函数模型及其应用.doc

15 函数模型及其应用
知识梳理
1．几种常见的函数模型

函数模型
函数解析式
一次函数
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
2.三种函数模型性质比较

y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的单调性
增函数
增函数
增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随着x的增大，图象与y轴接近平行
随着x的增大，图象与x轴接近平行
随n值变化而各有不同

要点整合：理解解决实际应用问题的一般步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：

题型一．函数模型的选择　
例1.某研究所对人体在成长过程中，年龄与身高的关系进行研究，根据统计，某地区未成年人，从1岁到16岁的年龄x(岁)与身高y(米)的散点图如图，则该关系较适宜的函数模型为(　　)

A．y＝ax＋b　　 B．y＝a＋logbx
C．y＝a·bx D．y＝ax2＋b
解析：　根据散点图可知，较适宜的函数模型为y＝a＋logbx，故选B.
[答案]　B

选择函数模型的基本思想
(1)根据数据描绘出散点图；
(2)将散点根据趋势“连接”起来，得到大致走势图象；
(3)根据图象与常见的基本函数的图象进行联想对比，选择最佳函数模型．但必须注意实际意义与基本图形的平移性相结合．
变式1．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)的影响．根据近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据得到下面的散点图．则下列哪个作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合(　　)

A．y＝ax＋b B．y＝a＋b
C．y＝a·bx D．y＝ax2＋bx＋c
解析：选B.根据散点图知，选择y＝a＋b最适合，故选B.
变式2．某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：

时间t
60
100
180
种植成本Q
116
84
116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
利用你选取的函数，求：
(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是__________；
(2)最低种植成本是__________元/100kg.
解析：∵随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得解得
∴Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100kg.
答案：(1)120　(2)80

题型二．函数模型的应用
例2. 已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
[解]　(1)在y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)中，令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0.
由实际意义和题设条件知x>0，k>0.解以上关于x的方程得x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程是10千米．
(2)∵a>0，∴炮弹可以击中目标⇔存在k>0，使ka－(1＋k2)a2＝3.2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根，
得解得a≤6.
所以当a不超过6千米时，炮弹可以击中它．

已知函数模型求解实际问题的三个步骤
(1)根据已经给出的实际问题的函数模型，分清自变量与函数表达式的实际意义，注意单位名称，并注意相关量之间的关系．
(2)根据实际问题的需求，研究函数的单调性、最值等，从而得出实际问题的变化趋势和最优问题．
(3)最后回归问题的结论．
变式1．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　)
A．20小时 B．22小时
C．24小时 D．26小时
解析：选C.由已知条件，得192＝eb，所以b＝ln 192.又因为48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k＝192(e11k)2，所以e11k＝＝＝.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln 192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×＝24.故选C.
变式2．某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润与投资金额x(单位：万元)满足：f(x)＝aln x－bx＋3(a，b∈R，a，b为常数)，且曲线y＝f(x)与直线y＝kx在点(1，3)处相切；乙产品的利润与投资金额的算术平方根成正比，且其图象经过点(4，4)．
(1)分别求出甲、乙两种产品的利润与投资金额间的函数关系式；
(2)已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资金额均不少于10万元．问怎样分配这40万元，才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
(参考数据：ln 10＝2.303，ln 15＝2.708，ln 20＝2.996，ln 25＝3.219，ln 30＝3.401)

解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－b，因为点(1，3)在直线y＝kx上，
故有k＝3，
又曲线y＝f(x)与直线y＝3x在点(1，3)处相切，
故有
得
则甲产品的利润与投资金额间的函数关系式为
f(x)＝3ln x＋3(x>0)．
由题意设乙产品的利润与投资金额间的关系式为：
g(x)＝m，
将点(4，4)代入上式，可得m＝2，
所以乙产品的利润与投资金额间的关系式为
g(x)＝2(x>0)．
(2)设甲产品投资x万元，
则乙产品投资(40－x)万元，且x∈[10，30]，
则公司所得利润为y＝3ln x＋3＋2，
故有y′＝－，
令y′>0，解得10≤x<15，令y′<0，解得15<x≤30，
所以x＝15为函数的极大值点，也是函数的最大值，即当投入甲产品研发资金15万元，投入乙产品研发资金25万元时，公司获得利润最大．最大利润为21.124万元．

题型三．建立函数模型解决实际问题　
例3. 围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x m，修建此矩形场地围墙的总费用为y元．

(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用．
[解]　(1)如图，设矩形中与旧墙垂直的边长为a m，

则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360.
由已知得xa＝360，得a＝.
所以y＝225x＋－360(x>2)．
(2)因为x>2，
所以225x＋≥2＝10 800.
所以y＝225x＋－360≥10 440.
当且仅当225x＝时，等号成立．
即当x＝24时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10 440元．

(1)通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口．
(2)将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系．
(3)在构建数学模型时，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相关的数学模型．　
变式1．某商场已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，售价为每件100元时可全部售完，售价每提高1元销量就减少5件，若要获得最大利润，售价应定为每件__________元．
解析：设售价提高x元，获得的利润为y元，则依题意得
y＝(1 000－5x)×(20＋x)
＝－5x2＋900x＋20 000
＝－5(x－90)2＋60 500.
∵0<1 000－5x≤1 000，∴0≤x<200，
故当x＝90时，ymax＝60 500，此时售价为每件190元．
答案：190
变式2. 据气象中心观察和预测：发生于沿海M地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t，0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即t(h)内台风所经过的路程s(km)．

(1)当t＝4时，求s的值；
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场台风是否会侵袭到N城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．
解：(1)由图象可知，直线OA的方程是v＝3t，直线BC的方程是v＝－2t＋70.
当t＝4时，v＝12，所以s＝×4×12＝24.
(2)当0≤t≤10时，s＝×t×3t＝t2；
当10<t≤20时，s＝×10×30＋(t－10)×30＝30t－150；
当20<t≤35时，s＝150＋300＋×(t－20)×(－2t＋70＋30)＝－t2＋70t－550.
综上可知，s随t变化的规律是
s＝
(3)当t∈[0，10]时，smax＝×102＝150<650，
当t∈(10，20]时，smax＝30×20－150＝450<650，
当t∈(20，35]时，令－t2＋70t－550＝650，解得t＝30或40(舍去)，即在台风发生30 h后将侵袭到N城．