习题8.2反常积分的收敛判别法.doc

习 题 8.2 反常积分的收敛判别法

⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）；
⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中或时，和的敛散性可以产生各种不同的的情况。
解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在上恒有，其中是正常数。则
当收敛时也收敛；
当发散时也发散。
证 当收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，
，，：。
于是
，
所以也收敛；
当发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，
，，：。
于是
，
所以也发散。
（2）设在上有，且。则当发散时，也发散；但当收敛时，可能收敛，也可能发散。
例如，，则。显然有
收敛，而对于，则当时收敛，当时
发散。
设在上有，且。则当收敛时，也收敛；但当发散时，可能发散，也可能收敛。
例如，，则。显然有
发散，而对于，则当时发散，当时收敛。
⒉ 证明Cauchy判别法及其极限形式（定理8.2.3）。
证 定理8.2.3（Cauchy判别法） 设在上恒有，是正常数。
⑴ 若，且，则收敛；
⑵ 若，且，则发散。
推论（Cauchy判别法的极限形式）设在上恒有，且
，
则
⑴ 若，且，则收敛；
⑵ 若，且，则发散。
证 直接应用定理8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极限形式），将函数取为。
⒊ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性：
⑴
;

⑵
;
⑶
;

⑷
（）.
解 （1）当时，
～，
所以积分收敛。
（2）当时，
～，
所以积分收敛。
（3）因为当时有
，
而积分发散，所以积分发散。
（4）当时，
～，
所以在时，积分收敛，在其余情况下积分
发散。
⒋ 证明：对非负函数，收敛与收敛是等价的。
证 显然，由收敛可推出收敛，现证明当时可由收敛推出收敛。
由于收敛，可知极限

存在而且有限，由Cauchy收敛原理，
，，：，
于是与，成立
与 ，
这说明积分与都收敛，所以积分收敛。
⒌ 讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同）：
⑴
;

⑵
（）;
⑶
（）;

⑷
;

⑸
（和分别是和次多项式，
在范围无零点。）
解 （1）因为有界，在单调，且，由Dirichlet判别法，积分收敛；
由于 ，而积分
发散，收敛，所以积分发散，即积分条件收敛。
（2）当时，，而收敛，所以当时积分
绝对收敛；
当时，因为有界，在单调，且，由Dirichlet判别法，积分收敛；但因为当时积分发散，所以当时积分条件收敛。
（3）当时，，而收敛，所以当时积分绝对收敛；
当时，因为有界，在单调，且，由Dirichlet判别法，积分收敛；但因为当时积分发散，所以当时积分
条件收敛。
（4）令，，由于条件收敛，可知积分条件收敛。
（5）当且充分大时，有，可知当时积分绝对收敛。
当时，因为有界，且当充分大时，单调且，由Dirichlet判别法可知收敛；但由于当时，～，易知发散，所以当时，积分条件收敛。
当时，由，为非零常数、或，易知积分发散。
⒍ 设在只有一个奇点，证明定理8.2.和定理8.2.。
定理8.2.（Cauchy判别法） 设在上恒有，若当属于的某个左邻域时，存在正常数，使得
⑴ ，且，则收敛；
⑵ ，且，则发散。
证 （1）当时，积分收敛，由反常积分的Cauchy 收敛原理，
，，：。
由于，所以收敛。
（2）当时，积分发散，由反常积分的Cauchy 收敛原理，
，，：。
由于，所以发散。
推论（Cauchy判别法的极限形式）设在上恒有，且
，
则
⑴ 若，且，则收敛；
⑵ 若，且，则发散。
证 （1）由 （），可知
，：，
再应用定理8.2.的（1）。
（2）由 （），可知
，：，
再应用定理8.2.的（2）。
定理8.2. 若下列两个条件之一满足，则收敛：
⑴（Abel判别法） 收敛，在上单调有界；
⑵（Dirichlet 判别法）在上有界，在上单调且。
证 （1）设，因为收敛，由Cauchy收敛原理，
，，：。
由积分第二中值定理，

。
（2）设，于是，有。因为，，，，有。由积分第
二中值定理，

。
所以无论哪个判别法条件满足，由Cauchy收敛原理，都有收敛的结论。
⒎ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性：
⑴
;

⑵
;
⑶
;

⑷
;
⑸
;

⑹
;
⑺
.
解 （1）因为～，～，所以积分收敛。
（2）因为，且对任意，，即当充分小时，有，所以积分收敛。
（3）因为～，～，所以积分发散。
（4）因为～，所以当时积分收敛，当时积分发散。
（5）首先对任意的与任意的，有，即当充分小时，有；且 ～。所以当时，积分收敛，当时，积分发散。
（6）～，～，所以在时积分收敛，在其余情况下积分
发散。
（7）～，且
，即当充分小时，有
，所以当时积分收敛，在其余情况下积分发散。
⒏ 讨论下列反常积分的敛散性：
⑴
();

⑵
;
⑶
;

