3.2函数模型及其应用.ppt

函数模型及其应用新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞1 了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能建立简单的数学模型，利用这些知识解决应用问题.新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞21.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)=1.06(0.50m+1)给出，其中m0,m是大于或等于m的最小整数(如4=4,2.7=3,3.8=4).若从甲地到乙地的一次通话时间为5.5分钟的电话费为()CA.3.71元 B.3.97元C.4.24元 D.4.77元 由题设知由题设知,f(5.5)=1.06(0.505.5+1)=1,06(0.56+1)=4.24.故选故选C.新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞32.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了如下一组数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是()x x1.991.993 34 45.15.16.126.12y y1.51.54.044.047.57.5121218.0118.01BA.y=2x-2 B.y=(x2-1)C.y=log2x D.y=()x将各组数据代入验证，选B.新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞43.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间（分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式的电话费相差（）AA.10元 B.20元C.30元 D.元新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞5两种话费相差为y，根据几何关系可得y=y,=12,y=10，所以y=10.新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞64.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x(xN*)的关系为y=-x2+12x-25，则为使其营运年平均利润最大,每辆客车营运年数为（）CA.2 B.4 C.5 D.6 平均利润 =12-10=2,当且仅当x=,即x=5时,等号成立,故选C.新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞7 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.那么，面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？事实上，要顺利地建立函数模型，首先要深刻理解基本函数的图象和性质,熟练掌握基本函数和常用函数的特点,并对一些重要的函数模型必须要有清晰的认识.一般而言，有以下8种函数模型：新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞8一次函数模型:f(x)=+b(k、b为常数,k0);反比例函数模型：f(x)=+b(k、b为常数,k0);二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a0)，二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见的;指数型函数模型：f(x)=kax+b(k、a、b为常数，k0,a0且a1);新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞9对数型函数模型：f(x)=mlogax+n(m、n、a为常数,m0,a0且a1);幂函数型模型：f(x)=axn+b(a、b、n为常数,a0,n0);“勾”函数模型：f(x)=x+(k为常数,k0)，这种函数模型应用十分广泛,因其图象是一个“勾号”,故我们把它称之为“勾”函数模型,分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛.新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞10题型一 函数模型的选择例例1 扇形的周长为c(c0)，当圆心角为多少弧度时，扇形面积最大？新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞11当r=时，Smax=,此时|=2.所以当圆心角大小为2 rad时，扇形面积最大，为 .(方法一)因为c=l+2r,所以l=c-2r0,所以0r .面积S=lr=(c-2r)r=(-r)r(0r ),新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞12当且仅当=，即=2时，等号成立.所以当圆心角大小为2 rad时，扇形面积最大，为 .(方法二)因为c=l+2r=r+2r,所以r=.所以S=r2=()2=.新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞13 (1)虽然问“为多少时”，但若以为自变量，运算较大且需用到均值不等式等技巧，而方法一以半径为自变量，是一个简单的二次函数模型.同样，若以弧长l为自变量，也是一个二次函数模型.所以在构造函数过程中，要合理选择自变量.新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞14(2)一般的，当线绕点旋转时，常以旋转角为变量.(3)合理选择是画图象还是分离参数解决不等式组成立问题.当图易于作出时，常用图象解决；当易分离参数且所得函数的最值易于求解时，可用分离参数法.新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞15题型二 已知函数模型求参数值例例2 如图,木桶1的水按一定规律流入木桶2中，已知开始时木桶1中有a升水，木桶2是空的，t分钟后木桶1中剩余的水符合指数衰减曲线y1=ae-mt（其中m是常数，e是自然对数的底数）.假设在经过5分钟时，木桶1和木桶2的水恰 好相等,求：新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞16 (1)因为木桶2中的水是从木桶1中流出 的，而木桶1开始的水是a,又满足y1=ae-mt，所以y2=a-ae-mt.(2)因为t=5时,y1=y2,所以ae-5m=a-ae-5m，解得2e-5m=1 m=ln2.所以y1=ae .当y1=时,有 =ae t=15(分钟).所以经过15分钟木桶1的水是 .（1）木桶2中的水y2与时间t的函数关系；（2）经过多少分钟，木桶1中的水是 升?已知函数模型求参数值，关键是已知函数模型求参数值，关键是根据题设条件建立方程求解根据题设条件建立方程求解.新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞17题型三 给出函数模型的应用题例例3 经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格（元）均为时间t(天)的函数,且销售量近似满足g(t)=80-2t(件）,价格近似满足f(t)=20-|t-10|（元）.