函数模型及其应用题目.doc

函数模型及其应用题目1. 如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（ba）,在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积.2某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值. 3据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）.（1）当t=4时，求s的值；（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由.4某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R（x）=5x-（万元）(0x5)，其中x是产品售出的数量（单位：百台）.（1）把利润表示为年产量的函数；（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？5. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x吨.（1）求y关于x的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.61999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？以下数据供计算时使用：数N1.0101.0151.0171.3102.000对数lgN0.004 30.006 50.007 30.117 30.301 0数N3.0005.00012.4813.1113.78对数lgN0.477 10.699 01.096 21.117 61.139 27有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小.8某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双. 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量. 厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长，就月份x，产量为y给出四种函数模型：y = ax + b，y = ax2 + bx + c，y = a+ b，y = abx + c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？参考答案：1解： 设四边形EFGH的面积为S，则SAEH=SCFG=x2，SBEF=SDGH=（a-x）（b-x），S=ab-22+（a-x）（b-x）=-2x2+（a+b）x=-2（x-2+由图形知函数的定义域为x|0xb.又0ba,0b,若b,即a3b时，则当x=时，S有最大值;若b,即a3b时，S（x）在（0,b上是增函数，此时当x=b时，S有最大值为-2(b-)2+=ab-b2，综上可知，当a3b时，x=时，四边形面积Smax=，当a3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.2解：设每个提价为x元（x0），利润为y元，每天销售总额为（10+x）（100-10x）元，进货总额为8（100-10x）元，显然100-10x0,即x10,则y=（10+x）（100-10x）-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360 (0x10).当x=4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.3解：（1）由图象可知：当t=4时，v=34=12，s=412=24.（2）当0t10时，s=t3t=t2，当10t20时，s=1030+30（t-10）=30t-150；当20t35时，s=1030+1030+(t-20)30-(t-20)2(t-20)=-t2+70t-550.综上可知s=(3)t0，10时，smax=102=150650.t（10，20时，smax=3020-150=450650.当t（20，35时，令-t2+70t-550=650.解得t1=30,t2=40,20t35,t=30，所以沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城.4解：（1）当x5时，产品能售出x百台；当x5时，只能售出5百台，故利润函数为L（x）=R（x）-C（x）=（2）当0x5时，L（x）=4.75x-0.5，当x=4.75时，L(x)max=10.781 25万元.当x5时，L（x）=12-0.25x为减函数，此时L（x）10.75(万元）.生产475台时利润最大.（3）由得x4.75-=0.1(百台）或x48(百台).产品年产量在10台至4 800台时，工厂不亏本.5解：（1）当甲的用水量不超过4吨时，即5x4，乙的用水量也不超过4吨，y=（5x+3x）1.8=14.4x;当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，即3x4且5x4,y=41.8+3x1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8.当乙的用水量超过4吨时，即3x4,y=81.8+3(8x-8)=24x-9.6，所以y=(2)由于y=f(x)在各段区间上均为单调递增，当x0，时,yf（）26.4;当x（，时，yf（）26.4;当x（,+）时，令24x-9.6=26.4,解得x=1.5,所以甲户用水量为5x=7.5吨，付费S1=41.8+3.53=17.70（元);乙户用水量为3x=4.5吨，付费S2=41.8+0.53=8.70（元).6解：（1）设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，则y(1+x)n=60，则当n=40时，y=30，即30(1+x)40=60，(1+x)40=2，两边取对数，则40lg(1+x)=lg2，则lg（1+x）=0.007 525，1+x1.017，得x=1.7%. （2）依题意，y12.48（1+1%）10，得lgylg12.48+10lg1.01=1.139 2,y13.78，故人口至多有13.78亿. 答 每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有13.78亿. 7解：设单位购买x台影碟机，在甲商场购买，每台的单价为800 20x，则总费用 在乙商场购买，费用y = 600x.（1）当0x10时，(800x 20x2)600x 购买影碟机低于10台，在乙商场购买.（2）当x = 10时，(800x 20x2) = 600x 购买10台影碟机，在甲商场或在乙商场费用一样.（3）当10x18时，(800x 20x2)600x 购买影碟机多于10台且不多于18台，在甲商场购买.（4）当x18时，600x440x 购买影碟机多于18台，在甲商场购买.答：若购买小于10台，去乙商场购买；若购买10台，在甲商场或在乙商场费用一样多；若购买多于10台，在甲商场购买.8解：由题意知A（1，1），B（2，1.2），C（3，1.3），D（4，1.37）.（1）设模拟函数为y=ax+b，将B、C两点的坐标代入函数式，有，解得所以得y=0.1x+1.因此此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不太可能的.（2）设y = ax2 + bx + c，将A、B、C三点代入，有，解得，所以y= 0.05x2+0.35x+0.7.因此由此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降（图象开口向下，对称轴x=3.5），不合实际.（3）设y=+b，将A，B两点的坐标代入，有，解得，所以y=.因此把x = 3和4代入，分别得到y=1.35和1.48，与实际产量差距较大.（4）设y = abx + c，将A，B，C三点的坐标代入，得，解得，所以y= 0.8(0.5)x+1.4.因此把x= 4代入得y= 0.80.54+1.4=1.35.比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性. 经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于新建厂，开始随工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模拟恰好反映了这种趋势.因此，选用y= 0.80.54+1.4模拟比较接近客观实际.第 6 页 共 6 页