高等数学(工本)网络助学阶段测评4.doc

高等数学（工本）-阶段测评4
1.单选题
1.110.0常数a≠0，则当（）时，几何级数∑n=1∞aqn收敛.
B
aq<1
b-1<q<1
cq≤1
dq>1
当-1<q<1时几何级数∑n=1∞aqn收敛.
1.210.0幂级数∑n=1∞(-1)n+1n!xn的和函数为（）
B
a-e-x-1
b1-e-x
ce-x-1
d1+e-x
因为∑n=0+∞1n!xn=ex,故∑n=0+∞1n!(-x)n=e-x所以∑n=0∞(-1)n+1n!xn=-∑n=0∞(-x)nn!=-e-x于是∑n=1∞(-1)n+1n!xn=-e-x--10!x0=1-e-x
1.310.0设f(x)是以2π为周期的周期函数,它在[-π,π)上的表达式为f(x)={1-π≤x<0-10≤x<π 则f(x)的傅里叶级数展开式是（）
A
af(x)=∑k=1+∞-4(2k-1)πsin(2k-1)x(-∞<x<+∞,x≠0,±π,±2π,...)
bf(x)=∑k=1+∞4(2k-1)πsin(2k-1)x(-∞<x<+∞,x≠0,±π,±2π,...)
cf(x)=∑k=1+∞-42kπsin(2k-1)x(-∞<x<+∞,x≠0,±π,±2π,...)
df(x)=∑k=1+∞-4(2k-1)πsin2kx(-∞<x<+∞,x≠0,±π,±2π,...)
a0=1π∫-ππf(x)dx=1π[∫-π0dx+∫0π(-1)dx]=0an=1π∫-ππcos(nx)f(x)dx=1π[∫-π0cos(nx)dx-∫0πcos(nx)dx]==1π[1nsin(nx)|-π0+1nsin(nx)|0π]=0 (n=1,2,3,…)bn=1π∫-ππsin(nx)f(x)dx=1π[∫-π0sin(nx)dx-∫0πsin(nx)dx]=1π[1n(-cos(nx))|-π0+1ncos(nx)|0π]=2nπ[cos(nπ-1)]=2nπ[(-1)n-1]{0 n=2，4，6…-4nπ n=1，3，5…所以f(x)的傅里叶展开式为：f(x)=∑k=1+∞(-4(2k-1)πsin(2k-1)x(-∞<x<+∞,x≠0,±π,±2π),±3π,…)
1.410.0如果级数∑n=1∞un发散，k为常数，则级数∑n=1∞kun（）
B
a发散
b可能收敛可能发散
c收敛
d无界
如果级数∑n=1∞un发散，当k=0时，级数∑n=1∞kun收敛；当k≠0时，级数∑n=1∞kun发散。
1.510.0若级数∑n=1∞un收敛，且un≠0(n=1,2,3...)，其和为s ,则级数∑n=1∞1un（）
C
a收敛且其和为1s
b收敛但其和不一定为s
c发散
d可能收敛可能发散
级数∑n=1∞un收敛，则limn→∞un=0，则limn→∞1un=∞那么级数∑n=1∞1un发散。
1.610.0交错级数∑n=1∞(-1)n(n+1-n)（）
C
a绝对收敛
b发散
c条件收敛
d可能收敛可能发散
∑n=1∞|(-1)n(n+1-n)|发散，应用交错级数的莱布尼兹审敛法知∑n=1∞(-1)n(n+1-n)收敛，所以级数∑n=1∞(-1)n(n+1-n)条件收敛。
1.710.0幂级数∑n=1∞(x-3)nn2的收敛半径和收敛域是（）
D
a收敛半径为1，收敛域为(2,4)
b收敛半径为1，收敛域为(2,4]
c收敛半径为1，收敛域为[2,4)
d收敛半径为1，收敛域为[2,4]
ρ=limn→∞|an+1an|=limn→∞|1(n+1)21n2|=1R=1ρ=1收敛半径为1当x=2和x=4时，∑1∞(-1)nn2和∑1∞1n2级数收敛所以收敛域为[2，4]
1.810.0无穷级数∑n=1∞n!nn的敛散性为（）
B
a发散
b收敛
c可能收敛可能发散
d无界
limn→∞un+1un=limn→∞(n+1)!(n+1)n+1/(n!nn)=limn→∞nn(n+1)n=limn→∞1(n+1)nnn=limn→∞1(1+1n)n=e-1<1所以无穷级数∑n=1∞n!nn收敛
1.910.0关于级数∑n=1∞(-1)n-1np收敛性的正确答案是（）
C
ap>1时条件收敛
b0<p≤1时绝对收敛
c0<p≤1时条件收敛
d0<p≤1时发散
当0<p≤1时，∑n=1∞|(-1)n-1np|=∑n=1∞1np发散，∑n=1∞(-1)n-1np应用交错级数的莱布尼兹审敛法知其收敛，所以级数∑n=1∞(-1)n-1np当0<p≤1时条件收敛。
1.1010.0无穷级数∑n=1∞1n(n+1)的和为（）
A
a1
b2
c3
d4
级数∑n=1∞1n(n+1)的部分和Sn=∑k=1n1k(k+1)=∑k=1n(1k-1k+1)=1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1故limn→∞Sn=1所以级数∑n=1∞1n(n+1)的和为1.