(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0t20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞18 (1)y=g(t)f(t)=(80-2t)(20-|t-10|)=(40-t)(40-|t-10|)=(30+t)(40-t)(0t10)(40-t)(50-t)(10t20).(2)当0t10时,y的取值范围是1200,1225.在t=5时,y取得最大值为1225；当10t20时,y的取值范围是600,1200,在t=20时，y取得最小值为600.答:第5天,日销售额y取得最大值为1225元,第20天,y取得最小值600元.新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞19 阅读题目、理解题意是解决应用题的前提.本题的关键是对f(x)的假定的理解.选择数学模型和方法解决实际应用问题是核心步骤，因此解应用题时要根据题目中的数量关系，选择适当的数学模型和方法加以解决.新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞201.理解题意，找出数量关系是解应用题的前提，因此解题时应认真阅读题目，深刻理解题意.2.建立数学模型，确定解决方法是解应用题的关键，因此解题时要认真梳理题目中的数量关系，选择适当的方法加以解决.新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞213.函数的应用问题通常是以下几种类型：可行性问题、最优解问题(即最大值或最小值问题，如费用最小，效益最大等问题)、决策问题.解题时要灵活运用函数的性质和数学方法.4.应用题中的函数由于它具有实际意义，因此函数中的变量除要求使函数本身有意义外，还要符合其实际意义.新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞22人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑23 函数模型及其应用 第一课时人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑24 孙小凯(班级一学生,刚好早晨迟到)早上起床太晚，为避免迟到，不得不跑步到教室，但由于平时不注意锻炼身体，结果跑了一段就累了，不得不走完余下的路程。问题10(A)0(B)0(D)0（C)如果用纵轴表示离教室的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象比较符合此人走法的是（）人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑25问题2 韦老师今天从县中到二中上课，来的时候坐了出租车。我们知道洪泽出租车的价格，凡上车起步价为4元，行程不超过3km者均按此价收费，行程超过3km，按1.5元/km收费。县中到二中的路程是 4公里，问韦老师今天坐车用了多少钱？县中到二中的路程是 x公里，问韦老师今天坐车会用多少钱？人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑26实际问题数学模型数学模型的解实际问题的解抽象抽象概括概括推推理理演演算算还原说还原说明明答 求解数学应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：数学模型人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑27例1、某计算机集团公司生产某种型号的计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元，分别写出总成本C(万元),单位成本P(万元)、销售收入R（万元）以及利润L（万元）关于总量x（台）的函数关系式。人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑28例2、物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则 ，其中 表示环境温度，称 h为半衰期。现有一杯用88热水冲的速溶咖啡，放在24的房间中，如果咖啡降温到40需要20min，那么降到35时，需要多长时间（结果精确到0.1)？人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑29因此，解决应用题的一般程序是：审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；解模：求解数学模型，得出数学结论；还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑30 函数模型及其应用 第二课时人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习2024/1/31 周三31人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑32人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑33解之得人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑34人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑35例2.某房地产公司要在荒地ABCDE(如图)上划出一块长方形的地面修建一幢公寓楼，已知EF=80m,BC=70m,BF=30m,AF=20m,问：如何设计才能使公 寓楼地面面积最大？最大面积是多少？ACBNFED人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑36例1：如图，有一块半径为的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形的形状，它的下底是的直径，上底的端点在圆周上。问：腰为多少时，梯形周长最大？ABCD0人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑37解:设腰长AD=BC=x,周长为yEABCD0人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑38人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑391有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为 _m2（围墙厚度不计）解析：设矩形宽为xm，则矩形长为（2004x）m，则矩形面积为Sx（2004x）4（x25）22500 （0 x50），x25时，S有最大值2500m2人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑40 2.有甲、乙两种产品，生产这两种产品所获得利润分别为p和q（万元），它们与投入的资金x（万元）的关系分别为 今投入3万元资金生产甲、乙两种产品，为了获得最大利润，对甲乙两种产品的投入分别应为多少万元？此时最大利润是多少万元？人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑413.某产品的成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系，若每台产品的售价为25万元，则生产者不“亏本”（即销售收入不小于总成本）的最低产量台数为人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑42小结：2.