第20届全国希望杯数学邀请赛高一数学第二试试题及答案.doc

第20届全国希望杯高一数学邀请赛第二试（第1类）
一、选择题（每题4分，40分）
1、设的定义域为D，又若的最大值分别是M，N，最小值分别是m，n，则下面的结论中正确的是（ ）
A．的最大值是M+N B．的最小值是m＋n
C．的值域为
D．的值域为的一个子集
2、方程的实数根的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3、已知函数，且，那么使成立的x的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不确定的
4、设是奇数，,＝ ，则S，T的关系是（ ）
A．T B．S C．S=T D．
5、定义集合M,N的一种运算*，：，若，N={0,1,2}，则M*N中的所有元素的和为（ ）
A．9 B．6 C．18 D．16
6、关于的整系数一元二次方程中，若是偶数，是奇数，则（ ）
A．方程没有整数根 B．方程有两个相等的整数根
C．方程有两个不相等的整数根 D．不能判定方程整数根的情况
7、设是某个三角形的最小内角，则的值域是（ ）
A． B． C． D．
8、已知e是自然对数的底，那么的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9、是定义在R上的奇函数，且是偶函数，则下列命题中错误的是（ ）
A．的图像关于x＝2对称 B．的图像关于点对称
C．的周期为4 D．的周期为8
10、某航空公司经营A,B,C,D四个城市之间的客运业务，其中部分单程机票的价格如下：
A,B区间：2000元；A,C区间：1600元；A,D区间：2500元；B,C之间：1200元；C,D区间：900元。已知这家公司规定的机票与城市间的直线距离成正比，则B,D区间机票价格为（ ）
A．1200元 B．1500元 C．1600元 D．2000元
二、填空题（每题4分，共40分）
11、如图1，动点P从直角梯形ABCD的直角顶点B出发，沿B—C—D—A的顺序运动，得到以点P运动的路程为自变量，△ABP的面积为函数的图像，如图2，则梯形ABCD的面积为 。
12、锐角△ABC的三个内角的度数成等比数列，且B＝2A，则其中最小角的值等于 。
13、已知公差大于零的等差数列的第5项与第13项的绝对值相等，则当前n项和最小时，n＝ 。
14、已知等比数列｛an｝中，a3＝2，当此数列的前5项和取得最小值时，前5项依次为 。
15、已知，则的各项系数（包括常数项）的和等于 。
16、设O为△ABC内一点,则= 。
17、The number 2009 has the following properties:
①It is divisible by 7 ;②When divisible by 8, it has a remainder of 1;③When divisible by 9, it has a remainder of 2。The 3－digit number with the above properties is 。
18、若，则的取值范围是 。
19、2009 apples are distributed among a number of children so that each child gets a different positive mumber of apples。How many children are there at the most？Answer：
20、设集合A＝｛1，2，3，…，n｝，则集合A的所有非空子集中元素和的和等于 。
三、解答题 每题都要写出推算过程
21、本题10分
已知关于的不等式的解集为M，若2及－1有且恰有一个不在M中，求实数的取值范围。
22、本题满分15分
向量a，b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝1
（1）当|a＋tb|取得最小值时，求t的值；
（2）当|a＋tb|取得最小值时，证明：b⊥（a＋tb）
23、本题满分15分
数列｛an｝是各项均为正数的等差数列，前n项的和为Sn。数列｛bn｝是等比数列，且满足，＝144，的公比＝16，求数列｛an｝，｛bn｝的通项公式。

参考答案
DBCAD ACCCB
11、104
12、
13、8或9
14、2，－2，2，－2，2
15、0或2
16、0
17、497
18、[9,17]
19、62
20、
21、当时，有
解得a的范围为
当时，有解得a的范围为
综上所述：a的范围为
22、（1），∴当t＝时，最小
（2）当最小时，t＝，
b·（a－b）＝ab－b2＝＝0，∴b⊥（a＋tb）
23、an＝2n－1，