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第五章 信号分析

1 设 。试就 x = 0、1 、2 、3 、4 、5 、6 个数据计算相关函数 ，并解释所得结果。
2 有一组测试数据如下表，求相关函数 。

2
4
6
8
10

10.6
40.0
50.5
60.9
110
3 试证明：当 ，即 与 之间是线性关系时，其符号与 的符号相同。
4 求均值不为零的信号

的自相关函数。其中： 是 的均值； 是均值为零的信号。
5 指出下列说法是否正确
(1) 两个同频的谐波信号总是相关。
(2) 当 时，说明 、 两变量是理想的线性关系。
(3) 相关函数与相关系数一样都可用它们的数值的大小来衡量两变量的相关程度。
(4) 如果信号中含有周期成分，当 时， 呈周期性变化。
6 信号 的自相关函数 如图 6 图所示。求
(1) 的平均功率； (2) 的平均值； (3) 的标准差；
(4) 相关系数 ，并解释 的含义。
题 6 图
7 求 的自相关函数
（ 1 ） （ 2 ）
8 设： 求： 。
9 求方波与正弦波的互相关函数。
10 设 ，求： 。
11 窄带白噪声的功率谱密度函数是

求其自相关函数。
12 已知信号的自相关函数为 ，确定该信号的均方值 和均方根值 。
13 应用能量等式求积分

的值。
14 已知 ，求自功率谱
（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
（ 4 ）
15 已知信号的自功率谱为

求 得平均功率。
16 证明：
（ 1 ）
（ 2 ）
17 一线性系统，其输入 的均值是 ，求输出的均值 。
18 给一线性系统加一输入信号 ，若输出 与输入 相同，且有

说明该系统其什么作用。

题 18 图
19 一带通滤波器的传递函数为

现输入一白噪声信号 ，求输出的功率谱密度 及平均功率。
20 对于线性系统，用其输入 与输出 的傅里叶变换求频率相应函数 ，与用 与 的功率谱求 有什么异同之处。
21 线性系统的输入和输出端都有噪声干扰存在。图中 、 是真实的输入和输出， 、 是测量值， 、 是噪声。设信号与噪声及噪声相互之间相互独立，试证明
（ 1 ） ；
（ 2 ）在有噪声存在时， 。

题 21 图
22 如图，为什麽能用自相关分析消去周期信号中的白噪声信号干扰。

23 已知信号 x(t) 由幅值为 4 的 50Hz 正弦波信号和幅值为 2 的 100Hz 余弦波信号组成，画出信号的实频－虚频谱，幅值－相位谱和功率谱。
24 下图为一存在质量不平衡的齿轮传动系统，大齿轮为输入轴，转速为 600r/min ，大、中、小齿轮的齿数分别为 40,20,10 。
下面是在齿轮箱机壳上测得的振动信号功率谱：

请根据所学的频谱分析知识，判断是哪一个齿轮轴存在质量不平衡？
25 在系统特性测量中常用白噪声信号作为输入信号，然后测量系统的输出，并将输出信号的频谱作为系统频率特性。请用卷积分定理解释这样做的道理。
26 回答下面问题，或指出其说法是否正确。
(1) 信号截断长度越长，其频率分辨率越高。
(2) 即使 是限带信号，经截断后必然成为无限带宽的函数。
(3) 只要信号一经截断，就不可避免的引起混叠。
(4) 只要采样频率足够高，在频域中就不会引起泄漏。
(5) 什么是频域泄漏？为什么产生泄漏？
(6) 窗函数是否可以减少泄漏？
(7) 什么是“栅栏效应”？如何减少“栅栏效应”的影响？
27 对三个正弦信号

作时域理想采样，采样频率 。求三个采样输出序列，比较这三个结果，并画出三个信号的波形及采样点位置。由此解释频率混叠现象。
28 一平稳随机信号经低通滤波后作数字频谱分析。设仅对信号中 以下频率成分感兴趣，并希望以 的频率分辨率分析其频谱。求：
(1) 采样频率 ； (2) 采样点数 ； (3) 截断长度 。