导数问题中参数范围的求法~典型.doc

导数问题中参数范围的求法

一、 分离常数法
（Ⅰ）常规分离常数法
原理：将所给不等式变形为
例1、（2010全国卷一）已知函数，若，求的取值范围.
解：

令 .
， 当
所以 故 .
（Ⅱ）能分离常数，但求稳定点困难
原理：稳定点的估算利用连续函数介值定理去估算
例2、已知函数 ，若当，恒成立，求正整数的最大值.
解：有已知
设 ，
设 从而
由于且
所以 故 得
时 时

所以 又因为， 故.
（Ⅲ）能分离常数，但求最值困难
例3、已知函数，若当，恒成立，求的取值范围.
解：当 恒成立
当 由已知
令
令 故 进而

所以的取值范围是.
注：此题求最值时应用洛必达法则
洛必达法则1（适用于型不定式极限）
若函数满足：①;
②在点的某空心邻域内两者都可导，且；
③（可为实数，也可为）；
则.
洛必达法则2（适用于型不定式极限）
若函数满足：①;
②在点的某空心邻域内两者都可导，且；
③（可为实数，也可为）；
则.
此方法对与高中生来说理解上稍有难度，但对于研究高中教学的人来说，更进一步对于接受过高等数学教育的人来说还是大有裨益的.

二、 最值转化法
适用于：
（Ⅰ）局部最值转化
例4、（2010山东）已知函数.
设.当时，若对任意，存在使.求实数的取值范围.
解：由于“对任意，存在使”等价于“.
当时 ，.

,
①,
②,
③，.
综上的取值范围是.
（Ⅱ）整体最值转化
方法：设辅助函数
辅助函数的设法：
利用泰勒展式设辅助函数：
实质：任意一个函数都可由幂函数近似表示.
例5、已知函数，若当，恒成立，求的取值范围.
解：设

当时，，
当时， ；

所以的取值范围是.
例6、（2010新课标卷）设函数，若当，恒成立，求的取值范围.
方法一：解：当时，，恒成立
当时，由已知
令（由于）
令，
故 进而
所以 ，
故的取值范围是.
说明：此处引进泰勒展式设辅助函数，以避免有些教师辅助函数设法的“经验说”.
方法二：解：，设，
当时
即 在上单调递增 故
当时 令 解得
时 在单调递减，即在单调递减
，故单调递减,
所以，与题意不符
综上的取值范围是.
声明：本文部分题引用高考数学卷，但为了充分直接地说明问题，部分地方对高考真题略有改动,