双定时混合截尾下Pareto产品失效时刻的预测.pdf

第 卷第期华中师范大学学报(自然科学版)V o l N o 年月J OUR NA LO FC E N T R A LCH I NANO RMA LUN I V E R S I T Y(N a t S c i)A u g 收稿日期:基金项目:国家自然科学基金项目()通信联系人 E m a i l:x l p c o mD O I:/j c n k i 文章编号:()双定时混合截尾下P a r e t o产品失效时刻的预测 龙沁怡,徐丽平,龙兵(长江大学信息与数学学院,湖北 荆州 ;荆楚理工学院数理学院,湖北 荆门 )摘要:假设受试样品的失效时刻服从P a r e t o分布,基于双定时混合截尾样本得到了未来失效时刻的概率密度函数,利用经典方法得到了未来失效时刻的点预测和区间预测当形状参数的先验分布分别取为伽玛先验和无信息先验分布时,得到了未来次序失效时刻的等尾预测区间根据所得到的双定时混合截尾数据,对于独立同分布于该P a r e t o分布的任一产品,得到了它的失效时刻的中位数预测和区间预测借助一个数值例子,利用文中的结论计算出了相关的点预测和区间预测关键词:P a r e t o分布;双定时混合截尾;先验分布;B a y e s预测中图分类号:O 文献标志码:A开放科学(资源服务)标志码(O S I D):P a r e t o分布作为一种统计模型,在工资收入、保险精算、城市规划以及可靠性工程等领域有着极为广泛的应用因此,对P a r e t o产品进行可靠性试验具有实际意义在本文中假定P a r e t o分布有如下的累积分布函数和概率密度函数:F(x;,)x,x,()f(x;,)x,x,()其中,(),()分别被称为尺度参数和形状参数为书写简便,将F(x;,)和f(x;,)分别简记为F(x)和f(x)在可靠性分析中经常要进行寿命试验,为了节省时间和费用,可以选择截尾试验,不同截尾试验方案的应用丰富了可靠性统计推断的结果目前有一些常见的截尾方案,例如定时截尾和定数截尾几位学者使用不同的分布模型研究了这两种截尾方案下的统计推断问题结合定时截尾和定数截尾各自的优点,E p s t e i n提出了一种新的截尾试验方案,即混合I型截尾方案混合I型截尾试验方案被描述如下:假设时刻把n个样品投入到寿命试验中,用X:nX:nXn:n表示它们的次序失效时刻,混合I型截尾试验选择的终止时刻为T m i n(Xr:n,T),其中r和T被事先确定混合I型截尾试验方案的优点在于试验的持续时间不超过T,缺点在于获得的失效样品数不超过r,可能因为失效数据太少而影响统计推断的精度因此,C h i l d s等提出了另一种混合截尾方案,即混合I I型截尾方案,该方案选择的试验终止时刻为T m a x(Xr:n,T),其中r和T被事先确定混合I I型截尾方案的优点可以保证至少获得r个失效数据,缺点在于不能控制试验的终止时刻,如果遇到高可靠性的样品可能使试验持续很长时间基于这两类混合截尾样本的研究成果有很多,如文献 为了克服上述两类混合截尾方案的缺点,L o n g 提出了一种新的截尾试验方案,即双定时混合截尾,该方案是两个定时截尾方案的混合,它可以在控制试验持续时间的同时兼顾获得尽可能多的失效数据对于截尾样本来说,根据观测数据预测未失效产品的信息是一个至关重要的问题在试验的早期阶段可以告诉我们测试的成本有多高,以及是否需要重新设计试验方案目前关于预测方面的研究成果较多 本文假设受试产品的失效时刻服从P a r e t o分布,在双定时混合截尾样本下对产品的失效时刻进行了预测模型描述在这里将对文献 中提出的双定时混合截尾方案进行再次描述,该试验方案如下假设在时刻把n个独立同分布的样品投入第期龙沁怡等:双定时混合截尾下P a r e t o产品失效时刻的预测 试验,它们的失效时刻分别为X,X,Xn,正整数mn,事先确定m,t,t,且满足tt记i,Xit,Xit;i,Xit,Xit;i,n;mnii;mnii即在时刻t之前的失效样品数为m个,而在时刻t之前的失效样品数为m个,m,m为随机变量如果mm,则在时刻t停止试验,没有失效的nm个样品退出试验,其中X:nX:nXm:nt为次序失效时刻;如果mm,则在时刻t停止试验,没有失效的nm个样品退出试验,其中X:nX:nXm:nt为次序失效时刻不失一般性,假设X:nt在后面将利用这类截尾数据来估计未知参数,并对P a r e t o产品的失效时刻进行预测极大似然估计及条件分布记km,mm,m,mm;tt,mm,t,mm并把所得到的双定时混合截尾试验数据表示为x(x:n,x:n,xk:n,t)基于上述试验数据,省略正则化常数后似然函数为L(,)kif(xi:n)()F(t)nkI(x:n)kn t(nk)kix()i:n()I(x:n),()其中,I()为示性函数根据()式,利用极大似然法可得参数和的极大似然估计分别为kkil nxi:n(nk)l ntnl nx:n,()x:n()给定x后,YX(sk):n(s,nk)的条件概率密度函数为f(y x)snksf(y)F(y)F(t)s F(y)nksF(t)(nk),()其中,yt对于P a r e t o分布()式,可以把()式变形为f(y x)snkstys t(nk)y(nks)snks(yt)s t(nks)y(nk)()在这里所得到的和f(y x)将被用于求YX(sk):n的预测值和预测区间未来观测值的经典预测 似然预测方法在似然预测方法中,将运用极大似然法得到未知参数的估计和未来失效时刻的预测基于观测数据可以得到Y和(,)的预测似然函数为L(y,x)f(y x)f(x|,),根据()和()式,则Y和(,)的预测似然函数为L(y,x)snks(yt)s k n t(s)y(nk)kix()i:n()I(x:n)()显然的极大似然估计为x:n()取x:n,去掉常数项后,对数预测似然函数为l nL(y,x)(s)l n(yt)(k)l nn l nx:n(s)l nt(nk)l ny()kil nxi:n()根据()式,分别求对数预测似然函数关于和y的偏导数,则,Y的预测似然方程为 l nL(y,x)(s)yl nytl