第3章刚体习题答案.doc

习题答案

3-1 运动员手持铁饼转动1.25圈后松手,此刻铁饼的速度值达到v=25m/s。设转动时铁饼沿半径为R=1.0m的圆周运动并且均匀加速。求：
（1）铁饼离手时的角速度；
（2）铁饼的角加速度；
（3）铁饼在手中加速的时间（视铁饼为质点）.
解:(1)铁饼离手时的角速度为
（2）铁饼的角加速度为
（3）铁饼在手中加速的时间为

3-2 汽车发动机的转速在7.0s内由2000r/min均匀增加到3000r/min。求
（1）角加速度；
（2）这段时间转过的角度；
（3）发动机轴上半径为0.2m的飞轮边缘上的一点在第 7.0s末的加速度。
解：（1）初角速度为
末角速度为
角加速度为
（2）转过的角度为
（3）切向加速度为
法向加速度为
总加速度为
总加速度与切向的夹角为
3-3 一飞轮以等角加速度2 rad /s2转动，在某时刻以后的5s内飞轮转过了100 rad．若此飞轮是由静止开始转动的，问在上述的某时刻以前飞轮转动了多少时间？
解：设某时刻后的角速度为，某时刻前飞轮转动了t秒。

某时刻后s内飞轮转过。则有

3-4 一个哑铃由两个质量为m，半径为R的铁球和中间一根长为连杆组成，如图所示。和铁球的质量相比，连杆的质量可以忽略不计。求此哑铃多对于通过连杆中心并和它垂直的轴的转动惯量。它对于通过两球的连心轴的转动惯量又是多大？
题3-4图
解：对AA＇轴的转动惯量为
对BB＇轴的转动惯量为

题3-5图
3-5 如习题3-5图所示，一个半径为R，质量面密度为ρ的薄板圆盘上开了一个半径为1/2 R的圆孔，圆孔与盘缘相切。试计算该圆盘对于通过原中心而与圆盘垂直的轴的转动惯量。
解：已挖洞的圆板的转动惯量J加上挖去的圆板补回原位后对原中心的转动惯量J1就等于整个完整圆板对中心的转动惯量J2.

3-6 20N·m的恒力矩作用在有固定轴的转轮上，在10 s内该轮的转速由零增大到100 r / min．此时移去该力矩，转轮因摩擦力矩的作用经100 s而停止．试推算此转轮对其固定轴的转动惯量．（假设摩擦力矩是一个常量）
解：设

外加力矩为τ=20N·m，由转动定律可得
①
②
式中Mf为摩擦阻力矩，I为转轮的转动惯量，由以上二式可解得

3-7 如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，设两轮的转动惯量分别为 J＝10 kg·m2 和 J＝20 kg·m2．开始时，A轮转速为600 rev/min，B轮静止．C为摩擦啮合器，其转动惯量可忽略不计．A、B分别与C的左、右两个组件相连，当C的左右组件啮合时，B轮得到加速而A轮减速，直到两轮的转速相等为止．设轴光滑，求(1) 两轮啮合后的转速n；(2) 啮合后机械能有何变化?
题3-7图
解：（1）啮合前后系统角动量守恒

（2）势能不变，机械能的变化即动能变化。

啮合后机械能发生了损失。

题3-8图
3-8 如题3-8图所示,空心圆环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转动，转动惯量为J0，环的半径为R，初始时环的角速度为w 0．质量为m的小球静止在环内最高处A点，由于某种微小干扰，小球沿环向下滑动，问小球滑到与环心O在同一高度的B点和环的最低处的C点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为多大?(设环的内壁和小球都是光滑的，小球可视为质点，环截面半径r<<R.)
解：系统在过程中满足角动量守恒和机械能守恒。
m在B点时有：
联立解得

m在C点时有：

联立解得
3-9 为求一半径R=50cm的飞轮对于通过其中心且与盘面垂直的固定轴的转动惯量,让飞轮轴水平放置，在飞轮边缘上绕以细绳,绳末端悬重物，重物下落带动飞轮转动.当悬挂一质量m1=8kg的重锤，且重锤从高2m处由静止落下时,测得下落时间t1=16s. 再用另一质量m2为4kg的重锤做同样的测量, 测得下落时间t2=25s,假定摩擦力矩是一个常数,求飞轮的转动惯量.
解：对m1:
， 代入数值，有
对m2: ,
，代入数值，有
求联立方程组，有：
3-10 电风扇在开启电源后,经过t1时间达到了额定转述,此时相应的角速度为w 0.当关闭电源后, 经过t2时间风扇停转. 已知风扇转子的转动惯量为J, 并假定摩擦阻力矩和电机的电磁力矩均为常量,试根据已知量推算电机的电磁力矩.
解：设为阻力矩，为电磁力矩，
开启电源时有
关闭电源时有
3-11 飞轮的质量＝60kg，半径＝0.25m，绕其水平中心轴转动，转速为900r·min-1．现利用一制动的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力，可使飞轮减速．已知闸杆的尺寸如题3-11图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数=0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算．试求：
(1)设＝100 N，问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几转?
(2)如果在2s内飞轮转速减少一半，需加多大的力?
解: (1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b))．图中、是正压力，、是摩擦力，和是杆在点转轴处所受支承力，是轮的重力，是轮在轴处所受支承力．
题3-11图（a） 题3-11图(b)
杆处于静止状态，所以对点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有

