《3.1.2-特征值与特征向量的求法》导学案2.doc

《3.1.2 特征值与特征向量的求法》导学案2
教学目标
1．掌握特征值和特征向量的求法；
2．了解矩阵的简单应用.
知识梳理
1．设A是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使得 ，那么称为的一个特征值，而称为A的属于特征值的一个 .
2．特征多项式：
设是一个二阶矩阵，，我们把行列式 称为A的特征多项式。
3.矩阵的特征值与特征向量的求法
如果λ是二阶矩阵A的特征值，则λ一定是二阶矩阵A的特征多项式的一个根，即f(λ)＝0，此时，将λ代入二元一次方程组(*)，就可得到一组非零解，于是非零向量即为A的属于λ的一个______________
基础练习
1．矩阵的逆矩阵是____ ____．
2．点P(2,3)经矩阵A＝对应的变换作用下得到点P′，点P′再经过矩阵A－1对应的变换作用下得到点P″，则点P″的坐标是_____ ___．
3．矩阵的特征值是____ ____．
4．若A＝，B＝，则(AB)－1＝______ __.
例题选讲
例1求出矩阵的特征值和特征向量.

例2．已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特征值1的一个特征向量为α2＝．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．

例3．已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝，并且矩阵M对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4).
(1)求矩阵M； (2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系；
(3)求直线l：x－y＋1＝0在矩阵M的作用下的直线l′的方程.

变式训练：已知矩阵A＝，A的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝.
(1)求矩阵A；(2)若向量β＝，计算A5β的值.

课后作业
1.已知矩阵，求矩阵的特征值及其相应的特征向量．

2．已知矩阵=，求的特征值，及对应的特征向量．

4．已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量.