ntytknl nx:n(s)l nt(nk)l nykil nxi:n,()l nL(y,x)y(s)y yt(nk)y()由方程()和()可以得到YX(sk):n的极大似然预测为YM L Pt(nk)(nks)/,其中,是的预测极大似然估计,由方程()和()所确定 条件预测方法下面求出Y的条件分布的中位数,以此作为对Y的预测,并被称为条件中位数预测 华中师范大学学报(自然科学版)第 卷根据()式,利用二项式展开(yt)s s j()jsjy(s j)t j,因此YX(sk):n的条件概率密度函数可以变形为f(y x)Bs j cjtdjydj,()其中,Bsnks,cj()jsj,djnksj根据中位数的定义,因此Y的条件中位数预测YC MP满足P YYC MPx()P YYC MPx(),即YC MPf(y x)dy ,由条件概率密度函数(),可以得到Bs jcjt djdjY djC MP ()因此,Y的条件中位数预测YC MP是方程()的解,用它的极大似然估计代替 经典预测区间由条 件 概 率 密 度 函 数()不 难 得 到YX(sk):n的 ()等尾预测区间为(L,U),其中L和U分别满足下面的个方程,Bs jcjt djdjL dj,()Bs jcjt djdjU dj()当未知时,方程()和()中的用它的极大似然估计代替以上是基于观测数据用频率方法对YX(sk):n进行点预测和区间预测,下面将讨论用B a y e s方法进行预测的问题未来观测值的B a y e s预测在这一部分,当已知时,将由观测到的双定时混合截尾试验数据x(x:n,x:n,xk:n,t),利用B a y e s方法得到YX(sk):n的B a y e s预测区间 G a mm a先验分布在B a y e s统计分析中,未知参数先验分布的选取是非常重要的,很多文献中选择G a mm a分布作为先 验 分 布在 这 里 也 选 取的 先 验 分 布 为G a mm a分布,其概率密度函数为()ba(a)a eb,()这里,超参数a,b,()表示G a mm a函数由()和()式,利用B a y e s公式可得的后验概率密度函数为(x)(Ab)ka(ka)ka e(Ab),()其中,Akil nxi:n(nk)l ntnl n由()和()式可得YX(sk):n的B a y e s预测密度函数为h(y x)f(y x)(x)d(ka)(Ab)kaBs jcjydj(l nyl nt)Ab(ka)()根据()式可以得到B a y e s预测生存函数为P Yu x()uh(y x)dy(Ab)kaBs jcjdjdj(l nul nt)Ab(ka)()因此YX(sk):n的 ()的B a y e s等尾预测区间的下限L和上限U分别满足P YLx()(Ab)kaBs jcjdjdj(l nLl nt)Ab(ka),()P YUx()(Ab)kaBs jcjdjdj(l nUl nt)Ab(ka)()可以用数值方法求出方程()和()的解,从而得到B a y e s预测区间(L,U)事实上,利用B a y e s预测密度函数()式也可以求出YX(sk):n的B a y e s预测值 无信息先验分布采用B a y e s方法可以借助先验信息来提高统计推断的精度,如果没有先验信息可以利用,也可以取无信息先验分布,在这里取的无信息先验分布为(),()由()和()式,可得的后验密度函数为(x)Ak(k)k e A,()实际上在()式中取a,b就得到后验概率密度函数()式,因此YX(sk):n的B a y e s预测概第期龙沁怡等:双定时混合截尾下P a r e t o产品失效时刻的预测 率密度函数为h(y x)f(y|x)(x)dk AkBs jcjydj(l nyl nt)A(k),yt()由()式可得到B a y e s预测生存函数为P Yu x()AkBs jcjdjdj(l nul nt)Ak因此YX(sk):n的 ()的B a y e s等尾预测区间为(L,U),其中下限L和上限U分别满足AkBs jcjdjdj(l nLl nt)Ak,AkBs jcjdjdj(l nUl nt)Ak任一观测值的预测在第节中,讨论了被截尾样品的未来失效时刻的预测问题,包括预测值和预测区间,另外根据所得到的双定时混合截尾数据也可以对任一服从P a r e t o分布的产品的失效时刻进行预测设另有一产品ZXn 与X,X,Xn独立同分布于P a r e t o分布(),下面讨论当已知时基于观测数据x(x:n,x:n,xk:n,t)对Z进 行 预 测的问题 根据Z的概率密度函数()式,可得生存函数为P(Zu)u z dzu当已知时,的极大似然估计为Mkkil nxi:n(nk)l ntnl n以M代替可得ZXn 的中位数预测值为ZM P/M根据后验概率密度函数()式,可以得到第n个失效数据ZXn 的后验预测密度函数为g(z x)f(z)(x)d(Ab)ka(ka)z kae(Ab)d(ka)(Ab)kaz(l nzl nAb)(ka),z()根据()式得到的B a y e s预测生存函数为P(Zu x)ug(z x)dz(ka)(Ab)kauz(l nzl nAb)(ka)dzAbl nul nAbka()由()式可得ZXn 的B a y e s中位数预测值为ZB MPe x p(Ab)(ka)l n由于后验预测密度函数g(z x)在,)是递减函数,因此ZXn 的 ()最短B a y e s预测区间为(,zU),其中,zUe x p(Ab)(/(ka)l n数据分析下面将对文献 中的数据集进行分析,把这些数据按照从小到大的顺序排列如下:、借助上面的完全数据可以得到不同的双定时混合截尾数据已知 ,利用文中的结论能够计算出被截尾样品未来次序失效时刻的预测值和预测区间(),相关结果列于表中根据不同的双定时混合截尾数据也可以得到ZXn 的预测值和预测区间(),相关结果列于表中从表可以看到,YX(sk):n的种预测区间的下 限 比 较 接 近,当t,t,m和s固 定 时YX(sk):n极大似然预测小于条件中位数预测,经典预测区间的长度最小,两种B a y e