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第2章　导数的应用 76
第3章 微分中值定理与导数的应用

3.1.1 罗尔定理
定理3.1 如果函数满足：
(1) 在闭区间上连续；
(2) 在开区间内可导；
(3) ．
那么，在内至少存在一点，使得
．
这就是罗尔()定理．

图
这个定理的几何解释如图所示，如果连续曲线在开区间内的每一点处都存在不垂直于轴的切线，并且两个端点、处的纵坐标相等，即连结两端点的直线平行于轴，则在此曲线上至少存在一点，使得曲线在点处的切线与轴平行．
．
3.1.2 拉格朗日中值定理
定理3.2 如果函数满足：
(1) 在闭区间上连续；
(2) 在开区间内可导．
那么，在内，至少存在一点，使得
． （3-1）
也可以写成
．
这就是拉格朗日()中值定理．在此定理中，如果区间的两个端点处的函数值相等，就变成了罗尔定理．也就是说，罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况．
拉格朗日定理的几何解释如图3-2所示，若是闭区间上的连续曲线弧段，连接点和点的弦的斜率为，而弧段上某点的斜率为．定理3.2的结论表明：在曲线弧段上至少存在一点，使得曲线在点处的切线与曲线的两个端点连线平行．

图3-2
拉格朗日定理有两个推论：
推论1 如果在区间内，函数的导数恒等于零，那么在区间内，函数是一个常数．
证明 在区间内任取两点，在上，用拉格朗日中值定理，有
．
由于函数的导数恒等于零，所以
．
这说明在区间内，函数的在任何两点处的函数值都相等．故在区间内，函数是一个常数．
推论2 如果在区间内，，则在区间内，与只相差一个常数，即
(为一常数)．
证 令，则
，
由推论1知，为一常数，于是有
(为常数)．
．
*3.1.3 柯西中值定理
定理3.3 设函数与函数满足：
(1) 在闭区间上连续；
(2) 在开区间内可导；
(3) 在区间内．
那么，在内，至少存在一点，使得
． （3-2）
这就是柯西()中值定理．在此定理中，若，则其就变成了拉格朗日定理，说明拉格朗日定理是柯西定理的特殊情况．
3.2 洛必达法则
重点：洛必达法则的应用。
难点：洛必达法则的应用。

中值定理的一个重要应用是计算函数的极限.在第一章求极限时，我们经常遇到形如当(或)时，函数的分子、分母都趋近于零或都趋近于无穷大的情况.对于这种函数是不能直接利用商的极限运算法则去求其极限的．极限可能存在，也可能不存在．通常把这种极限叫做未定式，分别简记为“”或“”型．下面介绍求这类极限的一种简便且重要的方法 洛必达()法则．
对于“”型的极限，有下面的法则：
法则1 如果函数与函数满足：
(1) ；
(2) 函数与在点的邻域内均可导，且；
(3) 存在(或为无穷大)．
那么
．
．
对于“”型的极限，有下面法则：
法则2 如果函数与函数满足：
(1) ；
(2) 函数与在点的邻域内均可导，且；
(3) 存在(或为无穷大)．
那么
．
使用洛必达法则必须注意以下两点：
（1）洛必达法则只适用于未定式，其他未定式须先化成这两种类型之一，然后再用该法则；
（2）洛必达法则的条件是充分的，但不是必要的，因此，该法则失效但极限仍有可能存在.
有些极限虽然是未定式，但使用洛必达法则无法计算出其极限值，这时应考虑用其它方法．例如求，两次使用洛必达法则后，又还原成原来的形式，因而洛必达法则对它失效，事实上
．
3.3 函数的单调性与极值
3.3.1 函数的单调性
函数的单调性是函数的一个重要性态，它反映了函数在某个区间随自变量的增大而增大（或减少）的一个特征.但是，利用单调性的定义来讨论函数的单调性往往是比较困难的.本节利用导数符号来研究函数的单调性．
由图3-3可以看出，当函数在上是单调增加时，其曲线上任一点的切线的倾斜角都是锐角，因此它们的斜率都是正的，由导数的几何意义知道，此时，曲线上任一点的导数都是正值，即＞0．
由图3-4可以看出，当函数在上是单调减少时，其曲线上每一点的切线的倾斜角都是钝角，因此它们的斜率都是负的，此时，曲线上任一点的导数都是负值，即＜0．

图3-3 图3-4
定理3.4 设函数在内可导，则
(1) 如果在内，那么函数在内单调增加；
(2) 如果在内，那么函数在内单调减少．
注 在区间内个别点处导数等于零，不影响函数的单调性．如幂函数，其导数在原点处为，但它在其定义域内是单调增加的．
3.3.2 函数的极值
１．极值的概念
如图3-5所示，函数在点的函数值比它左右近旁的函数值都大，而在点的函数值比它左右近旁的函数值都小，对于这种特殊的点和它对应的函数值，我们给出如下定义：
定义3.1 设函数在区间内有定义，是内的一个点．
(1) 如果对于点近旁的任一点，都有，那么称为函数的一个极大值，点称为的一个极大值点．
(2) 如果对于点近旁的任一点，都有，那么称为函数的一个极小值，点称为的一个极小值点．
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为函数的极值点．

