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高二数学上第5讲
第5讲 空间向量及运用（教师版）
一．学习目标：
1.理解直线的方向向量与平面的法向量．
2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．
3．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．
4．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
二．重点难点：
1.重点：（1）如何求直线的方向向量和平面的法向量，并通过它们研究线面关系，（2）会用向量法求各种空间角及空间距离．　
2.难点：正确掌握空间角的类型及各自的范围，特别注意两平面法向量的夹角与二面角的关系．　
三． 知识梳理：
（一）空间向量及其有关概念

语言描述
共线向量(平行向量)
表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合．

共面向量
平行于同一平面的向量．
共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb.
共面向量定理
若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
空间向量基本定理[来源:学.科.网]
(1)定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝x a＋y b＋z c．
(2)推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1.
（二）、数量积及坐标运算
1．两个向量的数量积
(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；
(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；
(3)|a|2＝a2，|a|＝.
2．向量的坐标运算

a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量和
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量差
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数量积
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
垂直
a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
夹角

公式
cos〈a，b〉＝
（三）、平面的法向量
(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量．
(2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一的．
（四）用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.
(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.
(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.
(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1 ∥u2.
（五） 用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.
(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.
(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.
（六）利用向量求空间角与距离：
1．两条异面直线所成的角的求法
设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)．
2．直线和平面所成角的求法
如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝.

3．求二面角的大小
(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．

(2)如图2、3，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．
4．点面距的求法：如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝ .
四．典例剖析：
题型一 向量法证明平行与垂直
例1（2012年福建理高考题）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点。

（Ⅰ）求证：B1E⊥A D1（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由。
解:(1)以点A为原点建立空间直角坐标系,设,则

,故
(2)假设在棱上存在一点,使得平面,则
设平面的法向量为,则有,取,可得,要使平面,只要
,又平面,存在点使平面,此时.
课堂练习1：（2012年高考（江苏））如图,在直三棱柱中,,分别是棱上的点(点 不同于点),且为的中点.
求证:(1)平面平面;(2)直线平面.
证明:(1)∵是直三棱柱,∴平面.
又∵平面,∴.
又∵平面,∴平面. 又∵平面,∴平面平面.
(2)∵,为的中点,∴.
又∵平面,且平面,∴.
又∵平面,,∴平面.
由(1)知,平面,∴∥.
又∵平面平面,∴直线平面
课堂小结：：证明线面平行和垂直问题，可以用几何法，也可以用向量法，用向量法的关键在于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定理及两向量垂直的判定定理．若能建立空间直角坐标系，其证法较为灵活方便．

二 向量法求异面直线所成角
例2 如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝BF＝1.求直线EC1与FD1所成的角的余弦值．
解　以A为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D1(0,3,2)，E(3,0,0)，F(4,1,0)，C1(4,3,2)，于是＝(1,3,2)，＝(－4,2,2)，设EC1与FD1

所成的角为β，则：
cos β＝＝＝，
∴直线EC1与FD1所成的角的余弦值为.
课堂练习2：正四面体A-BCD中，AE=3EB,DF=3FC,求异面直线AF,CE所成角。

解：将此正四面体补形在棱长为4的正方体中，建立空间直角坐标系如图，则各点坐标分别为：A(4，0，0),B(4,4,4) ,C(0,4,0),D(0,0,4),E(4,3,3),F(0,3,1),∴=(-4，3，1),
=(4,-1,3),∴=,∴异面直线AF,CE所成角的余弦值为。

三 向量法求直线与平面所成角
例3（2013年高考新课标1（理））如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.
(Ⅰ)证明AB⊥A1C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.

解：(Ⅰ)取AB中点E,连结CE,,,

∵AB=,=,∴是正三角形,
∴⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵=E,∴AB⊥面,
∴AB⊥;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,⊥AB,
又∵面ABC⊥面,面ABC∩面=AB,∴EC⊥面,∴EC⊥,
∴EA,EC,两两相互垂直,以E为坐标原点,的方向为轴正方向,||为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系,
有题设知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则=(1,0,),==(-1,0,),=(0,-,), 设=是平面的法向量,
则,即,可取=(,1,-1),
D
A
B
P
C
E
∴=, ∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为
课堂练习3：（2012年高考（大纲文））如图,四棱锥中,底面为菱形,底面,,,是上的一点,.
(Ⅰ)证明:平面;(Ⅱ)设二面角为90°,求与平面所成角的大小.
解:设,以为原点,为轴,为轴建立空间直角坐标系,则设.
(Ⅰ)证明:由得, 所以,,,所以, .所以,,所以平面;
(Ⅱ) 设平面的法向量为,又,由得,设平面的法向量为,又,由,得,由于二面角为,所以,解得.
所以,平面的法向量为,所以与平面所成角的正弦值为,所以与平面所成角为.
题型四 向量法求二面角
例4 （2013年高考陕西卷（理））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, .
(Ⅰ) 证明: A1C⊥平面BB1D1D; (Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小.

【答案】解:(Ⅰ) ;又因为,在正方形AB CD中,.
在正方形AB CD中,AO = 1 .
. [来源:学_科_网]
.(证毕)
(Ⅱ) 建立直角坐标系统,使用向量解题.
以O为原点,以OC为X轴正方向,以OB为Y轴正方向.则
.
由(Ⅰ)知, 平面BB1D1D的一个法向量
设平面OCB1的法向量为
.
所以,平面OCB1与平面BB1D1D的夹角为
课堂练习4 （2012年高考广东理）如图5所示,在四棱锥中,底面为矩形,平面,点在线段上,平面.(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)若,,求二面角的正切值.
解析:(Ⅰ)因为平面,平面,所以.又因为平面,平面,所以.而,平面,平面,所以平面.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面,而平面,所以,而为矩形,所以为正方形,于是. 以点为原点,、、为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系.则、、、,于是,.设平面的一个法向量为,则,从而,令,得.而平面的一个法向量为.所以二面角的余弦值为,于是二面角的正切值为3.
五．品味高考（家庭作业）：
1.（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知正四棱柱中,则与平面所成角的正弦值等于 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
2.（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题）已知三棱柱的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形.若为底面的中心,则与平面所成角的大小为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
3.（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.(I)求证:
(II)

（1）（证明略）
（2）解：

4.（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题）如图,四棱锥中,,,为的中点,.(1)求的长; (2)求二面角的正弦值.

【答案】

5.（2013年高考湖北卷（理））如图,是圆的直径,点是圆上异于的点,直线平面,,分别是,的中点.
(I)记平面与平面的交线为,试判断直线与平面的位置关系,并加以证明;
(II)设(I)中的直线与圆的另一个交点为,且点满足.记直线与平面所成的角为,异面直线与所成的角为,二面角的大小为,求证:.
第19题图

【答案】解:(I), ，,
，又
(II)连接DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.)