解题过程：从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义做出回答.即建立数学模型，并推理演算求出数学模型的解，再结合实际做出回答.1.解题四步骤：设、列、解、答.人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑43 函数模型及其应用 第三课时人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑44例1、某旅社有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满，公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间，若不考虑其它因素，旅社将房间租金提高多少时，每天客房租金总收入最高？人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑45 点拨：由题设可知，每天客房总的租金是增加2元的倍数的函数。设提高为x个2元，则依题意可算出总租金（用y表 示）的表达式，由于房间数不太多，为了帮助同学理解这道应用题，我们先用列表法求解，然后再用函数的解析表达式求解。人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑46解：设客房租金每间提高x个2元，Y=(20+2x)(300-10 x)=-20 x2+600 x-200 x+6000=-20(x2-20 x+100-100)+6000=-20(x-10)2+8000则将有10 x间客房空出，客房租金的总收入为由此得到，当x=10时，y的最大值为8000，即每间租金为20+102=40（元）时客房租金总收入最高，每天为8000元。人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑47总结：通过列表的形式求解，直观性强，有助于同学理解，但运算过程比较繁琐，作为探求思路的方法还是可行的；根据题目的条件列出函数关系式，利用二次函数求极值，是常用的方法。人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑48练习：1、将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，根据经验，该商品每个上涨1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定为多少元？最大利润是多少？人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑492、某车间最大生产能力为月生产100台机床，至少要完成40台才能保本，当生产x台时的总成本函数为G(x)=x2+10 x(百元），按市场规律，价格为P=970-5x(x需求量）可以销售完，试写出利润函数，并求出生产多少台时，利润最大。人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑503、某商场出售一种商品，（原来）每天可卖出1000件，每件可获利4元。根据经验，若单件商品的价格每减少0.1元，每天的销售量就会多出100件。从获得最好的经济效益的角度来看，该商品的单价应比现在减少_元人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑51 函数模型及其应用 第四课时人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑52例题1、一家报刊摊点，从报社买进报纸价格是每份0.24元，卖出是每份0.40元，卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社，在一个月的30天里，有20天每天可卖出300份，其余10天，每天卖出200份,但这30天里,每天从报社买进的份数必须相同,这家报刊摊点应该每天从报社进多少份报纸,才能获得最大利润,一个月可赚多少钱.人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑53 (2)当200300时,y=(0.4-0.24)10200-(0.24-0.08)10(x-200)+(0.4-0.24)20300-(0.24-0.08)(x-300)20 =2560-4.8x2560-4.8300=1120人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑54总结:求分段函数的最值,应先求出函数在各部分的最值,然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值,取各部分的最小者为整个函数的最小值.人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑55变式：如图，一动点P自边长为1的正方形的边界运动一周后再回到A点，若点P的路程为x，点P到顶点A的距离为y，求A，P两点间的 距离y与点P的 路程x之间的函 数关系式。APPDBC人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑562、某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：其中x是仪器的月产量。（1）将利润表示为当月产最的函数（2）求每月生产多少台仪器时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑57例2.在一定范围内，某种产品的购买量为y t，与单价x元之间满足一次函数关系。如果购买1000t，每吨为800元，如果购买2000t，每吨为700元，一客户购买400t，单价应该为 （）A.820 元 B.840元 C.860元 D.880元c人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑58例例3 3、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200200元，元，每桶水的进价是每桶水的进价是5 5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价销售单价/元元日均销售量日均销售量/桶桶6 67 78 89 9101011111212480480440440400400360360320320280280240240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利润为y元，则有日均销售量为 （桶）（桶）而 有最大值有最大值 只需将销售单价定为只需将销售单价定为11.511.5元，就可获得最大的利润。元，就可获得最大的利润。利润怎样产生的？销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶分析分析：由表中信息可知由表中信息可知人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑59 1、某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2km，慢车到终点站需16min，快车比慢车晚发车3min，且行驶10min到达终点站。试写出两车所行路程关于慢车行驶时间的函数关系式。并回答：两车何时相遇？相遇时距始发站多远？巩固练习人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习可编辑603、用一条长为米的钢丝折成一个矩形，该矩形长为多少时，面积最大？巩固练习人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习2024/1/31 周三61