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(完整word版)实变函数试题库(4)及参考答案
实变函数试题库及参考答案（4） 本科
一、填空题
1.设为两个集合,则.
2。设,如果满足（其中表示的导集）,则是
3。若开区间为直线上开集的一个构成区间,则满(i）
（ii)
4.设为无限集.则的基数(其中表示自然数集的基数)
5。设为可测集， ，则。
6.设为可测集上的可测函数列，且,则由______定理可知得，存在的子列,使得.
7.设为可测集（）上的可测函数，则在上的积分值 存在且在上 可积。(填“一定”“不一定”)
8.若是上的绝对连续函数，则是上的有
二、选择题
1．设，则（ ）
是中闭集 是中完备集
2．设，是上的可测函数，则( )
、不一定是可测集 、是可测集
、是不可测集 、不一定是可测集
3．下列集合关系成立的是（ ）
A、　 B、　
C、　　　 D、
4。 若是开集,则 （ ）
A、的导集 B、的开核 C、 D、的导集
三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）
1．设是上有界函数，且可积，则（ ）
在上黎曼可积 在上可测
在上几乎处处连续 在上不一定连续
2。 设,则（ ）
A、是可数集　 B、是闭集　 C、中的每个点均是聚点　 D、
3.　若（)至少有一个内点，则（ ）
A、可以等于０ B、　 C、可能是可数集　 D、不可能是可数集
4．设是可测集，则的特征函数是（ ）
A、上的符号函数　　 C、上的连续函数
B、上的可测函数 D、上的连续函数
四、判断题
1。 零测集上的函数是可测函数. ( ）
2. 可列个闭集的并集仍为闭集 （ ）
3。 任何无限集均含有一个可列子集 ( ）
4。 设为可测集,则一定存在集，使，且。 ( ）
五、定义题
1。 为什么说有界变差函数几乎处处可微？

2. 简述无穷多个开集的交集是否必为开集？

3. 可测集上的可测函数与简单函数有什么关系？

4. 上的有界变差函数与单调函数有什么关系？

六、计算题
7. 设，为康托集，求。

8。 求.

七、证明题
1．设是上几乎处处有限的可测函数，且，,则

2． 设是上可积函数，则在上也是可积的

3． 设是可测集上的非负可测函数,如果,则于

4．证明等式:

实变函数试题库及参考答案（4） 本科
一、填空题
1.等于 2.闭集。 3. 4. 5。 6.黎斯 7.不一定 不一定 8。界变差函数。
二、 单选题
1.B 2。B 3.A 4。B
三、 多选题
1.BD 2。CD 3。BD 4.ABC
四、判断题
√×√√
五、定义题
1.答：由若当分解定理，有界变差函数可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处可微，所以有界变差函数几乎处处可微.
2。答:不一定，如
3.答：简单函数必是可测函数但可测函数不一定是简单函数，可测函数一定可表示成简单函数列的极限形式.
4。答：单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为单调函数，有界变差函数可表示成单调函数之差。

六、解答题
1.解:因为，所以于
于是而在上连续，所以
因此.
2.解：令
显然在上可测，且
因为
不难验证，当足够大时，是单调递减非负函数,且
,所以

由勒贝格控制收敛定理
故.

七、证明题
1.证明 对任何正数,由于

所以

于是

故
2.证明 因是上可积，所以在上可积，从而
可积，
又
故在上可积
3。证明 反证，令，则由的可测性知,是可测集。下证，若不然，则
由于，所以存在，使

于是
因此，矛盾,故于
4。证明