资源描述
第八讲 平面向量及向量的应用
一、主干知识整合
1.向量的概念
(1)概念:既有大小又有方向的量,表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模.长度为0,方向任意的向量为零向量,0与任一非零向量共线.
(2)向量夹角:a,b的夹角记为〈a,b〉,范围是.
(3)投影:〈a,b〉=θ,cosθ叫做b在a方向上的投影.投影是数量.
2.向量的运算与重要法则
(1)加法、减法运算:a+b为平行四边形法则,a-b为三角形法则;
(2)数乘运算:λ(μa)=(λμ)a,(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb;
(3)数量积运算:a·b=b·a,(a+b)·c=a·c+b·c,(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b).
3.两非零向量平行、垂直的充要条件
(1)共线条件:a,b(b≠0)共线⇔存在λ,a=λb,坐标表示为(x1,y1)=λ(x2,y2)⇔x1y2=x2y1;
(2)垂直条件:a⊥b⇔a·b=0,坐标表示为x1x2+y1y2=0.
二、要点热点探究
► 探究点一 向量的概念及线性运算
例1 (1)[2012·广东卷] 若向量=(2,3),=(4,7),则=( )
A.(-2,-4) B.(2,4) C.(6,10) D.(-6,-10)
(2)在△ABC所在的平面内有一点P,如果2+=-,那么△PBC的面积与△ABC的面积之比是( )
A. B. C. D.
► 探究点二 平面向量的数量积问题
例2 (1)[2012·课程标准卷] 已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=________.
(2)[2012·天津卷] 已知△ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足=λ,=(1-λ),λ∈R.若·=-,则λ=( )
A. B. C. D.
变式题 平面上O,A,B三点不共线,设=a,=b,则△OAB的面积等于( )
A.
B.
C.
D.
► 探究点三 有关向量的平行、垂直问题
例3 (1)设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=( )
A. B. C.2 D.10
(2)设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使=成立的充分条件是( )
A.a=-b B.a∥b C.a=2b D.a∥b且|a|=|b|
变式题 (1)在△ABC中,若=·+·+·,则△ABC是( )
A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形
(2)如图2-8-1,已知||=3,||=1,·=0,
∠AOP=,若=t+,则实数t等于( )
图2-8-1
A. B. C. D.3
► 探究点三 平面向量的综合应用
例4 [2012·安徽卷] 若平面向量a,b满足|2a-b|≤3,则a·b的最小值是________.
运算求解能力——建立平面直角坐标系解决向量数量积问题
示例 [2012·北京卷] 已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为________.·的最大值为________.
[跟踪练]
1.在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD=DC=1,AB=3,动点P在梯形ABCD内运动(含边界),设=α·+β·,则α+β的最大值是( )
A. B. C.1 D.
2.在△ABC中,∠BAC=120°,||=2,||=1,点P满足=λ(0≤λ≤1),则2-·的取值范围是( )
A. B. C. D.
备用例题:
例1 [2012·山东卷] 如图所示,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为________.
例2 [2012·安徽卷] 在平面直角坐标系中,点O(0,0),P(6,8),将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量,则点Q的坐标是( )
A.(-7,-) B.(-7,)
C.(-4,-2) D.(-4,2)
例3 [2012·广东卷] 对任意两个非零的平面向量α和β,定义α∘β=.若平面向量a,b满足|a|≥|b|>0,a与b的夹角θ∈,且a∘b和b∘a都在集合中,则a∘b=( )
A. B.1 C. D.
参考答案:例1(1)A(2)A
例2(1)(2)A例2变式题C
例3(1)B(2)C例3变式题(1)D(2)B
例4:
示例:1、1【跟踪练】(1)A(2)D
备用例题:
例1:[答案] (2-sin2,1-cos2)
[解析] 根据题意可知圆滚动了2个单位弧长,点P旋转了2弧度.结合图象,设滚动后圆与x轴的交点为Q,圆心为C2,作C2M⊥y
轴于M,∠PC2Q=2,∠PC2M=2-,∴点P的横坐标为2-1×cos=2-sin2,点P的纵坐标为1+1×sin=1-cos2.
例2:[答案] A
[解析]本题考查三角函数的和角公式,点的坐标.
设∠POx=α,因为P,所以=(10cosα,10sinα)⇒cosα=,sinα=,
则==(-7,-).故答案为A.
例3:[答案] C
[解析]本题考查平面向量的数量积的运算以及向量的新定义,突破口是通过新定义把问题转化为熟悉的问题解决.根据新定义得:
a∘b===≥cosθ>,
b∘a===≤cosθ<1,
且a∘b和b∘a都在集合中,所以b∘a==,=,所以a∘b==2cos2θ<2,所以1<a∘b<2,所以a∘b=.所以选择C.
【家庭训练题】平面向量及向量的应用
1.设向量a=(1,0),b=,则下列结论正确的是( )
A.|a|=|b| B.a·b= C.a∥b D.a-b与b垂直
2.已知e1,e2是两夹角为120°的单位向量,a=3e1+2e2,则|a|等于( )
A.4 B. C.3 D.
