实变函数试题库(4)及参考答案.doc

(完整word版)实变函数试题库(4)及参考答案实变函数试题库及参考答案（4） 本科一、填空题 1.设为两个集合,则.2。设,如果满足（其中表示的导集）,则是 3。若开区间为直线上开集的一个构成区间,则满(i） （ii)4.设为无限集.则的基数(其中表示自然数集的基数) 5。设为可测集， ，则。 6.设为可测集上的可测函数列，且,则由_定理可知得，存在的子列,使得.7.设为可测集（）上的可测函数，则在上的积分值 存在且在上 可积。(填“一定”“不一定”)8.若是上的绝对连续函数，则是上的有 二、选择题1设，则（ ） 是中闭集 是中完备集2设，是上的可测函数，则( )、不一定是可测集 、是可测集、是不可测集 、不一定是可测集3下列集合关系成立的是（ ）A、 B、C、 D、4。 若是开集,则 （ ）A、的导集 B、的开核 C、 D、的导集三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）1设是上有界函数，且可积，则（ ） 在上黎曼可积 在上可测 在上几乎处处连续 在上不一定连续2。 设,则（ ）A、是可数集 B、是闭集 C、中的每个点均是聚点 D、3.若（)至少有一个内点，则（ ）A、可以等于 B、 C、可能是可数集 D、不可能是可数集4设是可测集，则的特征函数是（ ）A、上的符号函数 C、上的连续函数B、上的可测函数 D、上的连续函数四、判断题1。 零测集上的函数是可测函数. ( ）2. 可列个闭集的并集仍为闭集 （ ）3。 任何无限集均含有一个可列子集 ( ）4。 设为可测集,则一定存在集，使，且。 ( ）五、定义题1。 为什么说有界变差函数几乎处处可微？2. 简述无穷多个开集的交集是否必为开集？3. 可测集上的可测函数与简单函数有什么关系？4. 上的有界变差函数与单调函数有什么关系？六、计算题7. 设，为康托集，求。8。 求.七、证明题1设是上几乎处处有限的可测函数，且，,则2 设是上可积函数，则在上也是可积的3 设是可测集上的非负可测函数,如果,则于4证明等式:实变函数试题库及参考答案（4） 本科一、填空题1.等于 2.闭集。 3. 4. 5。 6.黎斯 7.不一定 不一定 8。界变差函数。二、 单选题1.B 2。B 3.A 4。B三、 多选题1.BD 2。CD 3。BD 4.ABC四、判断题五、定义题1.答：由若当分解定理，有界变差函数可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处可微，所以有界变差函数几乎处处可微.2。答:不一定，如3.答：简单函数必是可测函数但可测函数不一定是简单函数，可测函数一定可表示成简单函数列的极限形式.4。答：单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为单调函数，有界变差函数可表示成单调函数之差。六、解答题1.解:因为，所以于于是而在上连续，所以 因此.2.解：令显然在上可测，且 因为不难验证，当足够大时，是单调递减非负函数,且,所以由勒贝格控制收敛定理 故.七、证明题1.证明 对任何正数,由于 所以 于是 故2.证明 因是上可积，所以在上可积，从而 可积，又故在上可积3。证明 反证，令，则由的可测性知,是可测集。下证，若不然，则由于，所以存在，使 于是因此，矛盾,故于4。证明