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3.1.3 空间向量基本定理
一、基础过关
1． 设命题p：a、b、c是三个非零向量；命题q：{a，b，c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的____________条件．
2． 下列命题中真命题有________(填序号)．
①空间中的任何一个向量都可用a，b，c表示；
②空间中的任何一个向量都可用基向量a，b，c表示；
③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示；
④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示．
3． 已知a、b、c是不共面的三个向量，则下列选项中能构成一个基底的一组向量是
__________．
①2a，a－b，a＋2b ②2b，b－a，b＋2a
③a,2b，b－c ④c，a＋c，a－c
4． 下列说法正确的是________(填序号)．
①任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底；
②不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底；
③单位正交基底中的基向量模为1且互相垂直；
④不共面且模为1的三个向量可构成空间的单位正交基底．
5． 在以下三个命题中，真命题的个数是________．
①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；
②若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b共线；
③若a、b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb (λ、μ∈R且λμ≠0)，且{a，b，c}构成空间的一个基底．
6． 已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.
7． 正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若＋λ＝0 (λ∈R)，则λ＝______.
8． 从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取＝a，＝b，＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则＝__________________.(用a，b，c表示)
二、能力提升
9． 若向量、、的起点M与终点A、B、C互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量、、成为空间一个基底的关系是________(填序号)．
①＝＋＋
②≠＋
③＝＋＋
④＝2－
10．在空间平移△ABC到△A1B1C1(使△A1B1C1与△ABC不共面)，连结对应顶点．设＝a，＝b，＝c，M是BC1的中点，N是B1C1的中点，用基底{a，b，c}表示向量＋的结果是____________．
11.
如图所示，在正方体AC1中，取＝a，＝b，＝c作为基底．
(1)求；
(2)若M，N分别为边AD，CC1的中点，求.
12.
如图，平行六面体OABC—O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c.
(1)用a，b，c表示向量；
(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示.
三、探究与拓展
13．已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，且＝2e1－e2＋3e3，＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3.
(1)判断P、A、B、C四点是否共面；
(2)能否以{，，}作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量.
答案
1．必要不充分 2．②③ 3．③ 4．③ 5．2 6．1 －1 7．－ 8．－a＋b＋c
9．③ 10．a＋b＋c
11．解 (1)＝＋
＝＋＋＝－a＋b＋c.
(2)＝＋
＝＋＋
＝＋＋
＝a＋b＋c.
12．解 (1)＝＋
＝－＋＝b＋c－a.
(2)＝＋＝－＋
＝－(＋)＋(＋)
＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)
＝(c－b)．
13．解 (1)假设四点共面，则存在实数x、y、z使＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，
即2e1－e2＋3e3＝x(e1＋2e2－e3)＋y(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)，比较对应项的系数，得到关于x、y、z的方程组解得
与x＋y＋z＝1矛盾，故四点不共面；
(2)若向量、、共面，则存在实数m、n使＝m＋n，同(1)可证，这不可能，因此{，，}可以作为空间的一个基底．令＝a，＝b，＝c，由e1＋2e2－e3＝a，－3e1＋e2＋2e3＝b，e1＋e2－e3＝c，联立得到方程组，从中解得
所以＝17－5－30.
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