s预测区间的长度比较接近,真正的观测值都落在个预测区间的内部在表中对于超参数a,b的种不同的取值及不同的双定时混合截尾试验数据,Xn 的预测值和预测区间都比较接近,当t,t和m固定时,中位数预测值小于B a y e s中位数预测值从这个例子中也可以看到利用文中的结论所得到的失效时刻的预测值和真实的失效时刻还是比较接近的结论本文根据观测到的双定时混合截尾试验数据,讨论了未来失效数据的预测问题当试验样品的失效时刻服从P a r e t o分布时,利用经典方法得到了被截尾样品未来失效时刻的预测值在取两种不同的先验分布时计算了未来失效时刻的预测区间对于独立同分布的任一产品,对它的失效时刻进行了预测通过数值例子的计算,所得到的结果也是符 华中师范大学学报(自然科学版)第 卷合实际情况的利用本文中的方法可以随时根据观测到的失效数据对未来的失效时刻进行预测,以便于估算试验的费用,进而考虑是否需要重新确定试验的终止时刻,在控制费用的情况下尽可能提高统计推断的精度另外在双定时混合截尾试验数据下,也可以讨论其它寿命分布模型产品失效时刻的预测问题表YX(sk):n的预测值和预测区间(a ,b )T a b P r e d i c t i v ev a l u e sa n dp r e d i c t i o n i n t e r v a l so fYX(sk):n(a ,b )ttmsYM L PYC MP(L,U)(L,U)(L,U)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)表ZXn 的预测值和预测区间T a b P r e d i c t i v ev a l u e sa n dp r e d i c t i o n i n t e r v a l so fZXn ttm(a,b)ZM PZB MP(,zU)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)第期龙沁怡等:双定时混合截尾下P a r e t o产品失效时刻的预测 表(续)ttm(a,b)ZM PZB MP(,zU)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)参考文献:A LO M A B a y e s i a ns t u d yu s i n gMCMCo f t h r e e p a r a m e t e rF r e c h e td i s t r i b u t i o n b a s e d o n t y p e Ic e n s o r e d d a t aJJ o u r n a l o fA p p l i e d M a t h e m a t i c sa n dP h y s i c s,():HO S S A I N A M,HU E R TA GB a y e s i a ne s t i m a t i o na n dp r e d i c t i o nf o r t h eM a x w e l l f a i l u r ed i s t r i b u t i o nb a s e do nt y p e I I c e n s o r e dd a t aJ O p e nJ o u r n a l o fS t a t i s t i c s,():Y EHL B a y e s i a nv a r i a b l e s a m p l i n gp l a n s f o r t h e e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n w i t h t y p e I c e n s o r i n gJ T h e A n n a l s o fS t a t i s t i c s,():L I N C T,HUAN G Y L,B A L AK R I S HNAN NE x a c tB a y e s i a n v a r i a b l e s a m p l i n g p l a n s f o r t h e e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o nb a s e do n t y p e I a n d t y p e I I c e n s o r e ds a m p l e sJC o mm u n i c a t i o n si nS t a t i s t i c s S i m u l a t i o na n d C o m p u t a t i o n,():NA GAT S UKA H,B A L AK R I S HNAN N A c o n s i s t e n tm e t h o d o fe s t i m a t i o n f o rt h et h r e e p a r a m e t e rl o g n o r m a ld i s t r i b u t i o n b a s e d o n t y p e I I r i g h t c e n s o r e d d a t aJC o mm u n i c a t i o n s i nS t a t i s t i c s T h e o r ya n dM e t h o d s,():E P S T E I NB T r u n c a t e d l i f e t e s t s i n t h e e x p o n e n t i a l c a s eJT h e A n n a l s o f M a t h e m a t i c a l S t a t i s t i c s,():C H I L D SA,C HAN D R A S E KA RB,B A L AK R I S HNAN N,e t a l E x a c t l i k e l i h o o di n f e r e n c eb a s e do nt y p e Ia n dt y p e I Ih y b r i dc e n s o r e