1+

表 1 随机变量
由此可求得每组所需的平均检验次数为，由以上计算结果可以得出：当，即，时，方案二就比方案一好，总的检验次数为。某医疗机构在一次普查中，由于采用了上述分组方法，结果每100个人的平均检验次数为21，减少工作量达79%。
上诉例子足以证明期望在解决实际问题的重要性，而作为概率核心定理的中心极限定理也在某些实际问题求解中起到指导性的作用。
3.小结
概率论是专门处理随机现象的，其处理方法与其它数学学科很不一样，解决问题时更着重概念与思路，并且概率论具有非常强烈的直观意义，有利于理解与想象。
面对着随机现象，人们的一些决策实际上是在概率的意义上作出的。考试是教育测量的工具。正确、科学的考试方法不仅能够测量出学生的知识水平、能力高低，同时能反映出教师教学水平和教学效果的优劣。所以，利用考试成绩来评价教学质量，不但可以充分发挥考试的导向、激励作用，促进考试制度的不断完善，而且对调动教师的积极性，端正办学思想，全面提高教学质量都有重要的现实意义。如何反映一个班各层次人数状况。通过绘制分数频率分布图，将分数由低到高排队，分成若干分数段，算出各分数段人数及频率，绘制频数分布图。由表及图可以看出，全班学生在各分数段的分布基本呈正态分布，也得到学生的分数分布近似正态，这说明本试卷的试题难易比例比较合理，题目区分度较高。能将不同水平的考生拉开档次，各层次学生人数的分布状况也一目了然。又如，一家商店采用科学管理。为此，在每一个月的月底要制订出下一个月的商品进货计划。为了不使商店的流动资金积压，月底的进货不宜过多，但是为了保证人民的生活需要和完成每月的营业额，进货又不应该太少。由该商店过去的销售纪录知道，这家商店只要在月底进货某种商品15件（假定上个月没有存货），就可以95%以上的把握保证这种商品在下个月内不会脱销。其实为了说明这家商店（每月）出售某种（非紧张）商品的件数就是利用概率论中的“普松分布”来描述的。作出这样的决策，实际上只有5%的决策错误可能。因为95%的商品不脱销概率表明，在所指的情况下，平均起来在每100次当中有95次商品不脱销，5次商品脱销，即这个人仍有5%的犯错误的可能；如果这一个月内事实上商品脱销，其决策就是不成功的，当然，话说回来，这个人决策成功的可能性（95%）显然要大于决策失败的可能性（5%）。
可见，当我们在概率的意义上进行判断和作出决策时，完全有可能犯错误，不可能有绝对的把握正确。只是，我们总希望犯错误的概率小一些。所以在实际生活中，我们不仅要合理运用概率统计所发挥的重要作用，也要正确地对待随机现象出现的情况。
9

参考文献
[1] 龚曙明.应用统计学[M].北京:清华大学出版社,2005.
[2] 周概容.概率统计学习指导[M].天津:南开大学出版社,1997.
[3] 陈家鑫.应用概率论[M].北京科学出版社,1992,7.
[4] 盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社,2004.