3.对于平面内任意两个非零不共线向量a,b,下列结论错误的是( )
A.与的模相等 B.a在b方向上的投影为
C.a-b与a+b共线 D.-与+垂直
4.已知P是边长为2的正方形ABCD及其内部一动点,若△PAB,△PBC面积均不大于1,则·的取值范围是( )
A. B.(-1,2) C. D.[-1,1]
5.定义:|a×b|=|a||b|sinθ,其中θ为向量a与b的夹角,若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于( )
A.-8 B.8 C.-8或8 D.6
6.已知两点A(1,0),B(1,),O为坐标原点,点C在第二象限,且∠AOC=120°,设=-2+λ(λ∈R),则λ等于( )
A.-1 B.2 C.1 D.-2
7.已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则m=1是(a-mb)⊥a的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8.在四边形ABCD中,==(1,0),+=,则四边形ABCD的面积是( )
A. B. C. D.
9.设i,j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴,y轴正方向相同的两个单位向量,且=-2i+j,=4i+3j,则△OAB的面积等于________.
10.已知a=(1,2),b=(1,1),a与a+λb的夹角为锐角,则实数λ的取值范围为________.
11.⊙O的半径为1,点A,B,C是⊙O上的点,且∠AOB=30°,AC=2AB,则·=________.
12.已知向量a=(cosθ,sinθ),θ∈[0,π],向量b=(,-1).
(1)若a⊥b,求θ的值;
(2)若|2a-b|<m恒成立,求实数m的取值范围.
13.在△ABC中,角A,B,C所对的对边长分别为a,b,c.
(1)设向量x=(sinB,sinC),向量y=(cosB,cosC),向量z=(cosB,-cosC),若z∥(x+y),求tanB+tanC的值;
(2)若sinAcosC+3cosAsinC=0,证明:a2-c2=2b2.
14.设向量m=(cosx,sinx),x∈(0,π),n=(1,).
(1)若|m-n|=,求x的值;
(2)设f(x)=(m+n)·n,求函数f(x)的值域.
【家庭训练题】平面向量及向量的应用参考答案
【基础演练】
1.D [解析] =1,=,A不正确;a·b=,B不正确;a=λb时可得1=λ且0=λ,此方程组无解,C不正确;(a-b)·b=,-·,=0,D正确.
2.D [解析] ==.
3.C [解析] 向量a-b与a+b不一定共线.
4.
D [解析] 建立如图所示的平面直角坐标系,由于△PAB,△PBC面积均不大于1,故点P在图中的区域EFGB的边界及其内部,设P(x,y),则·=(x,y)·(x-2,y)=x2+y2-2x=(x-1)2+y2-1,其中(x-1)2+y2表示区域内的点到点(1,0)距离的平方,显然范围是[0,2],故·的取值范围是[-1,1].
【提升训练】
5.B [解析] 由|a|=2,|b|=5,a·b=-6,得cosθ=-,sinθ=,所以|a×b|=|a|·|b|·sinθ=2×5×=8.
6.C [解析] =-2+λ=-2(1,0)+λ(1,)=(-2+λ,λ).因为∠AOC=120°,所以由tan120°==-,解得λ=1.
7.C [解析] (a-mb)⊥a⇔(a-mb)·a=1-m=0,m=1,选C.
8.D [解析] 由==(1,0)可得四边形ABCD是平行四边形且||=||=1,又因为+=,所以四边形ABCD是边长为1的菱形且=,可得cos〈,〉=-,〈,〉=120°,故S▱ABCD=×2=.
9.5 [解析] 由题可知||=,||=5,·=-5,所以cos〈,〉==-,sin〈,〉=,所求面积为S=××5×=5.
10.∪ [解析] 由题意可得
即即λ∈∪(0,+∞).
11.-3 [解析] 在△AOB中,|OA|=|OB|=1,∠AOB=30°,所以||2=12+12-2cos30°=2-,
·=·(-)=·-·=(|OA|2+|AB|2-|OB|2)-(|OA|2+|AC|2-|OC|2)=||2-||2,
因为||2=4||2,所以·=-||2=-(2-)=-3.
12.解:(1)∵a⊥b,∴cosθ-sinθ=0,得tanθ=.
又θ∈[0,π],∴θ=.
(2)∵2a-b=(2cosθ-,2sinθ+1),
∴|2a-b|2=(2cosθ-)2+(2sinθ+1)2
=8+8=8+8sin.
又θ∈[0,π],∴θ-∈-,,
∴sin∈-,1,
∴|2a-b|2的最大值为16,∴|2a-b|的最大值为4.
又|2a-b|<m恒成立,∴m>4.
13.解:(1)x+y=(sinB+cosB,sinC+cosC),
∵z∥(x+y),
∴cosB(sinC+cosC)+cosC(sinB+cosB)=0,
整理得tanC+tanB+2=0,
∴tanC+tanB=-2.
(2)证明:∵sinAcosC+3cosAsinC=0,
∴由正、余弦定理得:a·+3××c=0,
∴a2-c2=2b2.
14.解:(1)∵m-n=(cosx-1,sinx-),
由|m-n|=得cos2x-2cosx+1+sin2x-2sinx+3=5,
整理得cosx=-sinx,显然cosx≠0,∴tanx=-.
∵x∈(0,π),∴x=.
(2)∵m+n=(cosx+1,sinx+),
∴f(x)=(m+n)·n=(cosx+1,sinx+)·(1,)
=cosx+1+sinx+3
=2sinx+cosx+4
=2sinx++4.
∵0<x<π,∴<x+<.
∴-<sinx+≤1⇒-1<2sinx+≤2,
∴3<2sin+4≤6,
即函数f(x)的值域为(3,6].
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