ds a m p l e sf r o m t h ee x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o nJA n n a l so ft h eI n s t i t u t eo fS t a t i s t i c a l M a t h e m a t i c s,():B A L AK R I S HNANN,S HA F AYAR O n e a n dt w o s a m p l eB a y e s i a np r e d i c t i o n i n t e r v a l s b a s e do n t y p e I I h y b r i d c e n s o r e dd a t aJ C o mm u n i c a t i o n s i nS t a t i s t i c s T h e o r ya n dM e t h o d s,():KUN DUD,J OA R D E RA A n a l y s i so f t y p e I Ip r o g r e s s i v e l yh y b r i dc e n s o r e dd a t aJ C o m p u t a t i o n a lS t a t i s t i c sa n dD a t aA n a l y s i s,():L I ANG T C,YAN G M CO p t i m a lB a y e s i a ns a m p l i n gp l a n s f o re x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n sb a s e do nh y b r i dc e n s o r e ds a m p l e sJJ o u r n a l o f S t a t i s t i c a l C o m p u t a t i o n a n dS i m u l a t i o n,():L I NCT,H S UYY,L E ESY,e t a l I n f e r e n c e o nc o n s t a n ts t r e s sa c c e l e r a t e dl i f et e s t sf o rl o g l o c a t i o n s c a l el i f e t i m ed i s t r i b u t i o n sw i t ht y p e Ih y b r i dc e n s o r i n gJJ o u r n a lo fS t a t i s t i c a lC o m p u t a t i o n a n d S i m u l a t i o n,():L ON G BE s t i m a t i o n a n d p r e d i c t i o n f o rt h e R a y l e i g hd i s t r i b u t i o nb a s e do nd o u b l e t y p e Ih y b r i dc e n s o r e dd a t aJ/O L C o mm u n i c a t i o n s i nS t a t i s t i c s S i m u l a t i o na n dC o m p u t a t i o n,h t t p s:/d o i o r g/A S GHA R Z A D EH A,VA L I O L L AH I R,KUN D U DP r e d i c t i o nf o rf u t u r ef a i l u r e si n W e i b u l ld i s t r i b u t i o nu n d e rh y b r i dc e n s o r i n gJ J o u r n a lo fS t a t i s t i c a lC o m p u t a t i o na n dS i m u l a t i o n,():N I GM AM,A L HU S S A I N IEK,J AHE E NZF B a y e s i a no n e s a m p l ep r e d i c t i o no ff u t u r eo b s e r v a t i o n su n d e rP a r e t od i s t r i b u t i o nJ S t a t i s t i c s,():P R A DHAN B,KUN D UD B a y e s e s t i m a t i o n a n dp r e d i c t i o no ft h et w o p a r a m e t e rG a mm ad i s t r i b u t i o nJJ o u r n a l o f S t a t i s t i c a lC o m p u t a t i o na n dS i m u l a t i o n,():VA L I O L L AH IR,A S GHA R Z A D EH A,R AQA B M ZP r e d i c t i o no ff u t u r ef a i l u r e st i m e sb a s e do nt y p e Ih y b r i dc e n s o r e d s a m p l e so f r a n d o ms a m p l e s i z e sJC o mm u n i c a t i o n s i nS t a t i s t i c s S i m u l a t i o na n dC o m p u t a t i o n,华中师范大学学报(自然科学版)第 卷 ,():VA L I O L L AH I R,A S GHA R Z A D EH A,KUN D U DP r e d i c t i o n o ff u t u r ef a i