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自考重点线性代数

资料仅供参考

全国 7月高等教育自学考试
线性代数（经管类）试题
课程代码：04184
说明：本卷中，AT表示方阵A的转置钜阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．设，则=（　　　）
A．-49 B．-7
C．7 D．49
2．设A为3阶方阵，且，则（　　　）
A．-32 B．-8
C．8 D．32
3．设A，B为n阶方阵，且AT=-A，BT=B，则下列命题正确的是（　　　）
A．（A+B）T=A+B B．（AB）T=-AB
C．A2是对称矩阵 D．B2+A是对称阵
4．设A，B，X，Y都是n阶方阵，则下面等式正确的是（　　　）
A．若A2=0，则A=0 B．（AB）2=A2B2
C．若AX=AY，则X=Y D．若A+X=B，则X=B-A
5．设矩阵A=，则秩（A）=（　　　）
A．1 B．2
C．3 D．4
6．若方程组仅有零解，则k≠（　　　）
A．-2 B．-1
C．0 D．2
7．实数向量空间V={（x1，x2，x3）|x1 +x3=0}的维数是（　　　）
A．0 B．1
C．2 D．3
8．若方程组有无穷多解，则=（　　　）
A．1 B．2
C．3 D．4
9．设A=，则下列矩阵中与A相似的是（　　　）
A． B．
C． D．
10．设实二次型，则f（　　　）
A．正定 B．不定
C．负定 D．半正定
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11．设A=(-1,1,2)T，B=(0,2,3)T,则|ABT|=______.

12．设三阶矩阵，其中为A的列向量，且|A|=2，则
______.
13．设，且秩(A)=3，则a,b,c应满足______.
14．矩阵的逆矩阵是______.
15．三元方程x1+x3=1的通解是______.
16．已知A相似于，则|A-E|=______.
17．矩阵的特征值是______.
18．与矩阵相似的对角矩阵是______.
19．设A相似于，则A4______.
20．二次型f(x1,x2,x3)=x1x2-x1x3+x2x3的矩阵是______.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21．计算4阶行列式D=.
22．设A=，而X满足AX+E=A2+X，求X.
23．求向量组：的秩，并给出该向量组的一个极大无关组，同时将其余的向量表示成该极大无关组的线性组合.
24．当为何值时，齐次方程组有非零解？并求其全部非零解.
25．已知1,1,-1是三阶实对称矩阵A的三个特征值，向量、是A的对应于的特征向量，求A的属于的特征向量.
26．求正交变换Y=PX，化二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-2x2x3为标准形.
四、证明题（本大题6分）
27．设线性无关，证明也线性无关.

