全等三角形在实际生活中的应用.doc

全等三角形在实际生活中的应用
三角形全等在解决实际问题中有广泛的应用，如测量无法直接测量的距离时，可根据三角形全等进行转化.有许多图形分割问题，也蕴含着全等思想.
一、测量中的全等三角形
Ａ
•
•
•
•
•
•
•
•
Ｂ
图1
例1．图1为人民公园中的荷花池,现要测量此荷花池两旁A、B两棵树间的距离(我们不能直接量得).请你根据所学知识,以卷尺和测角仪为测量工具设计一种测量方案.
要求:(1)画出你设计的测量平面图；
(2)简述测量方法，并写出测量的数据(长度用…
表示；角度用…表示)；(3)根据你测量的数据,计算A、B两棵树间的距离.
分析：此题的测量方法很多，这里用全等知识来解决，方案如图2，步骤为：
B
A
C
D
O
图2
（1）在地上找可以直接到达的一点O，
（2）在OA的延长线上取一点C，使OC=OA；在BO的延长线
上取一点D，使OD=OB；（3）测得DC=a，则AB=a．
点评：本题是一道全开放式的设计方案题，它的解题策略非常多，可以利用三角函数、三角形中位线定理、全等三角形、三角形相似等许多知识，本题来源于课本、来源于生活，可以激发学生“学有用的数学”，更激发学生的学习热情和创新热情以及求知欲望．
图3
例2．如图3所示，在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为用炮火实施定点轰炸，需要测量我军阵地与敌军碉堡隔的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来一个办法，他面向碉堡方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐，正好落在碉堡的底部，然后转过一个角度，身体保持刚才的姿势，使视线落在我军一岸的某一点上，接着他用步测法测出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡之间的距离。你能解释其中的道理吗？
解：这个战士实际上是运用了三角形全等的知识 . 要说明其中的道理，首先要根据实际情景建立数学模型，将情景中示意图抽象为几何图形。如图4所示，我军阵地与敌军碉堡之间的距离无法测量，即AC不可测量，图4
但线段FD的长度可以测得，又战士与地面是垂直的，也就是∠BAC＝∠EFD＝90，另外战士的身高与姿态是不变的，所以BC＝EF，∠ABC＝∠FED . 依据“SAS”可知△ABC≌△DEF，所以AC＝FD . 所以只要测得FD 的距离，就可得到AC的距离 .
二、修路中的全等三角形
图5
例3．如图5，有一块不规则土地ABCD，分别被甲、乙二人承包，一条公路GEFH穿过这块土地，EF左边是甲，右边是乙，AB∥CD.为方便通行，决定将这条公路尽量修直，但要求甲、乙二人的土地面积不变.请你设计一种方案，解决这个问题，并说明方案正确的理由.
分析：将公路修直并不困难，关键是要保持甲、乙二人的土地面积不变.这里，我们应注意充分利用AB∥CD这一条件来构造全等三角形.
解：取EF的中点O，连接GO并延长交FH于点M，GM就是修直后的公路.
理由是：设GM分别交AB、CD于点P、Q，由AB∥CD，可得∠PEO＝∠QFO，又因为EO＝FO，∠EOP＝∠FOQ，故△EOP≌△FOQ，所以这个方案能保持甲、乙二人的土地面积不变.
三、其他问题中的全等三角形
图6
例4．如图6，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，请你设计一个最省事的配玻璃方案，并说明理由.
解：最省事的配玻璃方案是带着碎玻璃块③去玻璃店.
理由是：玻璃块③含有一条完整的边BC和夹BC的两个完整的角，根据ASA，只需将∠B和∠C的不完整的边延长相交即可，得到的三角形与原三角形全等.

例5．如图7，点C是路段AB的中点，两人从C同时出发以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？
图7
分析：因为两人是从点C同时出发，且同时到达D，E两点，所以CD=CE.要说明DA与EB是否相等，则只需说明△ADC和△BEC是否全等.
解：D，E与路段AB的距离相等.
理由：因为点C是AB的中点，所以CA=CB，
又CD=CE，DA⊥AB，EB⊥AB，所以Rt△ADC≌Rt△BEC（Hl）.
所以DA=EB.即D，E与路段AB的距离相等.

例6．如图8是用两根拉线固定电线杆的示意图，其中，两根拉线的长AB=AC，BD和DC的长相等吗？为什么？
图8
分析：因为电线杆和地面垂直，它和两根拉线分别构成两个直角三角形，所以通过全等三角形的知识解决.
解:BD和DC相等.
因为AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90°,
又AB=AC,AD=AD,
所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).
所以BD=DC.
例7．如图9，海岛上有A，B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看海岛C、D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C、D的视角∠CBD相等，那么海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等吗？为什么？

分析：本题是一道和三角形全等有关的实际问题，要看海岛C、D到海岸AB的距离是否相等，则要看△ABC与△BAD是否全等.
解：海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等.
理由：由已知得∠CAB=∠DBA=90°，又∠CAD=∠CBD，
所以∠DAB=∠CBA，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，∠CAB=∠DBA，AB=BA，∠CBA=∠DAB，
所以△ABC≌△BAD（ASA），
所以CA=DB，即海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等.
4 / 4