高中数学导数、微积分测试题.doc

导数、微积分
1、（2012德州二模）如图，在边长为π的正方形内的正弦曲线轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往正方形内投一个点P，则点P落在区域M内的概率是
A． B．
C． D．
答案：B
解析：区域M的面积为：SM＝＝－cosx＝2，而正方形的面积为S＝，所以，所求概率为P＝，选B。
2、（2012济南三模）已知函数，若成立，则＝________.
答案：
解析：因为f(x)dx＝ (3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝4，所以2(3a2＋2a＋1)＝4⇒a＝－1或a＝.
3、（2012莱芜3月模拟）函数的图像与x轴所围成的封闭图形的面积为 .
【答案】
【解析】
4、（2012济南三模）已知、是三次函数的两个极值点，且，，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
答案：B
解析：因为函数有两个极值，则有两个不同的根，即，又，又，所以有，即。的几何意义是指动点到定点两点斜率的取值范围，做出可行域如图，，由图象可知当直线经过AB时，斜率最小，此时斜率为，直线经过AD时，斜率最大，此时斜率为，所以，选B.
5、（2012临沂3月模拟）函数在点处的切线与函数围成的图形的面积等于_________；
【答案】
【解析】函数的导数为，所以，即切线方程为，整理得。由解得交点坐标为，所以切线与函数围成的图形的面积为。
6、（2012临沂二模）已知，是由直线，和曲线围成的曲边三角形区域，若向区域上随机投一点，点落在区域内的概率为，则的值是
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】区边三角形的面积为，区域的面积为1，若向区域上随机投一点，点落在区域内的概率，所以，所以，选D.
7、（2012青岛二模）设，则二项式展开式中不含项的系数和是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，所以，二项式为，展开式的通项为，令，即，所以，所以的系数为，令，得所有项的系数和为，所以不含项的系数和为，选C.
8、（2012青岛二模）已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示. 下列关于的命题：

①函数的极大值点为，；
②函数在上是减函数；
③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；
④当时，函数有个零点；
⑤函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个．
其中正确命题的序号是 ．
【答案】①②⑤
【解析】由导数图象可知，当或时，，函数单调递增，当或，，函数单调递减，当和，函数取得极大值，，当时，函数取得极小值,所以①正确；②正确；因为在当和，函数取得极大值，，要使当函数的最大值是4，当，所以的最大值为5，所以③不正确；由知，因为极小值未知，所以无法判断函数有几个零点，所以④不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分或两种情况，由图象知，函数和的交点个数有0,1,2，3,4等不同情形，所以⑤正确，综上正确的命题序号为①②⑤。
9、（2012青岛3月模拟）直线与抛物线所围成封闭图形的面积是 A． B． C． D．
答案：C
【解析】联立方程求得交点分别为
所以阴影部分的面积为
10、（2012日照5月模拟）如图，由曲线，直线与轴围成的阴影部分
的面积是
（A）1
（B）2
（C）
（D）3
答案：D
【解析】由定积分的几何意义，阴影部分的面积等于选D.
11、（2012泰安一模）已知，A是曲线与围成的区域，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题为几何概率.区域的面积为.区域A的面积为，所以点P落入区域A的概率为，选D.
12、（2012滨州二模）已知函数f（x）＝，g（x）＝elnx。
　　　（I）设函数F（x）＝f（x）－g（x），求F（x）的单调区间；
　　　（II）若存在常数k，m，使得f（x）≥kx＋m，对x∈R恒成立，且g（x）≤kx＋m，对x∈（0，＋∞）恒成立，则称直线y＝kx＋m为函数f（x）与g（x）的“分界线”，试问：f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请说明理由。
解析：（I）由于函数f（x）＝，g（x）＝elnx，
因此，F（x）＝f（x）－g（x）＝－elnx，
则＝＝，
当0＜x＜时，＜0，所以F（x）在（0，）上是减函数；
当x＞时，＞0，所以F（x）在（，＋）上是增函数；
因此，函数F（x）的单调减区间是（0，），单调增区间是（，＋）。
（II）由（I）可知，当x＝时，F（x）取得最小值F（）＝0，
则f（x）与g（x）的图象在x＝处有公共点（，）。
假设f（x）与g（x）存在“分界线”，则其必过点（，）。
故设其方程为：，即，
由f（x）≥对x∈R恒成立，
则对x∈R恒成立，
所以，≤0成立，
因此k＝，“分界线“的方程为：
下面证明g（x）≤对x∈（0，＋∞）恒成立，
设G（x）＝，则，
所以当0＜x＜时，，当x＞时，＜0，
当x＝时，G（x）取得最大值0，则g（x）≤对x∈（0，＋∞）恒成立，
故所求“分界线“的方程为：