全国 10月高等教育自学考试
线性代数(经管类)试题
课程代码：04184
说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵。 表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设3阶方阵A的行列式为2，则( )
A.-1 B.
C. D.1
2.设则方程的根的个数为（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
3.设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若则必有（ ）
A. B.
C. D.
4.设A,B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.设其中则矩阵A的秩为（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
6.设6阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A*的秩为（ ）
A.0 B.2
C.3 D.4
7.设向量α=（1，-2，3）与β=（2，k，6）正交，则数k为（ ）
A.-10 B.-4
C.3 D.10
8.已知线性方程组无解，则数a=( )
A. B.0
C. D.1
9.设3阶方阵A的特征多项式为则( )
A.-18 B.-6
C.6 D.18
10.若3阶实对称矩阵是正定矩阵，则A的3个特征值可能为（ ）
A.-1，-2，-3 B.-1，-2，3
C.-1，2，3 D.1，2，3
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.设行列式其第3行各元素的代数余子式之和为__________.
12.设则__________.
13.设A是4×3矩阵且则__________.
14.向量组（1，2）,（2，3）（3，4）的秩为__________.
15.设线性无关的向量组α1，α2，…，αr可由向量组β1，β2，…,βs线性表示，则r与s的关系为__________.
16.设方程组有非零解，且数则__________.
17.设4元线性方程组的三个解α1，α2，α3，已知则方程组的通解是__________.
18.设3阶方阵A的秩为2，且则A的全部特征值为__________.
19.设矩阵有一个特征值对应的特征向量为则数a=__________.
20.设实二次型已知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为__________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.设矩阵其中均为3维列向量，且求
22.解矩阵方程
23.设向量组α1=（1，1，1，3）T，α2=（-1，-3，5，1）T，α3=（3，2，-1，p+2）T，α4=（3，2，-1，p+2）T问p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组.
24.设3元线性方程组,
（1）确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？
（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.
25.已知2阶方阵A的特征值为及方阵
（1）求B的特征值；
（2）求B的行列式.
26.用配方法化二次型为标准形，并写出所作的可逆线性变换.
四、证明题(本题6分)
27.设A是3阶反对称矩阵，证明
全国 7月高等教育自学考试
线性代数（经管类）试题
课程代码：04184
试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；r(A)表示矩阵A的秩；| A |表示A的行列式；E表示单位矩阵。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设3阶方阵A=（α1，α2，α3），其中αi（i=1,2,3）为A的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=( )
A.-12 B.-6
C.6 D.12
2.计算行列式=( )
A.-180 B.-120
C.120 D.180
3.若A为3阶方阵且| A-1 |=2，则| 2A |=( )
A. B.2
C.4 D.8
4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有( )
A.α1，α2，α3，α4线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性相关
C.α1可由α2，α3，α4线性表示 D.α1不可由α2，α3，α4线性表示
5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r(A)=( )
A.2 B.3
C.4 D.5
6.设A、B为同阶方阵，且r(A)=r(B)，则( )
A.A与B相似 B.| A |=| B |
C.A与B等价 D.A与B合同
7.设A为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A+2E |=( )
A.0 B.2
C.3 D.24
8.若A、B相似，则下列说法错误的是( )
A.A与B等价 B.A与B合同
C.| A |=| B | D.A与B有相同特征值
9.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t)正交，则t=( )
A.-2 B.0
C.2 D.4
10.设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则( )
A.A正定 B.A半正定
C.A负定 D.A半负定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.设A=,B=，则AB=_________________.
12.设A为3阶方阵，且| A |=3，则| 3A-1 |=______________.
13.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_______________.
14.设α=（-1，2，2），则与α反方向的单位向量是_________________.
15.设A为5阶方阵，且r(A)=3，则线性空间W={x | Ax=0}的维数是______________.
16.设A为3阶方阵，特征值分别为-2，，1，则| 5A-1 |=______________.
17.若A、B为5阶方阵，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，则r(AB)=_________________.
18.实对称矩阵所对应的二次型f (x1, x2, x3)=________________.
19.设3元非齐次线性方程组Ax=b有解α1=，α2=且r(A)=2，则Ax=b的通解是_______________.
20.设α=，则A=ααT的非零特征值是_______________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.计算5阶行列式D=
22.设矩阵X满足方程
X=
求X.
23.求非齐次线性方程组
的通解.
24.求向量组α1=（1,2，-1,4），α2=(9,100,10,4)，α3=（-2，-4,2，-8）的秩和一个极大无关组.
25.已知A=的一个特征向量ξ=（1,1，-1）T，求a，b及ξ所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量.
26.设A=，试确定a使r(A)=2.

四、证明题（本大题共1小题，6分）
27.若α1，α2，α3是Ax=b(b≠0)的线性无关解，证明α2-αl，α3-αl是对应齐次线性方程组Ax=0的线性无关解.

全国 4月高等教育自学考试
线性代数（经管类）试题
课程代码：04184

说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的铁。
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．3阶行列式=中元素的代数余了式=（ ）
A．-2 B．-1
C．1 D．2
2．设矩阵A=，B=，P1=，P2=，则必有（ ）
A．P1P2A=B B．P2P1A=B
C．AP1P2=B D．AP2P1=B
3．设n阶可逆矩阵A、B、C满足ABC=E，则B-1=（ ）
A．A-1C-1 B．C-1A-1
C．AC D．CA
4．设3阶矩阵A=，则A2的秩为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
5．设是一个4维向量组，若已知能够表为的线性组合，且表示法惟一，则向量组的秩为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
6．设向量组线性相关，则向量组中（ ）
A．必有一个向量能够表为其余向量的线性组合
B．必有两个向量能够表为其余向量的线性组合
C．必有三个向量能够表为其余向量的线性组合
D．每一个向量都能够表为其余向量的线性组合
7．设是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，则下列解向量组中，能够作为该方程组基础解系的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若2阶矩阵A相似于矩阵B=，E为2阶单位矩阵，则与矩阵E-A相似的矩阵是（ ）
A． B．
C． D．
9．设实对称矩阵A=，则3元二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的规范形为（ ）
A． B．
C． D．

