第3章 磁流体力学方程.doc

第三章 磁流体力学方程（MHD）
§3.1引言
由上一章的讨论可以看出，等离子体动力学理论是在位形及速度空间中讨论带电粒子的分布函数随时间的演化规律。由于动力学方程是一个非线性的积分微分方程，数学处理较复杂，在一般情况下很难求解。实际上，我们可以把等离子体看成为是一种电磁流体，它的宏观状态可以用密度、流速、温度等状态变量及电磁场来描述。这些状态参量及电磁场是在三维位形空间中随时间演
化的。建立电磁流体状态参置随时间的演化方程称为磁流体力学（Magnetohydrodynamics-MHD）。与动力学理论相比，磁流体力学在数学处理上简单的多，而且等离子体中的许多过程，如等离子体的宏观平衡与稳定，波动过程均可以用MHD理论来描述。但对于等离子体中的另外一些现象，如Landau阻尼、速度空间中的不稳定性等则MHD理论却无能力描述。下面我们从动力学方程出发，建立MHD方程。
§3.2二份量MHD方程
设等离子体是由电子成份和一种离子成份组成的二份量电磁流体。首先我们引入二份量磁流体的宏观状态变量，我们知道，对于一个多粒子系统，其宏观变量是对应的微观变量的统计平均值。这样，第类成份流体的密度、流速火及温度的定义为：
（3-1）
（3-2）

下面我们利用上章给出的等离子体运动学方程来建立MHD方程。动力学方程可以写成：
(3-3)
首先定义等离子体矩方程：
将（3-3）两边乘以并对积分，
（1）
（2）
（3）
其中用到了分部积分和在时为零的条件。
（4）
其中利用了关系：
这样得矩方程：

其中：为统计平均。
1． 连续性方程
设，并对积分,则 （3-4）
其中利用到，粒子数守恒。
引入电荷密度： （3-5）
和电流密度： （3-6）
将（3-4）两边乘以可以得到电荷守恒方程
（3-7）
将（3-4）两边乘以可以得到质量连续性方程
（3-8）
其中是质量密度。
2． 动量平衡方程
设，并对积分,则可得
（3-9）
其中 (3-10)
为压强张量。而 （3-11）
利用连续方程（3-4），方程（3-9）可以化成为
（3-12）
该方程中各项的物理意义是：
---流体元的动量变化率；其中 --为对流项；
--压强梯度产生的力；
--电场力；
--洛仑兹力，是由电流穿越磁场而产生的力；
--为第类粒子与第类粒子碰撞时，其动量的变化率。
方程（3．12）是一个不封闭的方程，因为涉及到高阶矩函数及，，只有通过求解动力学方程，才能严格地计算出及。在研究等离子体的磁流体状态时，通常假定等离子体中带电粒子的速度分布基本上为各向同性分布，因此有：
（3-13）
其中为静压强。的非对角部分仅与等离子体中的粘滞现象有关。另外，对于不同种类的带电粒子之间的碰撞，动量的变化率可以写成摩擦阻力的形式： （3-14）
其中为动量输运的平均碰撞频率.
3．能量平衡方程
设，并对积分,并利用连续方程（3-4），动量平衡方积（3.12），最后可以得到能量平衡方程为：
(3-15)
其中： （3-16）
为热流矢量，而， （3-17）
为不同种类带电粒子之间的碰撞产生的能量变化。
在高温等离子体系统中，人们对等离子体中带电粒子的能量输运并不是太感兴趣。在研究等离子体的平衡、稳定及波动过程时，可以认为带电粒子在速度空间的分布基本上趋于各向同性的Maxwell分布。因此，通常用状态方程来确定等离子体的压强，从而取代了能量平衡方程。对于等温过程，有：
（3-18）
其中c1是常数。对于绝热过程，压强为
（3-19）
其中c2是常数。这样，对于双流体等离子体，其MHD方程为：
（3-20）
（3-21）

（3-22）
（3-23）
（3-24）
（3-25）
（3-26）
（3-27）
它们与状态方程耦合，即构成一套封闭的方程组。后面几章，我们将用这套方程组研究等离于体中的波动过程及稳定性。
§3.3单MHD方程
在上节中，我们是把等离子体看作是由电子流体和离子流体组成的双流体。实际上，在研究等离子体中某些现象时，也可以把等离子体看成为单一的磁流体。本节我们的任务就是给出这种单一磁流体的MHD方程。首先引入单一磁流体的宏观状态参量：
质量密度： （3-28）
电荷密度： （3-29）
流速： （3-30）
温度：
电流密度； （3-31）
总压强： （3-32）
下面建立单流体的流体力学方程
（1） 连续性方程
将电子成分的质量连续性方程
（3-33）
与离子成分的质量连续性方程 （3-34）
相加，并利用（3-28）及（3-30），则单流体的质量连续性方程为
（3-35）
（2） 动量平衡方程
为了得到单一流体的动量平衡方程，我们假定：等离子体是准中性的，即。这样根据电子和离子的动量平衡方程，
（3-36）
（3-37）
得到单一流体的动量平衡方程为 （3-38）
其中利用了如下简化假设： 由于电子的质量比离子质量小的多，略去了电子的惯性项，和电中性条件：，及，，，。
（3） 广义欧姆定律
由关系：， ，得：，
由关系：，得：
略去（3-36）中的对流项，
得： (3-40)