13、（2012德州二模）设函数
（I）求函数f（x）在点处的切线方程；
（II）设讨论函数的单调性；
（III）设函数，是否同时存在实数m和，使得对每一个，直线都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由。
解析：（I）解：＝lnx＋1（x＞0），则函数在点处的斜率为＝2，f（e）＝e，所以，所求切线方程为y－e＝2（x－e），即y＝2x－e
（II）
＝，
令＝0，则x＝或，
①当0＜＜2，即时，令＞0，解得0＜x＜或x＞
令＜0，解得＜x＜
所以，F（x）在（0，），（，＋）上单调递增，在（，）单调递减。
②当＝2，即时，≥0恒成立，
所以，F（x）在（0，＋）上单调递增。
③当＞2，即时，
所以，F（x）在（0，），（，＋）上单调递增，在（，）单调递减
（III），令＝0，则x＝1，
当x在区间内变化时，的变化情况如下表：

－
0
+

单调递减
极小值1
单调递增
2
又的值域为[1，2]。
据经可得，若，则对每一个，直线y=t与曲线都有公共点。
并且对每一个，直线与曲线都没有公共点。
综上，存在实数m=1和M＝2，使得对每一个，直线y=t与曲线都有公共点。

14、（2012德州一模）已知函数．
(I)求的单调区间；
(Ⅱ)设，若对任意，总存在[0，1]，
使得，求实数a的取值范围．
解析：（I）。
①当时，由于x＞0，故ax＋1＞0，＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，＋）。
②当时，由＝0，得，在区间（0，－）上，＞0，
在区间（－，＋）上，＜0，
所以，当时，所以f（x）的单调递增区间为（0，＋）。
当时，f（x）的单调递增区间为（0，－），f（x）的单调递减区间为（－，＋）
（II）由已知，转化为，又＝g（0）＝1
由（I）知，当时， f（x）在（0，＋）递增，值域为R，故不符合题意。
当时，f（x）在（0，－）递增，在（－，＋）递减，
故f（x）的极大值即为最大值，，
所以1＞－1－ln（－a），解得：a<-

15、（2012济南3月模拟）已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数.
（1） 当a=-1时，求f（x）的最大值；
（2） 若f（x）在区间（0，e］上的最大值为-3，求a的值；
（3） 当a=-1时，试推断方程=是否有实数解.
【答案】解：(1) 当a=-1时，f（x）=-x+lnx，f′(x)=－1+……………………1分
当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0.
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数…………3分
=f（1）=-1…………………………………………………………4分
(2) ∵f′(x)=a+，x∈(0,e］，∈………………………………5分
① 若a≥，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0,e］上增函数
∴=f（e）=ae+1≥0.不合题意…………………………………6分
② 若a<，则由f′(x)>0>0，即0<x<
由f(x)<0<0，即<x≤e.
从而f(x)在上增函数,在为减函数
∴=f=-1+ln………………………………………8分
令-1+ln=-3，则ln=-2
∴=，即a=. ∵<,∴a=为所求……………9分
(3) 由（Ⅰ）知当a=-1时=f（1）=-1，
∴|f（x）|≥1……………………………………………………………10分
又令g（x）=,g′（x）=,令g′(x)=0，得x=e,
当0<x<e时，g′(x)>0,g(x) 在(0,e)单调递增；
当x>e时,g′(x)<0，g(x) 在(e,+∞)单调递减…………………………11分
∴=g（e）= <1, ∴g(x)<1……………………………12分
∴|f（x）|>g(x),即|f(x)|> ……………………………………13分
∴方程|f（x）|=没有实数解.…………………………………14分
16、（2012莱芜3月模拟）已知函数
（Ⅰ）若函数在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）令是否存在实数a，当（e是自然常数）时，函数 的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）当时，证明：
(22).解：解：（Ⅰ）在[1，2]上恒成立，
令，有 得 …………3分
所以. …………4分
（Ⅱ）假设存在实数a，使有最小值3，
. …………5分
①当时，g(x)在[0，e]上单调递减，
（舍去）.
②当时，g(x)在上单调递减，在上单调递增，
所以，满足条件.
③当时，g(x)在[0，e]上单调递减，（舍去）.
综上，存在实数，使得当时，g(x)有最小值3. …………10分
(Ⅲ)令，由（2）知
，令，，
当时，，在上单调递增，
所以.
所以,即. …………14分
17、（2012青岛二模）已知函数.
（Ⅰ）求函数的极大值；
（Ⅱ）令（为实常数），试判断函数的单调性；
（Ⅲ）若对任意，不等式均成立，求实数的取值范围.
解：（Ⅰ）, 的定义域为;
由于，由,
当时，；当时，.
在上为增函数；在上为减函数，
从而. ………………………………………3分
（Ⅱ），
，………………………………………4分
① 当,即时，，
在上为增函数；…………………………………………………………5分
②当，即时，.
由,
,
（ⅰ）若，则， 时，，
在上为增函数；…………………………………………………………7分
(ⅱ)若，则，
时，；时，，
在上为增函数,在上为减函数.
综上可知：当时，在上为增函数；
当时，在上为增函数，在上为减函数.
…………………………9分
（Ⅲ）由,
,,而，
要对任意，不等式均成立，必须：
与不同时为0. ………………………………………………………11分
因当且仅当时，=0，所以为满足题意必有，
即. …………………………………………………………………12分
18、（2012青岛3月模拟）已知函数.
（Ⅰ）记，求的极小值；
（Ⅱ）若函数的图象上存在互相垂直的两条切线，求实数的值及相应的切点坐标.
解：（Ⅰ）由已知：，,
由，或 ,
当时，，在为增函数，此时不存在极值；
当时，变化时，变化如下：