10．若3阶实对称矩阵A=（）是正定矩阵，则A的正惯性指数为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11．已知3阶行列式=6，则=_______________.
12．设3阶行列式D3的第2列元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，则D3=__________________.
13．设A=，则A2-2A+E=____________________.
14.设A为2阶矩阵，将A的第2列的（-2）倍加到第1列得到矩阵B.若B=，则A=______________.
15.设3阶矩阵A=，则A-1=_________________.
16.设向量组=（a,1,1）,=（1,-2,1）, =（1,1,-2）线性相关，则数a=________.
17.已知x1=(1,0,-1)T, x2=(3,4,5)T是3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解向量，则对应齐次线性方程组Ax=0有一个非零解向量=__________________.
18.设2阶实对称矩阵A的特征值为1，2，它们对应的特征向量分别为=(1，1)T,
=(1，k)T，则数k=_____________________.
19.已知3阶矩阵A的特征值为0，-2，3，且矩阵B与A相似，则|B+E|=_________.
20.二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+(x2-x3)2的矩阵A=_____________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.已知3阶行列式=中元素的代数余子式A12=8，求元素的代数余子式A21的值.
22.已知矩阵A，B=,矩阵X满足AX+B=X，求X.
23.求向量组=(1,1,1,3)T，=(-1,-3,5,1)T，=(3,2,-1,4)T，=(-2,-6,10,2)T的一个极大无关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出.
24.设3元齐次线性方程组，
（1）确定当a为何值时，方程组有非零解；
（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解.
25.设矩阵B=，
（1）判定B是否可与对角矩阵相似，说明理由；
（2）若B可与对角矩阵相似，求对角矩阵和可逆矩阵P，使P-1BP=
26.设3元二次型,求正交变换x=Py,将二次型化为标准形.

四、证明题（本题6分）
27.已知A是n阶矩阵，且满足方程A2+2A=0,证明A的特征值只能是0或-2.

全国 1月高等教育自学考试
线性代数(经管类)试题
课程代码：04184

试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；秩（A）表示矩阵A的秩；|A|表示A的行列式；E表示单位矩阵。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设A为三阶方阵且则（　　　）
A.-108 B.-12
C.12 D.108
2.如果方程组有非零解,则 k=（　　　）
A.-2 B.-1
C.1 D.2
3.设A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（　　　）
A.AB=BA B.
C. D.
4.设A为四阶矩阵，且则（　　　）
A.2 B.4
C.8 D.12
5.设可由向量α1 =（1，0，0）α2 =（0，0，1）线性表示，则下列向量中只能是
A.（2，1，1） B.（-3，0，2）
C.（1，1，0） D.（0,-1,0）
6.向量组α1 ，α2 ，…，αs 的秩不为s(s)的充分必要条件是（　　　）
A. α1 ，α2 ，…，αs 全是非零向量
B. α1 ，α2， …，αs 全是零向量
C. α1 ，α2， …，αs中至少有一个向量可由其它向量线性表出
D. α1 ，α2， …，αs 中至少有一个零向量
7.设A为m矩阵，方程AX=0仅有零解的充分必要条件是（　　　）
A.A的行向量组线性无关 B.A的行向量组线性相关
C.A的列向量组线性无关 D.A的列向量组线性相关
8.设A与B是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误的是（　　　）
A. B.秩（A）=秩（B）
C.存在可逆阵P，使P-1AP=B D.E-A=E-B
9.与矩阵A=相似的是（　　　）
A. B.
C. D.
10.设有二次型则（　　　）
A.正定 B.负定
C.不定 D.半正定
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.若则k=___________.
12.设A=,B=则AB=___________.
13.设A=,则A-1= ___________.
14.设A为3矩阵,且方程组A x=0的基础解系含有两个解向量,则秩(A)= ___________.

15.已知A有一个特征值-2,则B=A+2E必有一个特征值___________.
16.方程组的通解是___________.
17.向量组α1 =(1,0,0) α2 =(1,1,0), α3 =(-5,2,0)的秩是___________.

18.矩阵A=的全部特征向量是___________.
19.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则=___________.

20.矩阵A=所对应的二次型是___________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.计算四阶行列式的值.
22.设A=,求A.
23.设A=,B=,且A,B,X满足(E-BA)求X,X
24.求向量组α1 =(1,-1,2,4)α2 =(0,3,1,2), α3 =(3,0,7,14), α4 =(2,1,5,6), α5 =(1,-1,2,0)的一个极大线性无关组.
25.求非齐次方程组的通解.
26. 设A=,求P使为对角矩阵.

四、证明题（本大题共1小题,6分）
27.设α1，α2，α3 是齐次方程组A x =0的基础解系.
证明α1，α1+α2， α1 +α2 +α3也是Ax =0的基础解系．