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两因素完全随机实验设计

一、两因素完全随机实验设计的基本特点
当在一个实验中，研究者同时操纵两个或多个自变量时，应该使用因素实验设计。与单因素实验设计相比，因素实验设计的一个明显的优点是，它可以对两个或多个自变量之间的交互作用进行估价，从而可获得比单因素实验更加丰富的信息。
最简单的因素实验设计是完全随机因素设计。一个两因素完全随机实验设计适合用于这样的研究条件：
1.研究中有两个自变量，每个自变量有两个或多个水平。
2.如果一个自变量有p个水平，另一个自变量有q个水平，实验中含p×q个处理的结合，研究者感兴趣于所有处理水平的结合的效应。
它的基本方法是，随机分配被试接受实验处理的结合，每个被试接受一个实验处理的结合。与单因素完全随机设计不同，在两因素完全随机设计中，每个被试接受的是一个处理的结合，而不是一个处理水平，两种实验设计中分配被试的图解如下：
a1
a2
a3
a4
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
S10
S11
S12
S13
S14
S15
S16
(a)单因素完全随机设计
a1
a1
a1
a2
a2
a2
b1
b2
b3
b1
b2
b3
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
S10
S11
S12
S13
S14
S15
S16
S17
S18
S19
S20
S21
S22
S23
S24
(b)两因素完全随机设计
图3-1-1 单因素与两因素完全随机实验设计中分配被试的比较
图解中可以看出，在这个两因素完全随机实验设计中，两个自变量的所有水平的结合都被测量了，这叫做处理水平是完全交叉(crossed)的。一个两因素完全随机设计需要的被试量是N=npq ，其中n接受同一实验条件的被试的数量，p、q分别是因素A、B的水平数。随着n的增加，实验中需要的被试数量迅速增加。

二、两因素完全随机实验设计与计算举例
(一)研究的问题与实验设计
如果在文章生字密度的研究中，同时想探讨文章主题熟悉性对阅读理解的影响，可以做一个两因素完全随机实验设计。研究者预期，当文章主题熟悉性不同时，生字密度对阅读理解的影响可能产生变化。他选择了两种类型的文章：主题是儿童不熟悉的(a1)，例如激光技术，和主题是儿童非常熟悉的(a2)，例如春游。他使用的三种生字密度是5:1(b1)、10:1(b2)和20:1(b3)。这是一个两因素设计，实验中有6种处理水平的结合。研究者选择24名五年级学生，将他们随机分为6组每组，接受一种处理水平的结合。
(二)实验数据及其计算
1.计算表
表3-1-2 两因素完全随机实验的计算表
ABS表
a1
a1
a1
a2
a2
a2
b1
b2
b3
b1
b2
b3
3
4
5
4
8
12
6
6
7
5
9
13
4
4
5
3
8
12
3
2
2
3
7
11
AB表

b1
b2
B3
∑

n=4

a1
16
16
19
51
a2
15
32
48
95
∑
31
48
67
146
2.各种基本量的计算

3.平方和的分解与计算
(1)平方和分解模式：
SS总变异=SS处理间+SS处理内
=(SSA+SSB+SSAB)+SS单元内
(2)平方和的计算：
SS总变异=[ABS]-[Y]=251.833
SSA=[A]-[Y]=80.666
SSB=[B]-[Y]=81.083
SSAB=[AB]-[Y]-SSB-SSA=56.584
SS单元内=SS总变异-SSA-SSB-SSAB=33.500
4.方差分析表及对结果的解释
表3-1-3 两因素完全随机实验的方差分析表
变异来源
平方和
自由度
均方
F
1.处理间
218.333
Pq-1=5
80.666
43.37**
2.A(主题熟悉性)
80.666
p-1=1
40.542
21.80**
3.B(生字密度)
81.083
q-1=2
28.292
15.21**
4.AB
56.584
(p-1)(q-1)=1

5.处理内
33.500
Pq(n-1)=18

6.单元内误差
33.500
Pq(n-1)18
1.86

7.合计
251.833
Npq-1=23

P.01(1,18)=8.28
P.01(2,18)=6.01
从方差分析表看出，文章主题熟悉性(A因素)的主效应是统计显著的(F(1,18)=,P<0.1)，生字密度(B因素)的主效应是显著的(F(1,18)=21.80,P<0.1)，主题熟悉性与生字密度的交到作用也是统计上显著的(F(2.18))=15.121,P<.01)。结果表明，学生对主题熟悉的文章比对主题不熟悉的文章阅读理解好随着文章中生存密度增大，学生的阅读理解下降。主题熟悉性与生字密度存在显著的交互作用。但要更清晰地揭示了主效应和交互作用的含义，需要结合其它方法来进行，对主效应的进一步解释，需通过多重比较分析，这将在第九章中介绍。对两次交互作用的进一步解释，需进行简单效应检验，这将在下一节中介绍。表中还可以看出，A因素、B因素的主效应和AB交互作用的F检验使用了同一个误差项MSe=1.86。
5.平方和与自由度分解图解

SSA
df=p-1
=1
SSB
df=q-1
=2
SSAB
df=(p-1)
(q-1)=2
SS单元内
df=pq(n-1)
=18

图3-1-4 两因素完全随机实验设计的平方和与自由度分解

6、对平方和分解与计算的一些解释
(1)各种平方和的含义：
SS处理间——处理间平方和指所有由实验处理引起的变异。在两因素实验中它包括
A因素、B因素及其交互作用引起的变异。
SSA——A因素的处理效应。
SSB——B因素的处理效应。
SSAB——A因素与B因素的交互作用。
SS处理内——处理内平方和指所有不能由实验处理解释的变异。在完全随机因素设
计中，不再对处理内平方和做进一步分解。
SS单元内——单元内误差指实验中接受相同实验处理的被试之间的变异之和，其均方用
作A因素、B因素和AB交互作用的F检验的误差项。
(2)同质性检查：

其中：分子自由度df2=3
分母自由度df1=3，查附表2,F(0.5/2)=15.44，可知F值是不显著的(F(3,3)=6.375)，P＞.05)，表明6组被试是同质的。如果把6个组的平方和相加，可以看到它们等于单元内误差。
SS单元内=SS1组+SS2组+……+SS6组=33.500
这表明，同单因素完全随机实验一样，两因素完全随机实验中的误差变异等于各处理组内的误差变异之和。