0

+
0
-
0
+

极大

极小

由上表可知：.
当时，变化时，变化如下：

+
0
-
0
+

极大

极小

由上表可知：.
（Ⅱ）
设两切点分别为，则
即

，方程的判别式,
即,又，
从而可得：
上式要成立当且仅当，或
此时方程的解为 .
，存在，此时函数的图象在点处的切线和在点处的切线互相垂直.

19、（2012日照5月模拟）已知二次函数的一个零点是，函数，是自然对数的底数.设函数.
（Ⅰ）过坐标原点O作曲线的切线，证明切点的横坐标为1；
（Ⅱ）令，若函数在区间（0，1］上是单调函数，求的取值范围。
解：（Ⅰ）∵-a是二次函数的一个零点，∴b=0.

. ………………………………………………2分
设切点为则切线的斜率.
整理得.显然，是这个方程的解. ………………4分
又因为在（0，）上是增函数，
所以方程有唯一实数解。故.……………………6分
（Ⅱ）…………………………7分
设则.………………8分
易知在上是减函数，从而.
（1）当2-a0，即时，，h(x)在间（0，1）上是增函数。
∵在上恒成立，即在上恒成立。
∴F(x)在区间上是减函数。所以，满足题意. …………………………10分
（2）当2-a<0，即a>2时，设函数的唯一零点为，
则在（0，）上递增，在上递减。又∵.
又∵，
∴h(x)在（0，1）内有唯一一个零点，
当时，h（x）<0,当时，h(x)>0.
从而F（x）在（0，）递减，在（，1）递增，与在区间上是单调函数矛盾。
∴a>2不合题意.
综合（1）（2）得，.即a的取值范围是. …………………………14分
20、（2012威海二模）已知函数．
（Ⅰ）当时，求在区间上的最值；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）当时，有恒成立，求的取值范围．
解：（Ⅰ）当时，，
∴．
∵的定义域为，∴由 得． ---------------------------2分
∴在区间上的最值只可能在取到，
而，
∴ ． ---------------------------4分
（Ⅱ）．
①当，即时，在单调递减；-------------5分
②当时，在单调递增； ----------------6分
③当时，由得或（舍去）
∴在单调递增，在上单调递减； --------------------8分
综上，
当时，在单调递增；
当时，在单调递增，在上单调递减．
当时，在单调递减； -----------------------9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，
即原不等式等价于 ---------------------------10分
即
整理得
∴， ----------------------------11分
又∵，所以的取值范围为. ---------------------------12分
21、（2012烟台二模）已知函数
（1）当a=1时，求的单调区间；
（2）对任意的＞0恒成立，求a的最小值.
解析：（1）当a＝1时，f（x）＝x－1－2lnx，则＝1－，
由＞0，得x＞2，＜0，得0＜x＜2，
故函数f（x）的单调减区间为（0，2］，单调增区间为（2，＋）。
（2）对任意的＞0恒成立，即对，恒成立，
令l（x）＝，，则
，
再令m（x）＝。，则＜0，
故m（x）在上为减函数，于是m（x）＞m（）＝2－2ln 2>0
从而＞0，于是l（x）在上为增函数，
所以，l（x）＜l（）＝2－4ln2，故要使恒成立，只需
，所以，a的最小值为2－4ln2