对飞轮，按转动定律有，式中负号表示与角速度方向相反．
∵
∴
又∵
∴ ①
以等代入上式，得

由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为

这段时间内飞轮的角位移为

可知在这段时间里，飞轮转了转．
(2)，要求飞轮转速在内减少一半，可知

用上面式(1)所示的关系，可求出所需的制动力为

·
w 0
M
R
m
题3-12图
3-12 一轴承光滑的定滑轮,质量为M=2.00kg,半径为R=0.100m,一根不能伸长的轻绳,一端缠绕在定滑轮上,另一端系有一质量为m=5.00kg的物体,如图所示.已知定滑轮的转动惯量为J=MR2/2.其初角速度w 0=10.0rad/s,方向垂直纸面向里.求:
(1) 定滑轮的角加速度;
(2) 定滑轮的角速度变化到w =0时,物体上升的高度;
(3)当物体回到原来位置时,定滑轮的角速度.
解：(1)
(2)
(3)
3-13 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴转动．设大小圆柱体的半径分别为和，质量分别为和．绕在两柱体上的细绳分别与物体和相连，和则挂在圆柱体的两侧，如图所示．设＝0.20m, ＝0.10m，＝4 kg，＝10 kg，＝＝2 kg，且开始时，离地均为＝2m．求：
(1)柱体转动时的角加速度； (2)两侧细绳的张力．
解: 设,和β分别为,和柱体的加速度及角加速度，方向如图(如图b)．
题3-13(a)图 题3-13(b)图
(1) ,和柱体的运动方程如下：
①
②
③
式中
而
由上式求得

(2)由①式

由②式

3-14 计算题3-14图所示系统中物体的加速度．设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为，半径为，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设＝50kg，＝200 kg,M＝15 kg, ＝0.1 m.
解: 分别以,滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示．对,运用牛顿定律，有
题3-14图

①
②
对滑轮运用转动定律，有
③
又， ④
联立以上4个方程，得

3-15 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆．它离太阳最近距离为＝8.75×1010m 时的速率是＝5.46×104m·s-1，它离太阳最远时的速率是＝9.08×102m·s-1这时它离太阳的距离多少?(太阳位于椭圆的一个焦点。)
解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有

∴
3-16在转椅上的人手握哑铃。两臂伸直时，人、哑和椅系统对竖直轴的转动惯量为J1=2kg·m2。在外人推动后，系统开始以n1=15r/min转动。当人两臂收回，系统转动惯量为J2=0.80kg·m2时，转速是多大？两臂收回过程中，系统的机械能是否守恒？什么力做了功？做功多少？
解：由于两臂收回过程中，人体受的沿竖直轴的外力矩为零，所以系统沿此轴的角动量守恒。由此得
于是
两臂收回时，系统内力做了功，所以系统的机械能不守恒。臂力做的总功为

 3-17 如题3-17图所示，一匀质细杆质量为，长为，可绕过一端的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下．求：
(1)初始时刻的角加速度；
(2)杆转过角时的角速度.

题3-17图
解: (1)由转动定律，有

∴
(2)由机械能守恒定律，有

∴
3-18 如图所示，一质量均匀分布的圆盘,质量为,半径为R,放在一粗糙水平面上,摩擦系数为m，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动.开始时圆盘静止,一质量为的子弹以水平速度v0垂直圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上,求:
·
m
v 0
R
球壳

转轴沿直径
题3-18图
(1) 子弹击中圆盘后,盘所获得的角速度;
(2) 经过多长时间后,圆盘停止转动. (圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为,忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩)
解：(1)子弹击中并嵌入圆盘，忽略摩擦力矩的作用，子弹与圆盘系统的角动量守恒：

(2)圆盘获得角速度后，到停止转动，摩擦力矩做功：
在圆盘上取一环状面元，质量为；摩擦力矩为：

由角动量定理，有：

3-19 如题3-19图所示，质量为，长为的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上．现有一质量为的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞．相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度30°处．
(1)设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速的值；(2)相撞时小球受到多大的冲量?
题3-19图

解: (1)设小球的初速度为，棒经小球碰撞后得到的初角速度为，而小球的速度变为，按题意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式：
①
②
上两式中，碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角位移；碰撞后，棒从竖直位置上摆到最大角度，按机械能守恒定律可列式：
③
由③式得

由①式 ④
由②式 ⑤
所以
求得

(2)相碰时小球受到的冲量为

由①式求得

负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反．

3-20 一质量为、半径为R的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上，可绕轴自由转动．另一质量为的子弹以速度射入轮缘(如题3-20图所示方向)．
(1)开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值?
(2)用,和表示系统(包括轮和质点)最后动能和初始动能之比．

解: (1)射入的过程对轴的角动量守恒
题3-20图

∴
(2)