这就是广义欧姆定律。对于简单的欧姆定律有
（3-41）
是等离子体的电导率。因此，广义欧姆定律中，多了如下几项：
（1），磁流体运动引起电流；
（2）：等离子体受到洛兹力作用而运动产生的电流。
（3）：由于压力梯度而产生的电流变化。
这样采用单流体模型，等离子体的MHD方程为：
（3-43）
再加上Maxwell 方程组
（3-44）
构成了一套封闭的方程组（设P已知，由状态方程给出）。单流体MHD方程常用于描述等离子体装置的平衡与稳定，也可以用于描述等离子体中的波动现象。用单流体的MHD方程描述等离子体中的波动现象比用双流体的MHD方程描述精确性差，这是因为在推导单流MHD方程时，做了一些简化假定。
对于一些低频过程，可以略去Maxwell方程组中的 ；另外对于低温过程，还可以略去广义欧姆定律中的压力梯度项。 项与项相比，也可以略去。这样简化的单流体MHD方程为：
（3-45）
（3-46）
对于理想等离子体，还可以略去项，这样理想等离子体的MHD方程为：
(3-47)
下节我们将利用上述方程研究等离子体的MHD平衡与稳定。

§3.4 MHD平衡与稳定
1．平衡与稳定的概念
对于一个磁约束的等离子体系统，人们所关心的首要问题是系统的受力是否平衡？如果受力能达到平衡，接下来的问题的就是这种平衡状态是否稳定，即系统受到小的扰动后，对平衡状态的偏离幅度是否大？下面我们用数学的语言来描述平衡与稳定问题。设x0是系统处在平衡状态下的某一物理量，满足如下方程： （3-48）
如果对系统施加一个扰动，使得物理量x0变为，且满足如下运动方程： （3-49）
设扰动是微扰动，则可以将方程（3.49）线性化：
（3-50）
设扰动量可以表示成山的形式，由此可以求出扰动频率为：
（3-51）
如果，则表明扰动会很快地被衰减掉，则系统对应的平衡状态是稳定的。反之，，则表明平衡状态是不稳定的。
我们也可以用下图4形说明平衡与稳定问题。图4a对应的是稳定平衡，因为小球偏离平衡位置后，仍能恢复到原来的状态；而图4b则对应的是不稳定的平衡，小球一旦受到扰动，将会逐渐地偏离其平衡位置，不会自动复原。

下面利用上节得到的简单的MHD方程，来分析以下等离子体体系的平衡问题。
2. MHD平衡
对于一般的磁约束系统，研究其平衡问题是极其复杂的。下面我们从稳态的MHD方程出发，给出等离子体平衡状态的一些性质。
对稳定的状态，等离子体系统的MHD方程为(见3-7)：
(3-52)
Maxwell方程为： (3-53)
由方程（2-52）可以看出：
（a）抗磁性电流
压力梯度和洛仑兹力是维持系统处在平衡状态的必要条件。为了说明这个问题，我们以一个柱状的等离子体系统为例，压强梯度指向轴心，见图5，为了消除等离子体向外膨胀，就必须在极向上施加一电流j，它与磁场作用产生的洛仑兹力正好与膨胀力相抵消。用叉乘方程（3-52）两边，

可以得到： （3-54）
这个电流称为抗磁性电流。从单粒子的观点看，抗磁性电流是由于粒子在磁场中做拉莫回旋运动时，受到密度梯度的作用使导向中心发生漂移而形成电流的结果。从流体力学的观点看，抗磁性电流是由于穿越磁场的压强梯度形成的，产生的电流与磁场作用形成的洛仑兹力恰好与压强力相抵消。
（b）等压面
由方程（3-52），，说明沿j和B方向压强是不变的，电流和磁场的方向都在等压面上，j和B都与垂直。当人们在设计复杂的磁场位形时，必顺考虑到这一点。设想有一个环形的等离子体系统，见图6，存在一个径向的压强梯度，即等离子体由一层层等压面所包围。一般地讲，磁力线和电流线可以这样和那样的弯曲，但不能穿越等压面。
（c）磁压力和磁张力
由关系：，，

上面用到了关系：
又由于：，
（3-55）
由此相应的磁力为

一般取(常数)，因此上式有面第二项

被称为磁压力，是热压力的对应量．磁压力的方向从磁场强处指向磁场弱处（见图1.6），它和热压力一样可以使磁场的疏密（即磁场的强弱）扰动向外传播，这时所产生的波和声波一样是纵波，称为（慢）磁声波．如果热压力和磁压力同时驱动磁流体的扰动向外传播，就会产生波速更快的快磁声波．
而另一项则称为磁张力，它可以进一步改写成物理意义更清楚的形式

