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二元函数的极值与最值

二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下：
1．二元函数的无条件极值
(1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。
(2)二元函数取得极值的必要条件： 设在点处可微分且在点处有极值，则，，即是驻点。
(3) 二元函数取得极值的充分条件：设在的某个领域内有连续上二阶偏导数，且，令，，，则
当且 A<0时，f为极大值；
当且A>0，f为极小值；
时，不是极值点。
注意： 当B2－AC = 0时，函数z = f (x, y)在点可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论
例1 求函数z = x3 + y2 －2xy的极值．
【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.
【解】先求函数的一、二阶偏导数：
，．, , ．
再求函数的驻点．令= 0，= 0，得方程组
求得驻点(0，0)、．
利用定理2对驻点进行讨论：
(1)对驻点(0, 0)，由于A = 0, B =－2， C = 2，B2－AC0,故(0, 0)不是函数z = f(x, y) 的极值点．
(2)对驻点，由于A =4, B =－2，C = 2,B2－AC =－40, 且A0,则
为函数的一个极小值．
例2：（2004数学一）设z=z(x,y)是由确定的函数，求的极值点和极值.
【分析】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。这体现了考研的基本要求。
【解】 因为 ，所以
，
.
令 得
故
将上式代入，可得
或
由于 ，

，
所以 ，，，
故，又，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3.
类似地，由
，，，
可知，又，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，极大值为
z(-9, -3)= -3.
【评注】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意x,y,z满足原方程。
2．二元函数的条件极值
拉格朗日数乘法：设某领域内有连续偏导数，引入辅助函数

解联立方程组

得可能是在条件下的极值点
例3经过点的所有平面中，哪一个平面与坐标面在第一卦限所围的立体的体积最小．并求此最小体积．
【分析】条件极值经常考应用题。这一点大家应引起重视。
【解】设所求平面方程为
．
因为平面过点，所以该点坐标满足此平面方程，即有
． (1)
设所求平面与三个坐标平面所围立体的体积为V， 则
．　　　　　　　　　　　 (2)
原问题化为求目标函数（2）在约束条件（1）下的最小值．作拉格朗日函数
．
求函数L的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：

由此方程组和（9）解得a = b = c = 3．
由于最小体积一定存在．又函数有惟一的驻点．故a = b = c = 3为所求．即平面
x + y + z = 3．
与坐标面在第一卦限所围物体的体积最小．最小体积为

例4 某公司通过电台及报纸两种方式做销售广告，收入万元与电视广告费万元及报纸广告费万元之间的关系为：
．
⑴ 在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略；
⑵ 若提供的广告费用为总额1．5万元，求相应最佳广告策略．
【解】⑴ 利润函数为
，
求函数L的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：

解得，．则为惟一的驻点．
又由题意，可导且一定存在最大值，故最大值必在这惟一的驻点处达到．所以最大利润为万元．
因此，当电视广告费与报纸广告费分别为万元和万元时，最大利润为万元，此即为最佳广告策略．
⑵ 求广告费用为1．5万元的条件下的最佳广告策略，即为在约束条件下， 求的最大值．作拉格朗日函数

．
求函数的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：

并和条件联立解得，．这是惟一的驻点，又由题意，一定存在最大值，故万元为最大值．
【评注】 本题也可由，解得，代入目标函数转换成一元函数求解。
3．二元函数的最值
二元函数的最值一定在驻点和不可导点及边界点取得。
例5:（2007数学一）求函数在区域D上的最大值和最小值，其中： 。
【分析】 由于D为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。
【详解】 因为 ，，解方程：
得开区域内的可能极值点为.
其对应函数值为
又当y=0 时，在上的最大值为4，最小值为0.
当，构造拉格朗日函数

解方程组 得可能极值点：，其对应函数值为
比较函数值，知f(x, y)在区域D上的最大值为8，最小值为0.
【评注】当，代入目标函数转换成一元函数求解更简单。
例3:（2005数学二）已知函数z=f(x,y) 的全微分，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值.
【解】 由题设，知 ，，
于是 ，且 ，从而 ，
再由f(1,1)=2，得 C=2, 故
（下略）