l u r e sf o r g e n e r a l i z e d e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o nu n d e rt y p e Io rt y p e I Ih y b r i dc e n s o r i n gJB r a z i l i a nJ o u r n a l o fP r o b a b i l i t ya n dS t a t i s t i c s,():龙兵,张忠占双定时混合截尾下两参数P a r e t o分布的统计推断J应用概率统计,():L ON G B,Z HAN G Z ZS t a t i s t i c a li n f e r e n c e o ft w o p a r a m e t e rP a r e t od i s t r i b u t i o nu n d e rd o u b l et y p e Ih y b r i dc e n s o r i n g s c h e m eJ C h i n e s e J o u r n a l o f A p p l i e dP r o b a b i l i t ya n dS t a t i s t i c s,():(C h)P r e d i c t i o no f f a i l u r e t i m e f o rP a r e t op r o d u c tu n d e rd o u b l e t y p e Ih y b r i dc e n s o r i n gL ONGQ i n y i,XUL i p i n g,L ONGB i n g(S c h o o l o f I n f o r m a t i o na n dM a t h e m a t i c s,Y a n g t z eU n i v e r s i t y,J i n g z h o u,H u b e i ,C h i n a;S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dP h y s i c s,J i n g c h uU n i v e r s i t yo fT e c h n o l o g y,J i n g m e n,H u b e i ,C h i n a)A b s t r a c t:A s s u m i n g t h a tt h e f a i l u r e t i m e s o ft h e t e s t e d s a m p l e s f o l l o w P a r e t od i s t r i b u t i o n,t h ep r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o n so ft h ef u t u r ef a i l u r et i m e sa r eo b t a i n e db a s e do nt h ed o u b l et y p e Ih y b r i dc e n s o r e ds a m p l e s,t h ep o i n tp r e d i c t i o na n di n t e r v a lp r e d i c t i o no ft h ef u t u r ef a i l u r et i m e sa r eo b t a i n e db yu s i n gt h ec l a s s i cm e t h o d Wh e np r i o rd i s t r i b u t i o no f t h e s h a p ep a r a m e t e r i s t a k e na s t h eG a mm ap r i o r o rn o n i n f o r m a t i v ep r i o r,t h ee q u a lt a i l e dp r e d i c t i o ni n t e r v a l so ft h ef u t u r ef a i l u r et i m e sa r eo b t a i n e d A c c o r d i n gt o t h e o b t a i n e d d o u b l et y p e I h y b r i d c e n s o r e d d a t a,f o r a n y p r o d u c ti n d e p e n d e n t a n d i d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e d i nt h eP a r e t od i s t r i b u t i o n,t h em e d i a np r e d i c t i o na n d i n t e r v a lp r e d i c t i o no fi t sf a i l u r et i m ea r eo b t a i n e d W i t ht h eh e l po fan u m e r i c a le x a m p l e,t h er e l e v a n tp o i n tp r e d i c t i o n sa n di n t e r v a lp r e d i c t i o n sa r ec a l c u l a t e db yu s i n gt h ec o n c l u s i o n s i nt h ea r t i c l e K e yw o r d s:P a r e t od i s t r i b u t i o n;d o u b l et y p e Ih y b r i dc e n s o r i n g;p r i o rd i s t r i b u t i o n;B a y e s i a np r e d i c t i o n