⑷
;
⑸
;

⑹
;
⑺
;

⑻
.
解（1）。
当，时积分与积分显然收敛，且当时，
～，
即不是反常积分，所以积分收敛。
（2）
。
因为
～，
～，
所以积分收敛；
因为
～，
～，
所以积分收敛；
因为
～，
～，
所以积分收敛。
由此可知积分收敛。
（3）。
由～，可知当时，积分收敛，当时，积分发散；
当时，，即当充分大时，有
，其中，可知当时，积分收敛，当时，积分发散；
综上所述，当时，积分收敛，在其余情况下积分发散。
（4）。
由～,可知当时积分收敛；
由～，可知当时积分收敛。
所以当时积分收敛，在其余情况下积分
发散。
（5）。
由～，可知当时积分收敛，当时积分发散；
由～，可知积分收敛。
所以当时积分收敛，当时积分
发散。
（6）。
由于积分收敛，及～，所以当时积分收敛，当时积分发散。
（7）。
当时，显然积分发散；
当时，由于
～，～，
所以当，且时积分收敛，其余情况下积分发散。
（8）设，则对任意的，当充分大时，有，因为，可知积分收敛。
设，则对任意的，当充分大时，有，因为，可知积分发散。
设，令，则，由此可知当 或 时积分收敛，在其余情况下积分发散。
⒐ 讨论下列反常积分的敛散性：
⑴
;

⑵
();
⑶
;

⑷
;
(5)
；

(6)
().
解（1）。
由～，～，可知当时积分收敛，在其余情况下积分发散。
（2）当时，由，可知积分绝对收
敛。
当时，因为有界，当充分大时单
调减少，且，由Dirichlet判别法，积分收敛；
但因为积分发散，所以当时积分条
件收敛。
当时，由于时不趋于零，可知积分
发散。
（3）。
由～，可知当时积分收敛，在其余情况下积分发散。
当时，易知积分发散；当时，易知积分发散。
当时，因为，单调减少，且，由Dirichlet判别法；可知积分收敛。
综上所述，当时，积分条件收敛，在其余情况下积分发散。
（4）。
由～，可知当时积分收敛，在其余情况下积分发散。
当时，显然积分收敛；当时，易知积分发散；当时，易知积分发散。
当时，因为，可知有界，且单调减少，，由Dirichlet判别法，可知积分
收敛。
综上所述，当时积分绝对收敛，当时积分条件收敛，在其余情况下积分发散。
（5）令，则
。
于是可知当时积分绝对收敛；当时积分条件收敛，当时积分发散。
（6）当时，因为，可知积分绝对收敛。
当时，因为，而级数
发散，所以积分发散；又因为
，注意到当充分大时，与都是单调减少的，由Dirichlet判别法可知积分收敛，所以积分条件收敛。
10．证明反常积分收敛。
证 对任意，由分部积分法，

。
显然，当时，等式右端的三项都趋于零，由Cauchy收敛原理，可知反常积分收敛。
11．设单调，且当时，证明： 收敛的必要条件是。
证 首先由的单调性，对于充分小的，有
。
由Cauchy收敛原理，，于是得到
。
12．设收敛，且在上单调减少，证明:
。
证 首先容易知道当时，单调减少趋于，于是有
，且
。
然后由Cauchy收敛原理，，于是得到
。
13．设单调下降，且，证明：若在上连续，则反常积分收敛。
证 首先由分部积分法，
。
由于有界，单调下降，且，由
Dirichlet判别法，可知积分收敛，从而积分收敛。
14. 设绝对收敛，且，证明收敛。
证 首先由，可知，，有，即当时，
成立。因为积分绝对收敛，于是由比较判别法，
积分收敛。
15． 若收敛，则称在上平方可积（类似可定义无界函数在上平方可积的概念）。
⑴ 对两种反常积分分别探讨平方可积与的反常积分收敛之间的关系；
⑵ 对无穷区间的反常积分，举例说明，平方可积与绝对收敛互不包含；
⑶ 对无界函数的反常积分，证明：平方可积必定绝对收敛，但逆命题不成立。
解 （1）收敛不能保证收敛，例如：，
则收敛，但发散；
收敛不能保证收敛，例如：，则
收敛，但发散。
（2）收敛不能保证绝对收敛，例如：，则收敛，但不是绝对收敛的；
绝对收敛不能保证收敛，例如：
，则绝对收敛，但发散。
（3）由，可知收敛保证绝对收敛；
但绝对收敛不能保证收敛，例如：，则
绝对收敛，但发散。
16. 证明反常积分

当时发散，当时条件收敛，当时绝对收敛。
证 当时，对充分大的，有，由于积分
收敛，可知积分绝对收敛。
当时，利用等式
。
这时积分收敛；积分当时收敛，当发散。
当时，由于，因为级数发散，所以积分发散。
综上所述，当时，积分条件收敛；当时，积分发散。
当时，因为有，由
Cauchy收敛原理，可知积分发散。
17