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1.1.3函数的定义域和值域 文
一、选择题
1．函数y＝的定义域为(　　)
A．(0,8]　　　　　　　　B．(2,8]
C．(－2,8] D．[8，＋∞)
解析：由题意可知，1－lg(x＋2)≥0，整理得：lg(x＋2)≤lg10，∴解得－2＜x≤8，故函数y＝的定义域为(－2,8]，选C.
答案：C
2．若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)
A．[0,1] B．[0,1)
C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)
解析：由得0≤x＜1，选B.
答案：B
3．设f(x)＝lg，则f＋f的定义域为(　　)
A．(－4,0)∪(0,4) B．(－4，－1)∪(1,4)
C．(－2，－1)∪(1,2) D．(－4，－2)∪(2,4)
解析：由＞0，得f(x)的定义域为－2＜x＜2.
故解得x∈(－4，－1)∪(1,4)．
故f＋f的定义域为(－4，－1)∪(1,4)．故应选B.
答案：B
4．函数y＝log2x＋logx(2x)的值域为(　　)
A．(－∞，－1] B．[3，＋∞)
C．[－1,3] D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
解析：y＝log2x＋logx2＋1.故log2x＋logx2≥2或log2x＋logx2≤－2.所以y≥3或y≤－1.
答案：D
5．(2013·浙江联考)函数f(x)的值域是，则函数F(x)＝f(x)＋的值域是(　　)

A. B. C. D.
解析：令t＝f(x)，则≤t≤3.
易知函数g(t)＝t＋在区间上是减函数，在[1,3]上是增函数．
又∵g＝，g(1)＝2，g(3)＝.
可知函数F(x)＝f(x)＋的值域为. 答案：C
6．设f(x)＝g(x)是二次函数，若f[g(x)]的值域是[0，＋∞)，则g(x)的值域是(　　)
A．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[0，＋∞) C．[0，＋∞) D．[1，＋∞)

解析：f(x)的图象如图所示：f(x)的值域为(－1，＋∞)若f[g(x)]的值域为[0，＋∞)，只需g(x)∈(－∞，－1]∪ [0，＋∞)，而g(x)为二次函数，所以g(x)∈[0，＋∞)，故选C项．
答案：C
二、填空题
7．已知函数f(x)＝ln(mx2－4mx＋m＋3)的定义域为R，则实数m的取值范围是__________．
解析：∵f(x)定义域为R，
∴mx2－4mx＋m＋3＞0恒成立．
①m＝0时，3＞0恒成立．
②m≠0时，要使f(x)定义域为R，只需⇔0＜m＜1.
综上所述：m的取值范围是0≤m＜1. 答案：0≤m＜1
8．已知函数f(x)＝，则函数y＝f[f(x)]＋f的定义域是__________．
解析：∵f(x)＝，则函数f(x)的定义域是{x|x≥1}，对于f[f(x)]，应有≥1，∴x≥2；对于f应有≥1，∴0＜x≤4，∴x的取值范围是2≤x≤4，即所给函数的定义域
是[2,4]． 答案：[2,4]

9．已知f(x)＝(x＋|x|)，g(x)＝函数f[g(x)]＝__________，值域为__________．
解析：当x≥0时，g(x)＝x2，故f[g(x)]＝f(x2)＝(x2＋|x2|)＝(x2＋x2)＝x2；
当x＜0时，g(x)＝x，故f[g(x)]＝f(x)＝(x＋|x|)＝(x－x)＝0.
∴f[g(x)]＝
由于当x≥0时，x2≥0，故f[g(x)]的值域为[0，＋∞)．
答案： 　[0，＋∞)
三、解答题
10．(2013·潍坊期末)设函数f(x)＝ln(x2＋ax＋1)的定义域为A.
(1)若1∈A，－3∉A，求实数a的取值范围；
(2)若函数y＝f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．
解析：(1)由题意，得所以a≥.故实数a的取值范围为.
(2)由题意，得x2＋ax＋1＞0在R上恒成立，
则Δ＝a2－4＜0，解得－2＜a＜2.
故实数a的取值范围为(－2,2)．
11．设f(x)＝，求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正实数b，使函数f(x)的定义域和值域相同．
解析：(1)若a＝0，则对于每个正数b，f(x)＝的定义域和值域都是[0，＋∞)，故a＝0满足条件；
(2)若a＞0，则对于正数b，f(x)＝的定义域为D＝{x|ax2＋bx≥0}＝∪[0，＋∞)，但f(x)的值域A⊆[0，＋∞)，故D≠A，即a＞0不符合条件．
(3)若a＜0，则对正数b，f(x)＝的定义域D＝.
由于此时f(x)max＝f＝，故f(x)的值域为，
则－＝⇔⇔a＝－4，

综上所述：a的值为0或－4.

12．已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.
(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；
(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域．
解析：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，
∴Δ＝16a2－4(2a＋6)＝0⇒2a2－a－3＝0⇒a＝－1或a＝.
(2)∵对一切x∈R函数值均为非负，
∴Δ＝8(2a2－a－3)≤0⇒－1≤a≤，
∴a＋3＞0，
∴g(a)＝2－a|a＋3|
＝－a2－3a＋2，
＝－2＋.
∵二次函数g(a)在上单调递减，
∴f≤g(a)≤f(－1)，即－≤g(a)≤4，
∴g(a)的值域为.

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