其中是方向上的单位矢量，是磁力线上某点的曲率，其绝对值为，而方向则指向磁力线上此点的曲率中心（见图1.7）．当磁力线是一根直线时，其上各处的曲率均为零。

因此磁张力也处处为零，和磁场的强弱无关，这是和磁压力不同的．当磁场（力线）是弯曲的时候，例如从图1.8中的处来看，这时指向曲率中心的磁张力可以看成由两个沿着磁力线正、反方向的分力合成的合力，因此称为磁张力．它和橡皮筋在横向弹拉时产生的弹性张力相似，因此许多人把磁力线描述成弹性的橡皮筋，但这只是反映了磁张力的性质，而没有包括磁压力的性质在内．磁张力由于和弹性力相似，所以可以在沿磁力线方向上驱动出横向的磁流体波．对于理想磁流体，由于流体和磁力线冻结在一起，故此波既是电磁的横波也是流体的横波，称为阿尔文（Alfven）波或者剪切阿尔文波．
下面给出磁张力和磁压力在磁力线坐标中的表达式

在此坐标系中

所以最后有

此式表明，磁压力只作用在垂直于磁场的方向上，在平行于磁场的方向上并不存在磁压力．和磁张力能驱动出沿磁力线传播的磁流体力学横波不同，磁压力能驱动出横越磁力线传播的磁流体力学纵波．
把方程（3-52）与（3-53）联立，还可以得到：

或
对于大多数磁约束系统，沿着B的方向磁场是不变的，即，因此，因此有

即 （3-56）
其中称为磁压强，（3-56）式表明：等离子体的压强和磁压强之和为一常量，即在密度高的地方磁场小，密度低的地方磁场强。
（d）等离子体的值
等离子体压力和磁压力的之比称为等离子体的值：
（3-57）
它是聚变等离子体系统中的一个重要的参量。反应了约束一定热压强的等离子体需要多强的磁场。通常 ，认为值愈大，约束就愈好。为了达到聚变反应，必须使等离子体的温度增高（P增大），磁场减小，即提高值。实际上，产生高值的等离子体是相当困难的。

§3.5 磁扩散和磁冻结
对于磁场—等离子体系统：磁场是否能在等离子体中进行扩散？现在考虑无磁场的等离子体区域和无等离子体的磁场区域之间存在一条边界。如果等离子体的电导率为无穷（理想情况），则磁场象导体一样被排斥在等离子体的外面，不能进行扩散。实际上，等离子体的电导率是有限的，磁场可以在等离子体中扩散，反之亦然。磁场在等离子体中扩散需要一定的时间。下面我们采用MHD方程估计一下磁场扩散的特征时间。
为简单起见，我们假设等离子体处于静止状态，即，而磁场由于扩散在等离子体中运动。这时广义欧姆定律退化成简单的欧姆定律
（3-58）
根据 Maxwell方程组
（3-59）
及（3-58），可以得到磁场的运动方程
（3-60）
这是一个典型的扩散方程。为了粗略地估计磁场扩散的特征时间，我们取磁场B变化的空间尺度为L，则有：
(3-61)
该方程的解 （3-62）
其中 （3-63）
即为磁场扩散的特征时间，它与等离子体的电导率正成比。由于电导率反比于碰撞频率，因此磁场在等离子体中扩散的物理意义是：由于带电粒子之间的碰撞破坏了它绕磁力线运动而引起的。
扩散时间也可以理解为磁场的湮没时间。当磁场运动时．它可以在磁场中产生感应电流，从而对等离子体进行加热。加热的能量来自磁场。在时间内，单位体积内欧姆加热的功率为：

由于 ， 所以加热功率为

可见能量的耗散正比于磁压强。
上面我们已经看到，由于等离子体的有限电导率，使得磁场可以在等离子体中进行扩散。下面我们再看一下：对于理想等离子体，即，磁场是如何运动的。
对于理想等离子体，广义欧姆定律为：， 它与Maxwell方程

联立，可以得到： （3-64）
下面我们利用该方程考查一下磁力线穿过等离子体中任一面元面s的通量变化情况（见图7）。由于等离子体流动，该面元的周线以速度u运动。磁通量为：
（3-65）
它随时间的变化率为：

上式右边第一项是由于磁场在B(t)随时间化引起的，第二项是来自于面元面的运动。在边界上每上点，面元的变化率是正比于该点的移动速度u，即：
这样有： (3-66)
将方程（3-64）代入上式，利用Stoke’s定理：

得
这表明：对于理想磁流体，磁力线穿过任一流动面元的磁通量为常量，即磁力线的运动速度与流体元的运动速度一样，它被冻结在流体中一起运动，这就是磁冻结效应。
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