图3-5
如图3-5中的和是函数的极大值点，和是函数极大值；和是函数的极小值点，和是函数的极小值．
注意 (1) 极值只是一个局部概念，它仅是与极值点邻近的函数值比较而言较大或较小的，而不是在整个区间上的最大值或最小值．函数的极值点一定出现在区间的内部，在区间的端点处不能取得极值；
(2) 函数的极大值与极小值可能有很多个，极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小；
(3) 函数的极值可能取在导数不存在的点．
２．函数极值的判定
从图3-5可以看出，曲线在点、、、取得极值处的切线都是水平的，即在极值点处函数的导数等于零．对此，我们给出函数存在极值的必要条件：
定理3.5 如果函数在点处可导且取得极值，那么．
使得函数的导数等于零的点(即方程的实根)，叫做函数的驻点．
定理3.5说明，可导函数的极值点必定是它的驻点，但是，函数的驻点不一定是它的极值点．例如点是函数的驻点，但不是极值点．所以定理3.5还不能解决所有求函数极值的问题．但是，定理3.5提供了寻求可导函数极值点的范围，即从驻点中去寻找．还要指出连续但不可导点也可能是其极值点，如，在处连续，但不可导，而是该函数的极小点．
判断驻点是否是极值点，我们有如下定理：
定理3.6 设函数在点的近旁可导，且．
(1) 如果当时，；当时，，那么是极大值点，是函数的极大值；
(2) 如果当时，；当时，，那么是极小值点，是函数的极小值．
(3) 如果在点的左右两侧，同号，那么不是极值点，函数在点处没有极值．
图3-6分别显示了以上三种情形：

(1) (2) (3)
图3-6
根据定理3.5和定理3.6，可得到求函数极值点和极值的步骤如下：
(1) 求出函数的定义域；
(2) 求出函数的导数；
(3) 令，求出函数在定义域内的全部驻点；
(4) 用所有驻点和导数不存在的点把定义域分成若干个部分区间，列表考察每个部分区间内的符号，确定极值点；
(5) 求出各极值点处的函数值，即得函数的全部极值．
1．闭区间上连续函数的最值
设函数在闭区间上连续，由闭区间上连续函数的性质知道，函数在闭区间上一定有最大值与最小值．最大值与最小值可能取在区间内部，也可能取在区间的端点处，如果取在区间内部，那么，它们一定取在函数的驻点处或者导数不存在的点处．
函数的极值是局部概念，在一个区间内可能有很多个极值，但函数的最值是整体概念，在一个区间上只有一个最大值和一个最小值．
由以上分析知，求函数在闭区间上的最大值与最小值的步骤为：
(1) 求出在区间内的所有驻点，导数不存在的点，并计算各点的函数值；
(2) 求出端点处的函数值和；
(3) 比较以上所有函数值，其中最大的就是函数在上的最大值，最小的就是函数在上的最小值．
3.4 函数图形的描绘
3 4 1曲线的凹凸与拐点
研究函数的单调性与极值，对于了解函数的性态，描绘函数的图形起到了重要作用．但是仅依赖于这些知识，还不能比较准确地描绘出函数的图形．例如函数与在上的图形(图3-10)，其曲线都是单调上升的，但他们的弯曲方向却不同，这就是所谓的凹与凸的区别．曲线上任一点的切线均位于曲线下方，形状是凹的，而曲线上任一点的切线均位于曲线上方，形状是凸的．

图3-10
一般地，从图3-11可以看出，在向下凸的曲线弧段上，任一点处的切线都在曲线的下方；在向上凸的曲线弧段上，任一点处的切线都在曲线的上方．对于此，我们给出下面的定义：
定义3.2 如果在某区间内，曲线弧段上任一点处的切线都在曲线的下方，那么称此曲线弧段为凹曲线；曲线弧段上任一点处的切线都在曲线的上方，那么称此曲线弧段为凸曲线．
从图3-11中还可以看出，当曲线弧段是凹的时候，其切线的斜率是逐渐增加的，即函数的导数是单调增加的；当曲线弧段是凸的时候，其切线的斜率是逐渐减少的，即函数的导数是单调减少的．根据函数单调性的判定方法，有如下定理：

图3-11
定理3.7 设函数在区间内具有二阶导数．
(1) 如果当时，恒有，则曲线在区间内是凹的；
(2) 如果当时，恒有，则曲线在区间内是凸的．
定义3.3 连续曲线上凸的曲线与凹的曲线的分界点叫做曲线的拐点．
3.4.2曲线的渐近线
先看我们熟悉的函数，如：
(1) 函数，当时，函数值无限趋近于零，那么曲线无限接近于直线；
(2) 函数，当时，函数值的绝对值无限增大，那么曲线无限接近于直线；
（3）函数，当时，函数值无限接近于，那么曲线无限接近于直线；当时，函数值无限接近于，那么曲线无限接近于直线．
一般地，当曲线上的一动点沿着曲线移向无穷远时，如果点到某定直线的距离趋向于零，那么直线就称为曲线的一条渐近线.渐近线分为水平、垂直和斜渐近线，我们给出下面的定义：
定义3.4 设曲线，
(1) 如果（或，），则称直线为曲线的一条水平渐近线；
(2) 如果（或，），则称直线为曲线的一条垂直渐近线．
3.2.3函数图形的描绘
本章我们利用导数讨论了函数的各种性质，下面我们给出描绘函数的图形一般步骤：
(1) 确定函数的定义域；
(2) 考察函数的奇偶性，从而判断曲线的对称性(如果函数不具有奇偶性，这一步可省略)；
(3) 判断函数的单调性，并求出极值；判断曲线的凹凸性，并求出拐点；
(4) 确定曲线的渐近线；
(5) 必要时，取一些辅助点；
(6) 作出上述各点，把它们连成光滑的曲线，从而描绘出函数的图像．